Acordes de un círculo: explicación y ejemplos
En este artículo, aprenderá:
- Qué acorde de círculo.
- Propiedades de un acorde y; y
- Cómo encontrar la longitud de un acorde usando diferentes fórmulas.
¿Qué es el acorde de un círculo?
Por definición, una cuerda es una línea recta que une 2 puntos en la circunferencia de un círculo. El diámetro de un círculo se considera el acorde más largo porque se une a puntos en la circunferencia de un círculo.
En el círculo de abajo, AB, CD y EF son las cuerdas del círculo. El CD de acordes es el diámetro del círculo.
Propiedades de un acorde
- El radio de un círculo es la bisectriz perpendicular de una cuerda.
- La longitud de una cuerda aumenta a medida que disminuye la distancia perpendicular desde el centro del círculo hasta la cuerda y viceversa.
- El diámetro es la cuerda más larga de un círculo, por lo que la distancia perpendicular desde el centro del círculo hasta la cuerda es cero.
- Dos radios que unen los extremos de una cuerda al centro de un círculo forman un triángulo isósceles.
- Dos cuerdas tienen la misma longitud si están equidistantes del centro de un círculo. Por ejemplo, el acorde AB es igual al acorde CD si PQ = QR.
¿Cómo encontrar el acorde de un círculo?
Hay dos fórmulas para encontrar la longitud de un acorde. Cada fórmula se utiliza en función de la información proporcionada.
- La longitud de una cuerda, dado el radio y la distancia al centro de un círculo.
Si se conoce la longitud del radio y la distancia entre el centro y la cuerda, entonces la fórmula para encontrar la longitud de la cuerda viene dada por,
Longitud de la cuerda = 2√ (r2 - d2)
Donde r = el radio de un círculo yd = la distancia perpendicular desde el centro de un círculo a la cuerda.
En la ilustración anterior, la longitud de la cuerda PQ = 2√ (r2 - d2)
- La longitud de una cuerda, dado el radio y el ángulo central.
Si se conocen el radio y el ángulo central de una cuerda, entonces la longitud de una cuerda viene dada por,
Longitud de una cuerda = 2 × r × seno (C / 2)
= 2r seno (C / 2)
Donde r = el radio del círculo
C = el ángulo subtendido en el centro por la cuerda
d = la distancia perpendicular desde el centro de un círculo a la cuerda.
Trabajemos con algunos ejemplos que involucran la cuerda de un círculo.
ejemplo 1
El radio de un círculo es de 14 cm y la distancia perpendicular desde la cuerda al centro es de 8 cm. Calcula la longitud del acorde.
Solución
Dado el radio, r = 14 cm y la distancia perpendicular, d = 8 cm,
Por la fórmula, Longitud de la cuerda = 2√ (r2 − d2)
Sustituir.
Longitud de la cuerda = 2√ (142−82)
= 2√ (196 - 64)
= 2√ (132)
= 2 x 11.5
= 23
Entonces, la longitud del acorde es de 23 cm.
ejemplo 2
La distancia perpendicular desde el centro de un círculo hasta la cuerda es de 8 m. Calcula la longitud de la cuerda si el diámetro del círculo es de 34 m.
Solución
Dada la distancia, d = 8 m.
Diámetro, D = 34 m. Entonces, radio, r = D / 2 = 34/2 = 17 m
Longitud de la cuerda = 2√ (r2 − d2)
Por sustitución,
Longitud de la cuerda = 2√ (172 - 82)
= 2√ (289 - 64)
= 2√ (225)
= 2 x 15
= 30
Entonces, la longitud de la cuerda es de 30 m.
ejemplo 3
La longitud de una cuerda de un círculo es de 40 pulgadas. Suponga que la distancia perpendicular desde el centro a la cuerda es de 15 pulgadas. ¿Cuál es el radio de la cuerda?
Solución
Dado, longitud de la cuerda = 40 pulgadas.
Distancia, d = 15 pulgadas
Radio, r =?
Por la fórmula, Longitud de la cuerda = 2√ (r2 − d2)
40 = 2√ (r2 - 152)
40 = 2√ (r2 - 225)
Cuadrar ambos lados
1600 = 4 (r2 - 225)
1600 = 4r2 - 900
Agrega 900 en ambos lados.
2500 = 4r2
Dividiendo ambos lados por 4, obtenemos,
r2 = 625
√r2 = √625
r = -25 o 25
La longitud nunca puede ser un número negativo, por lo que solo elegimos 25 positivo.
Por lo tanto, el radio del círculo es de 25 pulgadas.
ejemplo 4
Dado que el radio del círculo que se muestra a continuación es de 10 yardas y la longitud de PQ es de 16 yardas. Calcula la distancia OM.
Solución
PQ = longitud de la cuerda = 16 yardas.
Radio, r = 10 yardas.
OM = distancia, d =?
Longitud de la cuerda = 2√ (r2 − d2)
16 = 2√ (10 2− d 2)
16 = 2√ (100 - d 2)
Cuadre ambos lados.
256 = 4 (100 - día 2)
256 = 400 - 4d2
Resta 400 en ambos lados.
-144 = - 4d2
Divide ambos lados entre -4.
36 = d2
d = -6 o 6.
Por tanto, la distancia perpendicular es de 6 yardas.
Ejemplo 5:
Calcula la longitud del acorde PQ en el círculo que se muestra a continuación.
Solución
Dado el ángulo central, C = 800
El radio del círculo, r = 28 cm
¿Longitud del acorde PQ =?
Por la fórmula, longitud de la cuerda = 2r seno (C / 2)
Sustituir.
Longitud de la cuerda = 2r seno (C / 2)
= 2 x 28 x seno (80/2)
= 56 x seno 40
= 56 x 0.6428
= 36
Por tanto, la longitud del acorde PQ es de 36 cm.
ejemplo 6
Calcula la longitud de la cuerda y el ángulo central de la cuerda en el círculo que se muestra a continuación.
Solución
Dado,
Distancia perpendicular, d = 40 mm.
Radio, r = 90 mm.
Longitud de la cuerda = 2√ (r2 − d2)
= 2√ (902 - 402)
= 2 √ (8100-1600)
= 2√6500
= 2 x 80.6
= 161.2
Entonces, la longitud del acorde es 161.2 mm
Ahora calcule el ángulo subtendido por la cuerda.
Longitud de la cuerda = 2r seno (C / 2)
161.2 = 2 x 90 seno (C / 2)
161.2 = 180 seno (C / 2)
Divide ambos lados entre 180.
0.8956 = seno (C / 2)
Encuentre el seno inverso de 0.8956.
C / 2 = 63.6 grados
Multiplica ambos lados por 2
C = 127.2 grados.
Entonces, el ángulo central subtendido por la cuerda es 127.2 grados.
