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    Acordes de un círculo: explicación y ejemplos

    Quien soy
    Valery Aloyants
    @valeryaloyants

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    Acordes de un círculo: explicación y ejemplos

    En este artículo, aprenderá:


    • Qu√© acorde de c√≠rculo.
    • Propiedades de un acorde y; y
    • C√≥mo encontrar la longitud de un acorde usando diferentes f√≥rmulas.

     

    ¬ŅQu√© es el acorde de un c√≠rculo?

    Por definición, una cuerda es una línea recta que une 2 puntos en la circunferencia de un círculo. El diámetro de un círculo se considera el acorde más largo porque se une a puntos en la circunferencia de un círculo.


    En el círculo de abajo, AB, CD y EF son las cuerdas del círculo. El CD de acordes es el diámetro del círculo.

    Propiedades de un acorde

    • El radio de un c√≠rculo es la bisectriz perpendicular de una cuerda.
    • La longitud de una cuerda aumenta a medida que disminuye la distancia perpendicular desde el centro del c√≠rculo hasta la cuerda y viceversa.
    • El di√°metro es la cuerda m√°s larga de un c√≠rculo, por lo que la distancia perpendicular desde el centro del c√≠rculo hasta la cuerda es cero.
    • Dos radios que unen los extremos de una cuerda al centro de un c√≠rculo forman un tri√°ngulo is√≥sceles.
    • Dos cuerdas tienen la misma longitud si est√°n equidistantes del centro de un c√≠rculo. Por ejemplo, el acorde AB es igual al acorde CD si PQ = QR.

    ¬ŅC√≥mo encontrar el acorde de un c√≠rculo?

    Hay dos fórmulas para encontrar la longitud de un acorde. Cada fórmula se utiliza en función de la información proporcionada.



    • La longitud de una cuerda, dado el radio y la distancia al centro de un c√≠rculo.

    Si se conoce la longitud del radio y la distancia entre el centro y la cuerda, entonces la fórmula para encontrar la longitud de la cuerda viene dada por,

    Longitud de la cuerda = 2‚ąö (r2 - d2)

    Donde r = el radio de un círculo yd = la distancia perpendicular desde el centro de un círculo a la cuerda.

    En la ilustraci√≥n anterior, la longitud de la cuerda PQ = 2‚ąö (r2 - d2)

    • La longitud de una cuerda, dado el radio y el √°ngulo central.

    Si se conocen el radio y el √°ngulo central de una cuerda, entonces la longitud de una cuerda viene dada por,

    Longitud de una cuerda = 2 √ó r √ó seno (C / 2)

    = 2r seno (C / 2)

    Donde r = el radio del círculo

    C = el √°ngulo subtendido en el centro por la cuerda

    d = la distancia perpendicular desde el centro de un círculo a la cuerda.

    Trabajemos con algunos ejemplos que involucran la cuerda de un círculo.

    ejemplo 1

    El radio de un círculo es de 14 cm y la distancia perpendicular desde la cuerda al centro es de 8 cm. Calcula la longitud del acorde.

    Solución

    Dado el radio, r = 14 cm y la distancia perpendicular, d = 8 cm,


    Por la f√≥rmula, Longitud de la cuerda = 2‚ąö (r2 ‚ąí d2)

    Sustituir.

    Longitud de la cuerda = 2‚ąö (142‚ąí82)


    = 2‚ąö (196 - 64)

    = 2‚ąö (132)

    = 2 x 11.5

    = 23

    Entonces, la longitud del acorde es de 23 cm.

    ejemplo 2

    La distancia perpendicular desde el centro de un círculo hasta la cuerda es de 8 m. Calcula la longitud de la cuerda si el diámetro del círculo es de 34 m.

    Solución

    Dada la distancia, d = 8 m.

    Di√°metro, D = 34 m. Entonces, radio, r = D / 2 = 34/2 = 17 m

    Longitud de la cuerda = 2‚ąö (r2 ‚ąí d2)

    Por sustitución,

    Longitud de la cuerda = 2‚ąö (172 - 82)

    = 2‚ąö (289 - 64)

    = 2‚ąö (225)

    = 2 x 15

    = 30

    Entonces, la longitud de la cuerda es de 30 m.

    ejemplo 3

    La longitud de una cuerda de un c√≠rculo es de 40 pulgadas. Suponga que la distancia perpendicular desde el centro a la cuerda es de 15 pulgadas. ¬ŅCu√°l es el radio de la cuerda?

    Solución

    Dado, longitud de la cuerda = 40 pulgadas.

    Distancia, d = 15 pulgadas

    Radio, r =?

    Por la f√≥rmula, Longitud de la cuerda = 2‚ąö (r2 ‚ąí d2)

    40 = 2‚ąö (r2 - 152)


    40 = 2‚ąö (r2 - 225)

    Cuadrar ambos lados

    1600 = 4 (r2 - 225)

    1600 = 4r2 - 900

    Agrega 900 en ambos lados.

    2500 = 4r2

    Dividiendo ambos lados por 4, obtenemos,

    r2 = 625

    ‚ąör2 = ‚ąö625

    r = -25 o 25

    La longitud nunca puede ser un n√ļmero negativo, por lo que solo elegimos 25 positivo.


    Por lo tanto, el radio del círculo es de 25 pulgadas.

    ejemplo 4

    Dado que el radio del círculo que se muestra a continuación es de 10 yardas y la longitud de PQ es de 16 yardas. Calcula la distancia OM.

    Solución

    PQ = longitud de la cuerda = 16 yardas.

    Radio, r = 10 yardas.

    OM = distancia, d =?

    Longitud de la cuerda = 2‚ąö (r2 ‚ąí d2)

    16 = 2‚ąö (10 2‚ąí d 2)

    16 = 2‚ąö (100 - d 2)

    Cuadre ambos lados.

    256 = 4 (100 - día 2)

    256 = 400 - 4d2

    Resta 400 en ambos lados.

    -144 = - 4d2

    Divide ambos lados entre -4.

    36 = d2

    d = -6 o 6.

    Por tanto, la distancia perpendicular es de 6 yardas.

    Ejemplo 5:

    Calcula la longitud del acorde PQ en el círculo que se muestra a continuación.

    Solución

    Dado el √°ngulo central, C = 800

    El radio del círculo, r = 28 cm

    ¬ŅLongitud del acorde PQ =?

    Por la fórmula, longitud de la cuerda = 2r seno (C / 2)

    Sustituir.

    Longitud de la cuerda = 2r seno (C / 2)

    = 2 x 28 x seno (80/2)

    = 56 x seno 40

    = 56 x 0.6428

    = 36

    Por tanto, la longitud del acorde PQ es de 36 cm.

    ejemplo 6

    Calcula la longitud de la cuerda y el ángulo central de la cuerda en el círculo que se muestra a continuación.

    Solución

    Dado,

    Distancia perpendicular, d = 40 mm.

    Radio, r = 90 mm.

    Longitud de la cuerda = 2‚ąö (r2 ‚ąí d2)

    = 2‚ąö (902 - 402)

    = 2 ‚ąö (8100-1600)

    = 2‚ąö6500

    = 2 x 80.6

    = 161.2

    Entonces, la longitud del acorde es 161.2 mm

    Ahora calcule el √°ngulo subtendido por la cuerda.

    Longitud de la cuerda = 2r seno (C / 2)

    161.2 = 2 x 90 seno (C / 2)

    161.2 = 180 seno (C / 2)

    Divide ambos lados entre 180.

    0.8956 = seno (C / 2)

    Encuentre el seno inverso de 0.8956.

    C / 2 = 63.6 grados

    Multiplica ambos lados por 2

    C = 127.2 grados.

    Entonces, el √°ngulo central subtendido por la cuerda es 127.2 grados.



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