Acordes de un círculo: explicación y ejemplos

En este artículo, aprenderá:

• Qué acorde de círculo.
• name="propiedades-de-un-acorde">Propiedades de un acorde y; y
• Cómo encontrar la longitud de un acorde usando diferentes fórmulas.

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name="-qu--es-el-acorde-de-un-c-rculo-">¿Qué es el acorde de un círculo?

Por definición, una cuerda es una línea recta que une 2 puntos en la circunferencia de un círculo. El diámetro de un círculo se considera el acorde más largo porque se une a puntos en la circunferencia de un círculo.

En el círculo de abajo, AB, CD y EF son las cuerdas del círculo. El CD de acordes es el diámetro del círculo.

name="propiedades-de-un-acorde">Propiedades de un acorde

• El radio de un círculo es la bisectriz perpendicular de una cuerda.

• La longitud de una cuerda aumenta a medida que disminuye la distancia perpendicular desde el centro del círculo hasta la cuerda y viceversa.
• El diámetro es la cuerda más larga de un círculo, por lo que la distancia perpendicular desde el centro del círculo hasta la cuerda es cero.
• Dos radios que unen los extremos de una cuerda al centro de un círculo forman un triángulo isósceles.

• Dos cuerdas tienen la misma longitud si están equidistantes del centro de un círculo. Por ejemplo, el acorde AB es igual al acorde CD si PQ = QR.

name="-c-mo-encontrar-el-acorde-de-un-c-rculo-">¿Cómo encontrar el acorde de un círculo?

Hay dos fórmulas para encontrar la longitud de un acorde. Cada fórmula se utiliza en función de la información proporcionada.

• La longitud de una cuerda, dado el radio y la distancia al centro de un círculo.

Si se conoce la longitud del radio y la distancia entre el centro y la cuerda, entonces la fórmula para encontrar la longitud de la cuerda viene dada por,

Longitud de la cuerda = 2√ (r2 - d2)

Donde r = el radio de un círculo yd = la distancia perpendicular desde el centro de un círculo a la cuerda.

En la ilustración anterior, la longitud de la cuerda PQ = 2√ (r2 - d2)

• La longitud de una cuerda, dado el radio y el ángulo central.

Si se conocen el radio y el ángulo central de una cuerda, entonces la longitud de una cuerda viene dada por,

Longitud de una cuerda = 2 × r × seno (C / 2)

= 2r seno (C / 2)

Donde r = el radio del círculo

C = el ángulo subtendido en el centro por la cuerda

d = la distancia perpendicular desde el centro de un círculo a la cuerda.

Trabajemos con algunos ejemplos que involucran la cuerda de un círculo.

ejemplo 1

El radio de un círculo es de 14 cm y la distancia perpendicular desde la cuerda al centro es de 8 cm. Calcula la longitud del acorde.

Solución

Dado el radio, r = 14 cm y la distancia perpendicular, d = 8 cm,

Por la fórmula, Longitud de la cuerda = 2√ (r2 − d2)

Sustituir.

Longitud de la cuerda = 2√ (142−82)

= 2√ (196 - 64)

= 2√ (132)

= 2 x 11.5

= 23

Entonces, la longitud del acorde es de 23 cm.

ejemplo 2

La distancia perpendicular desde el centro de un círculo hasta la cuerda es de 8 m. Calcula la longitud de la cuerda si el diámetro del círculo es de 34 m.

Solución

Dada la distancia, d = 8 m.

Diámetro, D = 34 m. Entonces, radio, r = D / 2 = 34/2 = 17 m

Longitud de la cuerda = 2√ (r2 − d2)

Por sustitución,

Longitud de la cuerda = 2√ (172 - 82)

= 2√ (289 - 64)

= 2√ (225)

= 2 x 15

= 30

Entonces, la longitud de la cuerda es de 30 m.

ejemplo 3

La longitud de una cuerda de un círculo es de 40 pulgadas. Suponga que la distancia perpendicular desde el centro a la cuerda es de 15 pulgadas. ¿Cuál es el radio de la cuerda?

Solución

Dado, longitud de la cuerda = 40 pulgadas.

Distancia, d = 15 pulgadas

Radio, r =?

Por la fórmula, Longitud de la cuerda = 2√ (r2 − d2)

40 = 2√ (r2 - 152)

40 = 2√ (r2 - 225)

Cuadrar ambos lados

1600 = 4 (r2 - 225)

1600 = 4r2 - 900

Agrega 900 en ambos lados.

2500 = 4r2

Dividiendo ambos lados por 4, obtenemos,

r2 = 625

√r2 = √625

r = -25 o 25

La longitud nunca puede ser un número negativo, por lo que solo elegimos 25 positivo.

Por lo tanto, el radio del círculo es de 25 pulgadas.

ejemplo 4

Dado que el radio del círculo que se muestra a continuación es de 10 yardas y la longitud de PQ es de 16 yardas. Calcula la distancia OM.

Solución

PQ = longitud de la cuerda = 16 yardas.

Radio, r = 10 yardas.

OM = distancia, d =?

Longitud de la cuerda = 2√ (r2 − d2)

16 = 2√ (10 2− d 2)

16 = 2√ (100 - d 2)

Cuadre ambos lados.

256 = 4 (100 - día 2)

256 = 400 - 4d2

Resta 400 en ambos lados.

-144 = - 4d2

Divide ambos lados entre -4.

36 = d2

d = -6 o 6.

Por tanto, la distancia perpendicular es de 6 yardas.

Ejemplo 5:

Calcula la longitud del acorde PQ en el círculo que se muestra a continuación.

Solución

Dado el ángulo central, C = 800

El radio del círculo, r = 28 cm

¿Longitud del acorde PQ =?

Por la fórmula, longitud de la cuerda = 2r seno (C / 2)

Sustituir.

Longitud de la cuerda = 2r seno (C / 2)

= 2 x 28 x seno (80/2)

= 56 x seno 40

= 56 x 0.6428

= 36

Por tanto, la longitud del acorde PQ es de 36 cm.

ejemplo 6

Calcula la longitud de la cuerda y el ángulo central de la cuerda en el círculo que se muestra a continuación.

Solución

Dado,

Distancia perpendicular, d = 40 mm.

Radio, r = 90 mm.

Longitud de la cuerda = 2√ (r2 − d2)

= 2√ (902 - 402)

= 2 √ (8100-1600)

= 2√6500

= 2 x 80.6

= 161.2

Entonces, la longitud del acorde es 161.2 mm

Ahora calcule el ángulo subtendido por la cuerda.

Longitud de la cuerda = 2r seno (C / 2)

161.2 = 2 x 90 seno (C / 2)

161.2 = 180 seno (C / 2)

Divide ambos lados entre 180.

0.8956 = seno (C / 2)

Encuentre el seno inverso de 0.8956.

C / 2 = 63.6 grados

Multiplica ambos lados por 2

C = 127.2 grados.

Entonces, el ángulo central subtendido por la cuerda es 127.2 grados.