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    Agujeros de función racional: explicación y ejemplos

    Quien soy
    Judit Llordes
    @juditllordes

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    Agujeros de función racional: explicación y ejemplos

    ¿Alguna vez has notado esos puntos huecos o puntos que a veces tienen las funciones? Estos se denominan huecos de funciones racionales. ¿Tiene curiosidad por saber por qué estos puntos siguen sin cumplirse?

    Los huecos en una función racional son el resultado de compartir factores comunes compartidos por el numerador y el denominador.

    Estas son coordenadas por las que pasa la función pero que no forman parte del dominio y rango de la función.



    Cuando una función contiene huecos, en realidad los necesitamos como puntos de guía al graficar la curva de la función. Pero para resaltar que no forman parte de las soluciones de la función, los dejamos como puntos sin rellenar.

    No te preocupes. Aprenderemos más sobre los huecos y cómo podemos manipular funciones racionales para encontrarlos en las siguientes secciones. También aprenderemos a encontrar las expresiones de funciones racionales en función de sus huecos, intersecciones y asíntotas.

    ¿Qué es un agujero en una función racional?

    Cuando el numerador y el denominador de una función racional comparten un factor común, $ x- a $, se encuentra un agujero en $ símbolo en negrita {(a, f (a))} $. Esto también significa que $ a $ no se incluirá en el dominio de la función.

    ¿Qué representan estos agujeros? Estos son los valores o las coordenadas por las que puede pasar el gráfico de una función, pero no están definidos por la función, por lo tanto, los puntos sin rellenar.

    Echemos un vistazo al gráfico que se muestra a continuación para comprender mejor los huecos de una función racional.


    El gráfico que se muestra arriba contiene tres puntos sin completar en: $ (- 1, -2) $, $ left (0, -dfrac {1} {2} right) $ y $ left (3, dfrac {2} {5} derecha) $. Esto significa que la función también tiene tres agujeros.


    La gráfica muestra que la gráfica tiene discontinuidades en el agujero y su asíntota vertical en $ x = -2 $. Por lo tanto, nuestro ejemplo particular tiene el siguiente dominio y rango:

    ¿Cómo encontrar huecos en una función racional?

    Ahora que entendemos la importancia de comprender qué representan los huecos de las funciones racionales, es hora de que aprendamos a determinar los huecos que puede tener una función.

    A continuación, se muestran algunos pasos útiles para recordar al encontrar los huecos de una función racional:

    1. Exprese el numerador y denominador de la función racional en forma factorizada.
    2. Busque factores comunes compartidos por el numerador y el denominador.
    3. Equivale cada factor común a $ 0 $, luego resuelva para $ x $.
    4. Simplifica la expresión de la función.
    5. Sustituya los valores de $ x $ del Paso 3 en la expresión simplificada de la función para encontrar la coordenada $ y $ del agujero.
    6. Escribe el agujero como una coordenada, $ (x, y) $, usando los valores del Paso 3 y el Paso 5.

    Sí, puede que hayas acertado. Encontrar agujeros en funciones racionales requerirá que apliquemos nuestro conocimiento sobre factorización, así que consulte estas técnicas de factorización que hemos escrito en el pasado si necesita un repaso:

    • Aprenda a factorizar trinomios aquí.
    • Revise su conocimiento de factorización por agrupación.
    • Siempre que sea posible, no olvide aplicar propiedades útiles como la diferencia de dos cuadrados y el trinomio cuadrado perfecto.

    ¿Por qué no aplicamos los seis pasos mencionados para encontrar los huecos de $ f (x) = {-3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 3x - 6} {4x ^ 3 - 4x} $?



    Primero, expresemos tanto el numerador como el denominador de $ f (x) $ en forma factorizada.

    Ahora que $ f (x) $ está en forma factorizada, observe los factores comunes compartidos entre el numerador y el denominador. Para nuestro caso, tenemos $ x - 1 $ y $ x + 1 $.

    Esto significa que hay huecos en $ x = -1 $ y $ x = 1 $. Para encontrar sus correspondientes coordenadas $ y $, sustituya estos valores por $ x $ en la forma simplificada de $ f (x) $.

    $ comenzar {alineado} f (x) & = dfrac {-3cancel {(x - 1)} cancelar {(x + 1)} (x - 2)} {4xcancel {(x - 1)} cancelar {(x + 1)}} & = - dfrac {3 (x-2)} {4x} final {alineado} $

    Esto significa que $ f (x) $ tiene huecos en $ left (-1, dfrac {9} {4} right) $ y $ left (1, dfrac {3} {4} right) $.

    Estos se presentarán como puntos sin completar por los que pasará la gráfica de $ f (x) $.


    Aquí está la gráfica de $ f (x) $ a lo largo de sus huecos y asíntotas. Esto confirma que la curva de la función puede pasar a través de estos agujeros, pero estos valores no serán parte del dominio y rango de la función.


    ¿Por qué no anotamos el rango y el dominio de $ f (x) $?

    ¿Listo para probar más problemas? ¡No te preocupes, hemos preparado algunos para ti! Asegúrese de revisar todas las técnicas y pasos mencionados en este artículo.

    ejemplo 1

    Encuentra los huecos encontrados en las siguientes funciones racionales.

    una. $ f (x) = dfrac {-2 (x - 1) (x + 2) (x + 3)} {x ^ 2 (x - 1) (x + 4) (x - 3)} $
    B. $ g (x) = dfrac {x ^ 2 - 25} {x ^ 2 - 9x + 20} $
    C. $ h (x) = dfrac {x ^ 3 - 7x + 6} {x ^ 4 + 4x ^ 3 + x ^ 2 - 6x} $

    Solución
    Dado que el numerador y el denominador de $ f (x) $ ya están en forma factorizada, podemos verificarlos en busca de factores comunes. Para esta función, podemos ver que $ (x -1) $ es un factor compartido por el numerador y el denominador, por lo que hay un agujero en $ x = 1 $.

    Simplifique $ f (x) $ y luego sustituya $ x = 1 $ en la forma simplificada de $ f (x) $.
    $ comenzar {alineado} f (x) & = dfrac {-2cancel {(x - 1)} (x + 2) (x + 3)} {x ^ 2cancel {(x - 1)} (x + 4) ( x - 3)} & = dfrac {-2 (x + 2) (x + 3)} {(x + 4) (x-3)} \ f (1) & = dfrac {-2 (1 + ) 2) (1 +3)} {(1 + 4) (1-3)} & = dfrac {-2 (12)} {5 (-2)} & = dfrac {12} {5} end {alineado} $
    una. Esto significa que $ f (x) $ tiene un agujero en $ left (1, dfrac {12} {5} right) $.
    Factoriza el numerador y el denominador de $ g (x) $ primero y luego reescribe $ g (x) $.
    $ comenzar {alineado} g (x) & = dfrac {x ^ 2 - 25} {x ^ 2 - 9x + 20} & = dfrac {(x - 5) (x +5)} {(x-4) (x-5)} final {alineado} $
    Podemos ver que $ x - 5 $ es un factor común compartido por el numerador y el denominador, así que simplifique $ g (x) $ y luego sustituya $ x = 5 $ en la forma simplificada de $ g (x) $.
    $ comenzar {alineado} g (x) & = dfrac {cancelar {(x - 5)} (x +5)} {(x-4) cancelar {(x-5)}} & = dfrac {x + 5 } {x-4} \ g (5) & = dfrac {5 + 5} {5 - 4} & = 10end {alineado} $
    B. A partir de esto, podemos ver que $ g (x) $ tiene un agujero en $ (5, 10) $. El numerador y denominador de $ h (x) $ tienen grados más altos que los ejemplos anteriores, así que analicemos la factorización proceso realizado en ambos.

    Podemos ver que el numerador y el denominador de $ h (x) $ comparten factores comunes de $ x - 1 $ y $ x + 3 $. Simplifique $ h (x) $ y sustituya cada uno de estos valores en la forma simplificada de $ h (x) $.

    $ comenzar {alineado} h (x) & = dfrac {cancelar {(x -1)} (x - 2) cancelar {(x + 3)}} {xcancel {(x + 3)} cancelar {(x -1) )} (x + 2)} & = dfrac {x - 2} {x (x + 2)} final {alineado} $

    C. Esto significa que $ h (x) $ tiene huecos en $ (- 3, -15) $ y $ (1, -3) $.

    ejemplo 2

    La gráfica de $ f (x) $ pasa por las intersecciones de $ x $, $ (- 2, 0) $ y $ (- 1, 0) $, y su gráfica también se muestra a continuación.

    Utilice la información proporcionada para encontrar una expresión que pueda representar $ f (x) $.

    Solución

    Como tenemos $ (- 2, 0) $ y $ (- 1, 0) $ como la intersección $ x $ de la función, el numerador de $ f (x) $ tiene $ (x + 2) $ y $ (x + 1) $ como factores.

    La gráfica muestra un agujero en $ x = 1 $, entonces $ x - 1 $ es un factor común compartido por el numerador y el denominador.

    ¿Por qué no escribimos lo que tenemos hasta ahora?

    $ f (x) = adfrac {(x + 2) (x + 1) (x - 1)} {(x - 1)} $

    La variable $ a $ representa la constante que podemos necesitar para $ f (x) $.

    Considerando que hay una asíntota vertical en $ x = 2 $, el denominador tiene $ x -2 $ como factor.

    $ f (x) = adfrac {(x + 2) (x + 1) (x - 1)} {(x - 1) (x - 2)} $

    Cuando $ f (x) $ se simplifica y sustituimos $ x = 1 $, podemos igualar el resultado a $ -12 $ para encontrar $ a $.

    $ comenzar {alineado} f (1) & = adfrac {(1 + 2) (1 + 1)} {1 - 2} & = a cdot dfrac {6} {- 1} & = - 6a \ - 12 & = - 6a a & = 2end {alineado} $

    Esto significa que la gráfica se puede representar mediante $ f (x) = dfrac {2 (x + 2) (x + 1) (x - 1)} {(x - 1)} $.

    Consulte estos problemas adicionales para poner a prueba su conocimiento de las funciones racionales y sus agujeros.

    Preguntas de práctica

    1. Encuentra los huecos encontrados en las siguientes funciones racionales.

    una. $ f (x) = dfrac {-3 (x - 2) (x + 1) (x + 4)} {4x ^ 2 (x - 2) (x + 1) (x - 4)} $

    B. $ g (x) = dfrac {x ^ 2 - 9} {x ^ 2 - 6x + 9} $

    C. $ h (x) = dfrac {2x ^ 3 + 10x ^ 2 - 8x - 40} {x ^ 4 + 3x ^ 3 - 4x ^ 2 - 12x} $

    2. La función $ g (x) $ tiene un cero en $ 3 $, unos huecos en $ x = -2 $ y una asíntota vertical en $ x = 1 $. Utilice la información que se proporcionó para encontrar una expresión que pueda representar $ g (x) $.
    3. La gráfica de $ f (x) $ pasa por las intersecciones de $ x $, $ (- 2, 0) $ y $ (- 1, 0) $, y su gráfica también se muestra a continuación.

    Utilice la información proporcionada para encontrar una expresión que pueda representar $ f (x) $.

    Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.



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