Ángulo entre los dos vectores: explicación y ejemplos

Los vectores, específicamente la dirección de los vectores y los ángulos en los que están orientados, tienen una importancia significativa en la geometría y la física de los vectores. Si hay dos vectores, digamos a y b en un plano tal que las colas de ambos vectores están unidas, entonces existe algún ángulo entre ellos, y que ángulo entre los dos vectores Se define como:

 "El ángulo entre dos vectores es el ángulo más corto en el que cualquiera de los dos vectores gira sobre el otro vector de modo que ambos vectores tengan la misma dirección ".

Además, esta discusión se centra en encontrar el ángulo entre dos vectores estándar, lo que significa que su origen está en (0, 0) en el plano xy.

En este tema, discutiremos brevemente los siguientes puntos:

• ¿Cuál es el ángulo entre dos vectores?
• ¿Cómo saber el ángulo entre dos vectores?
• El ángulo entre dos vectores 2-D.
• El ángulo entre dos vectores 3-D.
• Ejemplos.
• Problemas.

name="-ngulo-entre-dos-vectores">Ángulo entre dos vectores

Los vectores se orientan en diferentes direcciones mientras forman diferentes ángulos. Este ángulo existe entre dos vectores y es responsable de especificar la erección de los vectores. 

El ángulo entre dos vectores se puede encontrar mediante la multiplicación de vectores. Hay dos tipos de multiplicación de vectores, es decir, producto escalar y producto cruzado.. 

El producto escalar es el producto o la multiplicación de dos vectores de modo que den una cantidad escalar. Como sugiere el nombre, el producto vectorial o producto cruzado produce una cantidad vectorial debido al producto o multiplicación de los dos vectores.

Por ejemplo, si hablamos del movimiento de la pelota de tenis, su posición se describe mediante un vector de posición y el movimiento mediante un vector de velocidad cuya longitud indica la velocidad de la pelota. La dirección del vector explica la dirección del movimiento. De manera similar, el momento de la pelota también es un ejemplo de una cantidad vectorial que es masa por la velocidad.

A veces tenemos que lidiar con dos vectores que actúan sobre algún objeto, por lo que el ángulo de los vectores es crítico. En el mundo real, cualquier sistema de trabajo combina varios vectores vinculados entre sí y forma algunos ángulos entre sí en el plano dado. Los vectores pueden ser bidimensionales o tridimensionales. Por tanto, es necesario calcular el ángulo entre los vectores.

Primero analicemos los productos escalares.

name="-ngulo-entre-dos-vectores">Ángulo entre dos vectores usando producto escalar

Considere dos vectores a y b separados por algún ángulo θ. Entonces de acuerdo con la fórmula del producto escalar es:

ab = | a | | b | .cosθ

dónde ab es el producto escalar de dos vectores. | a | y | b | es la magnitud de los vectores a y b, y θ es el ángulo entre ellos.

Para encontrar el ángulo entre dos vectores, comenzaremos con la fórmula del producto escalar que da el coseno del ángulo θ.

Según la fórmula del producto escalar,

ab = | a | | b | .cosθ

Esto establece que el producto escalar de dos vectores ayb es igual a la magnitud de dos vectores ayb multiplicado por el coseno del ángulo. Para encontrar el ángulo entre dos vectores, ayb, resolveremos el ángulo θ,

cosθ = ab / | a |. | b |

θ = arcos ( ab / | a | . | b | )

Entonces, θ es el ángulo entre dos vectores.

Si vector a = <ax, ay> y b = <bx, por>,

Entonces el producto escalar entre dos vectores a y b se da como,

ab  = . <bx, por>

ab = ax.bx + ay.by

Aquí, podemos tener un ejemplo de trabajo realizado, ya que el trabajo realizado se define como la fuerza aplicada para mover un objeto a cierta distancia. Tanto la fuerza como el desplazamiento son vectores, y su producto escalar produce una cantidad escalar, es decir., trabaja. El trabajo realizado es el producto escalar de fuerza y ​​desplazamiento, que se puede definir como,

F. D  = | F | | d | cos (θ)

Dónde θ es el ángulo entre la fuerza y ​​el desplazamiento. Por ejemplo, si consideramos que un automóvil se mueve en la carretera, cubriendo cierta distancia en una determinada dirección, una fuerza actúa sobre el automóvil, mientras que la fuerza forma un ángulo θ con el desplazamiento. 

A continuación se muestran algunas propiedades del producto escalar:

• El producto escalar es de naturaleza conmutativa.
• Es de naturaleza distributiva sobre la suma de vectores:    

una . (segundo + c) = (a. b) + (a. c)

• Es de naturaleza no asociativa.
• 4. Una cantidad escalar se puede multiplicar por el producto escalar de dos vectores.

C . (a. b) = (ca). b = a. (cb)

• El producto escalar es máximo cuando dos vectores distintos de cero son paralelos entre sí.
• 6. Dos vectores son perpendiculares entre sí si y solo si a. b = 0 como producto escalar es el coseno del ángulo entre dos vectores ayb y cos (90) = 0.
• Para vectores unitarios

I . i = 1

j. j = 1

k. k = 1

• La multiplicación de puntos no sigue la ley de cancelación

una . b = a. C

una . (b - c) = 0

Del mismo modo, también podemos utilizar productos cruzados para este fin. 

La fórmula del producto cruzado es la siguiente:

axb = | a |. | b | .sinθ. n

Primero evaluemos el ángulo entre los dos vectores usando el producto escalar. 

ejemplo 1

Encuentre el ángulo entre dos vectores que tienen la misma magnitud, y la magnitud de su vector resultante es equivalente a la magnitud de cualquiera de los vectores dados.

Solución

Consideremos dos vectores, A  y  B, y la resultante de dos vectores es R. 

Por lo tanto, de acuerdo con la condición dada en la pregunta:

| A | = | B | = | R |

Ahora, de acuerdo con la ley de los cosenos,

| R | ^ 2 = | A | ^ 2 + | B | ^ 2 + 2 | A || B | . cos (θ)

Dado que, | A | = | B | = | R |

| A | ^ 2 = | A | ^ 2 + | A | ^ 2 + 2 | A || A | . cos (θ)

| A | ^ 2 = | A | ^ 2 + | A | ^ 2 + | A | ^ 2. cos (θ)

| A | ^ 2 = 2 | A | ^ 2 + | A | ^ 2. cos (θ)

| A | ^ 2 = 2 | A | ^ 2 (1 + cos (θ))

| A | ^ 2/2 | A | ^ 2 = (1 + cos (θ))

1/2 = 1 + cos (θ)

1/2 - 1 = cos (θ)

-1 / 2 = cos (θ)

θ = cos-1 (-1 / 2)

θ = 120º

Entonces, el ángulo entre dos vectores que tienen la misma magnitud es igual a 120º.

ejemplo 2

Encuentra el ángulo entre dos vectores que tienen la misma magnitud. Además, calcule la magnitud del vector resultante.

Solución

Se da que,

| A | = | B |

Usando la ley del coseno para calcular la magnitud del vector resultante R.

| R | ^ 2 = | A | ^ 2 + | B | ^ 2 + 2 | A || B | . cos (θ)

| R | = √ (| A | ^ 2 + | B | ^ 2 + 2 | A || B |. Cos (θ))

| R | = √ | A | ^ 2 + | A | ^ 2 + 2 | A || A | . cos (θ)

| R | = √ (2 | A | ^ 2 + 2 | A | ^ 2. Cos (θ))

| R | = √ (2 | A | ^ 2 (1 + cos (θ)))

Aplicando identidad de medio ángulo,

| R | = √ (4A ^ 2 cos ^ 2 (θ / 2))

| R | = 2 A cos (θ / 2)

Ahora, para calcular el ángulo α resultante que formará con el primer vector,

tan α = (A sin θ) / (A + A cos θ)

tan α = (2 A cos (θ / 2). sin (θ / 2) / (2 A cos2 (θ / 2))

tan α = tan (θ / 2)

α = θ / 2

Por tanto, esto muestra que la resultante bisecará el ángulo entre los dos vectores que tienen la misma magnitud.

ejemplo 3

Calcula el ángulo entre los dos vectores dados.

   A = 6i + 5j + 7k

   B = 3i + 8j + 2k

Solución

Usa la fórmula del producto escalar,

UNA . B = | A | | B | . cos (θ)

Descubra la magnitud de A y B.

Entonces, la magnitud de A se da como,

| A | = √ ((6) ^ 2 + (5) ^ 2 + (7) ^ 2)

| A | = √ (36 + 25 + 49)

| A | = √ (110)

La magnitud de B se da como,

| B | = √ ((3) ^ 2 + (8) ^ 2 + (2) ^ 2)

| B | = √ (9 + 64 + 4)

| B | = √ (77)

Ahora, al encontrar el producto escalar,

AB = (6i + 5j +7k ). (3i + 8j + 2k )

AB = 18 + 40 + 14

AB = 72

Poniendo la fórmula del producto escalar,

72 = (√ (110)). (√ (77)). cos (θ)

72 / (√ (110 x 77)) = cos (θ)

cos (θ) = 0.78

θ = cos-1 (0.78)

θ = 51.26º 

ejemplo 4

Encuentra el ángulo entre los dos vectores dados.

A = <4, 3, 2>

B = <1, 2, 5>

Solución

Usa la fórmula del producto escalar,

UNA . B = | A | | B | . cos (θ)

Descubra la magnitud de A y B.

Entonces, la magnitud de A se da como,

| A | = √ ((4) ^ 2 + (3) ^ 2 + (2) ^ 2)

| A | = √ (16 + 9 + 4)

| A | = √ (29)

La magnitud de B se da como,

| B | = √ ((1) ^ 2 + (2) ^ 2 + (5) ^ 2)

| B | = √ (1 + 4 + 25)

| B | = √ (30)

Ahora, al encontrar el producto escalar,

AB = <4, 3, 2>. <1, 2, 5>

AB = 4 + 6 + 10

AB = 20

Poniendo la fórmula del producto escalar,

20 = (√ (29)). (√ (30)). cos (θ)

20 / (√ (29 x 30)) = cos (θ)

cos (θ) = 0.677

θ = cos-1 (0.677)

θ = 42.60º

name="-ngulo-entre-dos-vectores">Ángulo entre dos vectores usando producto cruzado

Otro método para encontrar el ángulo entre dos vectores es el producto cruzado. El producto cruzado se define como:

“El vector que es perpendicular tanto a los vectores como a la dirección viene dado por la regla de la mano derecha. 

Entonces, el producto cruzado se representa matemáticamente como,

axb = | a | | b | . pecado (θ) n

Dónde θ es el ángulo entre dos vectores, | a | y | b | son las magnitudes de dos vectores a y b, y n es el vector unitario perpendicular al plano que contiene dos vectores a  y b en la dirección dada por la regla de la mano derecha.

Considere dos vectores a y b cuyas colas están unidas y, por lo tanto, forman un ángulo θ. Para encontrar el ángulo entre dos vectores, manipularemos la fórmula del producto cruzado antes mencionada. 

( axb ) / (| a |. | b |) = pecado (θ)

Si los vectores dados a y b son paralelos entre sí, entonces, de acuerdo con la fórmula mencionada anteriormente, el producto cruzado será cero ya que sin (0) = 0. Al tratar con el producto cruzado, debemos tener cuidado con las direcciones.

A continuación se muestran algunas propiedades del producto cruzado:

• El producto cruzado es de naturaleza anticomutativa.
• El autoproducto cruzado de los vectores es igual a cero.

A x A = 0

• El producto cruzado es distributivo sobre la suma de vectores

            a X ( b + c) = ( a x b ) + ( a x c )

• Es de naturaleza no asociativa.
• Una cantidad escalar se puede multiplicar por el producto escalar de dos vectores.

           C . ( a x b ) = (c  a ) X b = a x (c b ) 

• El producto escalar es máximo cuando dos vectores distintos de cero son perpendiculares entre sí.
• Dos vectores son paralelos (es decir, si el ángulo entre dos vectores es 0 o 180) entre sí si y solo si axb = 1 como producto cruzado es el seno del ángulo entre dos vectores a y b y seno (0) = 0 o seno (180) = 0.
• Para vectores unitarios 

ixi = 0

dxj = 0

kxk = 0

ixj = k

jxk = i

kxi = j

• La multiplicación cruzada no sigue la ley de cancelación

axb = axc

hacha ( antes de Cristo ) = 0

Estas son algunas de las propiedades del producto cruzado. 

Resolvamos algunos ejemplos para comprender este concepto. 

ejemplo 5

Calcule el ángulo entre dos vectores de manera que sean vectores unitarios a y b  dónde a x b = 1 / 3i + 1/4j.

Solución

Dado que, está dado,

| a | = | b | = 1

Mientras que,

| axb | = √ ((1/3) ^ 2 + (1/4) ^ 2) = 1/5

Ahora, poniendo en la fórmula,

| axb | = | a | | b | pecado θ

1/5 = (1) (1) pecado θ

θ = sin-1 (1/5)

θ = 30º

ejemplo 6

Calcule el ángulo entre dos vectores tales que a = 3i - 2j - 5k  y b = i + 4j - 4k  dónde a x b = 28i + 7j + 14k.

Solución

Por lo tanto, la magnitud de vector a se da como,

| a | = √ ((3) ^ 2 + (-2) ^ 2 + (-5) ^ 2)

| a | = √ (9 + 4 + 25)

| a | = √ (38)

Magnitud del vector b se da como,

| b | = √ ((1) ^ 2 + (4) ^ 2 + (-4) ^ 2)

| b | = √ (1 + 16 + 16)

| b | = √ (33)

Considerando que, la magnitud de axb se da como,

| axb | = √ ((28) 2 + (7) 2 + (14)) 

| axb | = √ (1029)

| axb | = 32.08

Ahora, poniendo en la fórmula,

| axb | = | a | | b | pecado θ

32.08 = (√ (38)) (√ (33)) sin θ

pecado θ = 32.08 / (√ (38)) (√ (33))  

θ = 64.94º

Por lo tanto, la ángulo entre dos vectores a  y b  es θ = 64.94º.

Los vectores pueden ser tanto bidimensionales como tridimensionales. El método para encontrar el ángulo es el mismo en ambos casos. La única diferencia es que el vector 2-D tiene dos coordenadas xey mientras que el vector 3-D tiene tres coordenadas x, y y z. Los ejemplos resueltos anteriormente usan vectores 2-D y 3-D.

name="problemas-de-pr-ctica">Problemas de práctica

1. Dado que | A | = 3 y | B | = 5 donde como una . B = 7.5, averigua el ángulo entre dos vectores.   
2. Calcule el ángulo entre dos vectores 3i + 4j - k y 2i - j + k. 
3. Calcule el ángulo entre dos vectores tales que a = 2i - 3j + 1k  y b = -1i + 0j + 5k  dónde a x b = -15i - 11j - 3k. 
4. Calcule el ángulo entre dos vectores tales que a = 2i + 3j + 5k  y b = i + 6j - 4k  dónde a . b = 0.   
5. Encuentra el ángulo entre los vectores dados t = (3, 4) y r = (−1, 6).
6. ¿Cuál será el vector resultante? R de los dos vectores A y B teniendo la misma magnitud si el ángulo entre ellos es de 90o.

name="respuestas">respuestas

1. 60 °
2. 85.40 °
3. 81.36 °
4. 90 °
5. 36.30 °
6. 90 °

Todos los diagramas vectoriales se construyen utilizando GeoGebra.