Arco de un círculo: explicación y ejemplos

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Arco de un círculo: explicación y ejemplos

Después del radio y el diámetro, otra parte importante de un círculo es un arco. En este artículo, discutiremos qué es un arco, encuentre la longitud de un arco y mida la longitud de un arco en radianes. También estudiaremos el arco menor y el arco mayor.


¬ŅQu√© es un arco de c√≠rculo?

Un arco de un círculo es cualquier porción de la circunferencia de un círculo. Para recordar, la circunferencia de un círculo es el perímetro o la distancia alrededor de un círculo. Por lo tanto, podemos decir que la circunferencia de un círculo es el arco completo del círculo mismo.


¬ŅC√≥mo encontrar la longitud de un arco?

La fórmula para calcular el arco establece que:

Longitud del arco = 2ŌÄr (őł / 360)

Donde r = el radio del círculo,

ŌÄ = pi = 3.14

őł = el √°ngulo (en grados) subtendida por un arco en el centro del c√≠rculo.

360 = el ángulo de una rotación completa.

De la ilustración anterior, la longitud del arco (dibujado en rojo) es la distancia del punto A al punto B.


Resolvamos algunos problemas de ejemplo sobre la longitud de un arco:

ejemplo 1

Dado ese arco, AB subtiende un ángulo de 40 grados con el centro de un círculo cuyo radio es de 7 cm. Calcula la longitud del arco AB.

Solución

Dado r = 7 cm

őł = 40 grados.

Por sustitución,

La longitud de un arco = 2ŌÄr (őł / 360)


Longitud = 2 x 3.14 x 7 x 40/360

= 4.884 cm.

ejemplo 2

Calcula la longitud de un arco de un círculo que subtiende un ángulo de 120 grados al centro de un círculo con 24 cm.

Solución

La longitud de un arco = 2ŌÄr (őł / 360)

= 2 x 3.14 x 24 x 120/360

= 50.24 cm.

ejemplo 3

La longitud de un arco es de 35 m. Si el radio del círculo es 14 m, encuentre el ángulo subtendido por el arco.

Solución

La longitud de un arco = 2ŌÄr (őł / 360)

35 metros = 2 x 3.14 x 14 x (őł / 360)

35 = 87.92őł / 360

Multiplica ambos lados por 360 para quitar la fracción.

12600 = 87.92őł

Divide ambos lados entre 87.92

őł = 143.3 grados.

ejemplo 4

Encuentre el radio de un arco que tiene 156 cm de longitud y subtiende un ángulo de 150 grados con respecto al centro del círculo.


Solución

La longitud de un arco = 2ŌÄr (őł / 360)

156 cm = 2 x 3.14 xrx 150/360

156 = 2.6167 r

Divide ambos lados entre 2.6167

r = 59.62 cm.

Entonces, el radio del arco es 59.62 cm.

¬ŅC√≥mo encontrar la longitud del arco en radianes?

Existe una relación entre el ángulo subtendido por un arco en radianes y la relación entre la longitud del arco y el radio del círculo. En este caso,

őł = (la longitud de un arco) / (el radio del c√≠rculo).


Por lo tanto, la longitud del arco en radianes viene dada por,

S = r őł

donde, őł = √°ngulo subtendido por un arco en radianes

S = longitud del arco.

r = radio del círculo.

Un radianes es el √°ngulo central subtendido por una longitud de arco de un radio, es decir, s = r

El radianes es solo otra forma de medir el tama√Īo de un √°ngulo. Por ejemplo, para convertir √°ngulos de grados a radianes, multiplique el √°ngulo (en grados) por ŌÄ / 180.

De manera similar, para convertir radianes a grados, multiplique el √°ngulo (en radianes) por 180 / ŌÄ.

ejemplo 5

Encuentre la longitud de un arco cuyo radio es 10 cm y el √°ngulo subtendido es 0.349 radianes.

Solución

Longitud del arco = r őł

= 0.349 x 10


= 3.49 cm.

ejemplo 6

Calcula la longitud de un arco en radianes con un radio de 10 my un √°ngulo de 2.356 radianes.

Solución

Longitud del arco = r őł

= 10 mx 2.356

= 23.56 m.

ejemplo 7

Encuentre el √°ngulo subtendido por un arco con una longitud de 10.05 mm y un radio de 8 mm.

Solución

Longitud del arco = r őł

10.05 = 8 őł

Divide ambos lados entre 8.

1.2567 = őł

Allí, el ángulo subtendido por el arco es 1.2567 radianes.

ejemplo 8

Calcula el radio de un círculo cuya longitud de arco es de 144 yardas y el ángulo del arco es de 3.665 radianes.


Solución

Longitud del arco = r őł

144 = 3.665r

Divide ambos lados entre 3.665.

144 / 3.665 = r

r = 39.29 yardas.

ejemplo 9

Calcula la longitud de un arco que subtiende un ángulo de 6.283 radianes al centro de un círculo que tiene un radio de 28 cm.

Solución

Longitud del arco = r őł

= 28 x 6.283

= 175.93 cm

Arco menor (h3)

El arco menor es un arco que subtiende un ángulo de menos de 180 grados al centro del círculo. En otras palabras, el arco menor mide menos que un semicírculo y está representado en el círculo por dos puntos. Por ejemplo, arco AB en el círculo de abajo está el arco menor.

Arco mayor (h3)

El arco mayor de un círculo es un arco que subtiende un ángulo de más de 180 grados al centro del círculo. El arco mayor es mayor que el semicírculo y está representado por tres puntos en un círculo.

Por ejemplo, PQR es el arco principal del círculo que se muestra a continuación.

Problemas de pr√°ctica

  1. Halla el área del sector del círculo de radio de 9 mm. Suponga que el ángulo subtendido por este arco en el centro es de 30 o.
  2. La ciudad A se encuentra al norte de la ciudad B. Las latitudes de la ciudad A y la ciudad B son 54 o N y 45 o N, respectivamente. ¬ŅCu√°l es la distancia Norte-Sur entre las dos ciudades? El radio de la Tierra es de 6400 km.



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