√Ārea de pol√≠gonos: explicaci√≥n y ejemplos

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Aina Prat
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√Ārea de pol√≠gonos: explicaci√≥n y ejemplos

Siempre que hablamos de geometr√≠a, hablamos de longitudes de lados, √°ngulos y √°reas de las formas. Vimos los otros dos antes; hablemos de este √ļltimo. Lleg√≥ a ver tantas preguntas de ex√°menes de matem√°ticas sobre c√≥mo encontrar la regi√≥n sombreada de un pol√≠gono en particular.


Para eso, necesita tener el conocimiento de fórmulas de área para diferentes tipos de polígonos.

En este artículo, aprenderá:


  • Cu√°l es el √°rea de un pol√≠gono 
  • ¬ŅC√≥mo encontrar el √°rea de un pol√≠gono, incluida el √°rea de un pol√≠gono regular e irregular?

 

¬ŅCu√°l es el √°rea de un pol√≠gono?

En geometría, el área se define como la región ocupada dentro del límite de una figura bidimensional. Por lo tanto, el área de un polígono es el espacio total o la región delimitada por los lados de un polígono.

Las unidades estándar para la medición del área son metros cuadrados (m2).

¬ŅC√≥mo encontrar el √°rea de un pol√≠gono?

Polígonos regulares como rectángulos, cuadrados, trapecios, paralelogramos, etc., tienen fórmulas predefinidas para calcular sus áreas.

Sin embargo, por un pol√≠gono irregular, el √°rea se calcula subdividiendo un pol√≠gono irregular en peque√Īas secciones de pol√≠gonos regulares.


√Ārea de un pol√≠gono regular

Calcular el área de un polígono regular puede ser tan simple como encontrar el área de un triángulo regular. Los polígonos regulares tienen la misma longitud de lado y la misma medida de ángulos.

Existen tres métodos para calcular el área de un polígono regular. Cada método se utiliza en diferentes ocasiones.

√Ārea de un pol√≠gono usando el concepto de apotema

El área de un polígono regular se puede calcular utilizando el concepto de apotema. La apotema es un segmento de línea que une el centro del polígono al punto medio de cualquier lado que sea perpendicular a ese lado. Por lo tanto, el área de un polígono regular viene dada por;


A = 1/2. pag . a

donde p = el perímetro del polígono = suma de todas las longitudes de los lados de un polígono.

a = apotema.

Considere un pentágono que se muestra a continuación;

Si el apotema, a = xy la longitud de cada lado del pent√°gono es s, entonces el √°rea del pent√°gono viene dada por;

√Ārea = 1/2. pag . a

Perímetro = s + s + s + s + s

= 5 s

Entonces, sustitución,

√Ārea = (¬Ĺ) 5sx

= (5/2) (s. X) cuadrados unidades

Cuando se utiliza el método de la apotema, siempre se proporcionará la longitud de la apotema.

√Ārea de un pol√≠gono usando la f√≥rmula: A = (L2 n) / [4 tan (180 / n)]

Alternativamente, el área del polígono de área se puede calcular usando la siguiente fórmula;


A = (L2 n)/[4 tan (180/n)]

Donde, A = área del polígono,

L = Longitud del lado

n = N√ļmero de lados del pol√≠gono dado.

√Ārea de un pol√≠gono circunscrito

El área de un polígono circunscrito en un círculo está dada por,

A = [n / 2 √ó L √ó ‚ąö (R¬≤ - L¬≤ / 4)] unidades cuadradas.

Donde n = n√ļmero de lados.

L = Longitud del lado de un polígono

R = Radio del círculo circunscrito.

Resolvamos algunos problemas de ejemplo sobre el área de un polígono regular.

ejemplo 1

Calcula el √°rea de un hex√°gono regular, cada uno de cuyos lados mide 6 m.

Solución


Para un hex√°gono, el n√ļmero de lados, n = 6

L = 6 m

A = (L2n) / [4tan (180 / n)]

Por sustitución,

A = (62 6)/ [4tan (180/6)]

= (36 * 6) / [4tan (180/6)]

= 216 / [4tan (180/6)]

= 216 / 2.3094

A = 93.53 m2

ejemplo 2

Calcula el √°rea de un hex√°gono regular cuya apotema es 10‚ąö3 cm y la longitud de los lados son 20 cm cada uno.

Solución

√Ārea = ¬Ĺ pa

Primero, encuentra el perímetro del hexágono.

p = (20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20) cm = (20 cm * 6)


= 120 cm

Sustituir.

√Ārea = ¬Ĺ pa

= ¬Ĺ * 120 * 10‚ąö3

= 600‚ąö3 cm2

ejemplo 3

Calcula el área del pentágono regular si la longitud del polígono es de 8 my el radio del círculo circunscrito es de 7 m.
Solución
A = [n / 2 √ó L √ó ‚ąö (R¬≤ - L¬≤ / 4)] unidades cuadradas.

Donde, n = 5; L = 8 my R = 7 m.

Por sustitución,

A = [5/2 √ó 8 √ó ‚ąö (7¬≤ - 8¬≤ / 4)] m2

= [20‚ąö (49 - 64/4)]

= 20‚ąö (49 - 16)

= 20‚ąö33 m2

= 20 * 5.745 m2

= 114.89 m2

ejemplo 4

Calcula el √°rea de un pent√°gono regular cuya apotema y longitud de lado son 15 cm y 18 cm, respectivamente.

Solución

√Ārea = ¬Ĺ pa

a = 15cm


p = (18 * 5) = 90 cm

A = (¬Ĺ * 90 * 15) cm

= 675 cm.

√Ārea de un pol√≠gono irregular

Un polígono irregular es un polígono con ángulos interiores de diferentes medidas. Las longitudes de los lados de un polígono irregular también son de diferente medida.

Como se dijo antes, podemos calcular el √°rea de un pol√≠gono irregular subdividiendo un pol√≠gono irregular en peque√Īas secciones de pol√≠gonos regulares.

ejemplo 5

Encuentre el área de un polígono irregular que se muestra a continuación si, AB = ED = 20 cm, BC = CD = 5cm y AB = BD = 8 cm

Solución

Subdividir el polígono irregular en secciones de polígonos regulares

Por lo tanto, ABED es un rect√°ngulo y BDC es un tri√°ngulo.

√Ārea del rect√°ngulo = l * w

= 20 * 8 = 160 cm2

√Ārea del tri√°ngulo = 1/2. B . h

La altura del tri√°ngulo se puede calcular aplicando el teorema de Pit√°goras. Por ejemplo,

c2 = a2 + b2

252 = a2 + 42

a = ‚ąö (25 - 16)

a = 3

A = ¬Ĺ bh = ¬Ĺ * 3 * 8

= 6 cm2

Ahora agregue las √°reas parciales.

√Ārea del pol√≠gono = (160 + 6) cm2 = 166 cm2



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