Área de superficie de un cono: explicación y ejemplos
El cono es otra figura importante en geometría. Para recordar, un cono es una estructura tridimensional que tiene una base circular donde un conjunto de segmentos de línea, conectando todos los puntos en la base a un punto común llamado el ápice. Se muestra en la figura siguiente.
La distancia vertical desde el centro de la base hasta el vértice de un cono es la altura (h), mientras que la altura inclinada de un cono es la longitud (l).
El área de la superficie de un cono es la suma del área de la superficie inclinada y curva y el área de la base circular.
En este artículo, discutiremos cómo encontrar el área de superficie usando el área de superficie de una fórmula de cono. También discutiremos el área de la superficie lateral de un cono.
¿Cómo encontrar el área de la superficie de un cono?
Para encontrar el área de la superficie de un cono, debe calcular la base del cono y el área de la superficie lateral.
Dado que la base de un cono es un círculo, entonces el área de la base (B) de un cono se da como:
Área de la base de un cono, B = πr²
Dónde r = el radio de la base del cono
Superficie lateral de un cono
El superficie curva de un cono puede verse como un triángulo cuya longitud base es igual a 2πr (circunferencia de un círculo), y su altura es igual a la altura inclinada (l) del cono.
Como sabemos, el área de un triángulo = ½ bh
Por lo tanto, el área de la superficie lateral de un cono se da como:
Área de superficie lateral = 1/2 × l × 2πr
Al simplificar la ecuación, obtenemos,
El área de la superficie lateral de un cono, (LSA) = πrl
Área de superficie de una fórmula de cono
El área de la superficie total de un cono = área de la base + área de la superficie lateral. Por lo tanto, la fórmula para el área de superficie total de un cono se representa como:
El área de superficie total de un cono = πr2 + πrl
Tomando πr como factor común de RHS, obtenemos;
Área de superficie total de un cono = πr (l + r) ………………… (Área de superficie de una fórmula de cono)
Donde r = radio de la base yl = altura inclinada
Según el teorema de Pitágoras, la altura inclinada, l = √ (h2 + r2)
Ejemplos resueltos
ejemplo 1
El radio y la altura de un cono son 9 cm y 15 cm, respectivamente. Calcula el área de la superficie total del cono.
Solución
Dado:
Radio, r = 9 cm
Altura, h = 15 cm
Altura inclinada, l = √ (h2 + r2)
l = √ (152 + 92)
= √ (225 + 81)
= √306
= 17.5
Por lo tanto, altura inclinada, l = 17.5 cm
Ahora sustituya los valores en el área de superficie de una fórmula de cono
TSA = πr (l + r)
= 3.14 x 9 (9 + 17.5)
= 28.26 x 157.5
= 4,450.95 cm2
ejemplo 2
Calcule el área de la superficie lateral de un cono cuyo radio es de 5 my altura inclinada es de 20 m.
Solución
Dado;
Radio, r = 5 m
Altura inclinada, l = 20 m
Pero, el área de la superficie lateral de un cono = πrl
= 3.14 x 5 x 20
= 314 m2
ejemplo 3
El área de superficie total de un cono es 83.2 pies2. Si la altura inclinada del cono es 5.83 pies, calcule el radio del cono.
Solución
Dado;
TSA = 83.2 pies2
Altura inclinada, l = 5 .83ft
Pero, TSA = πr (l + r)
83.2 = 3.14 xr (5.83 + r)
83.2 = 3.14 xr (5.83 + r)
Al aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación en el RHS, obtenemos
83.2 = 18.3062r + 2.14r2
Dividir cada término por 3.14
26.5 = 3.14r + r2
r2 + 3.14r - 26.5 = 0
r = 3.8
Por lo tanto, el radio del cono es 3.8 pies
ejemplo 4
El área de superficie total de un cono es 625 pulg2. Si la altura inclinada es tres veces el radio del cono, calcule las dimensiones del cono.
Solución
Dado;
TSA = 625 pulg2
Altura inclinada = 3 x radio del cono
Sea el radio del cono x
Altura inclinada = 3x
TSA = πr (l + r)
625 = 3.14 veces (3 veces + x)
Divide ambos lados entre 3.14.
199.04 = x (4 aumentos)
199.04 = 4x2
Divide ambos lados entre 4 para obtener
49.76 = x2
x = √49.76
x = 7.05
Por tanto, las dimensiones del cono son las siguientes;
Radio del cono = 7.05 in
Altura inclinada, l = 3 x 7.05 = 21.15 pulg.
Altura del uno, h = √ (21.152 - 7.052)
h = 19.94 pulg.
ejemplo 5
El área de la superficie lateral es 177 cm2 menos que el área de la superficie total de un cono. Calcula el radio del cono.
Solución
El área de la superficie total de un cono = área de la superficie lateral + área de la base
Por lo tanto, 177 cm2 = área de la base
Pero, el área de la base de un cono = πr2
177 = 3.14r2
r2 = 56.4 cm
r = √56.4
= 7.5 cm
Entonces, el radio del cono es de 7.5 cm.
ejemplo 6
El costo de pintar un recipiente cónico es de $ 0.01 por cm2. Encuentre el costo total de pintar 15 recipientes cónicos de 5 cm de radio y 8 cm de altura inclinada.
Solución
TSA = πr (l + r)
= 3.14 x 5 (5 + 8)
= 15.7 x 13
= 204.1 cm2
El costo total de pintar 15 contenedores = 204.1 x 0.01 x 15
= $ 30.62
