Área de superficie de una esfera: explicación y ejemplos

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Área de superficie de una esfera: explicación y ejemplos

La esfera es una de las figuras 3D importantes en geometría. Para recordar, una esfera es un objeto tridimensional en el que cada punto es equidistante (la misma distancia) de un punto fijo, conocido como el centro de la esfera. El diámetro de una esfera la divide en dos mitades iguales, llamadas hemisferios.


El área de la superficie de una esfera es la medida de la región cubierta por la superficie de una esfera.


En este artículo, aprenderás cómo encontrar el área de superficie de una esfera usando la fórmula del área de superficie de una esfera.


¿Cómo encontrar el área de superficie de una esfera?

Como un círculo, la distancia desde el centro de una esfera hasta la superficie se conoce como radio. El área de la superficie de una esfera es cuatro veces el área del círculo con el mismo radio.

Área de superficie de una fórmula de esfera

El área de superficie de una fórmula de esfera se da como:

Área de superficie de una esfera = 4πr2 unidades cuadradas ……………. (Fórmula del área de superficie de una esfera)

Para un hemisferio (la mitad de una esfera), el área de la superficie está dada por;


Área de superficie de un hemisferio = ½ × área de superficie de esfera + área de la base (un círculo)

= ½ × 4π r2 + π r2 

Superficie de un hemisferio = 3πr2 …………………. (Área de superficie de una fórmula de hemisferio)

Donde r = el radio de la esfera dada.

Resolvamos algunos problemas de ejemplo sobre el área de la superficie de una esfera.

ejemplo 1

Calcula el área de la superficie de una esfera de 14 cm de radio.

Solución

Dado:

Radio, r = 14 cm

Por la fórmula,

Área de superficie de una esfera = 4πr2 

En sustitución, obtenemos,

SA = 4 x 3.14 x 14 x 14

= 2,461.76 cm2.

ejemplo 2

El diámetro de una pelota de béisbol es de 18 cm. Calcula el área de la superficie de la pelota.

Solución

Dado,

Diámetro = 18 cm ⇒ radio = 18/2 = 9 cm

Una pelota de béisbol tiene forma esférica, por lo tanto,

El área de la superficie = 4πr2 


= 4 x 3.14 x 9 x 9

SA = 1,017.36 cm2

ejemplo 3

La superficie de un objeto esférico es 379.94 m2. ¿Cuál es el radio del objeto?

Solución

Dado,

SA = 379.94 m2

Pero, área de superficie de una esfera = 4πr2 


⇒ 379.94 = 4 x 3.14 x r2

⇒ 379.94 = 12.56r2

Divide ambos lados por 12.56 y luego encuentra el cuadrado del resultado

⇒ 379.94 / 12.56 = r2

⇒ 30.25 = r2

⇒ r = √30.25

= 5.5

Por tanto, el radio del sólido esférico es de 5.5 m.

ejemplo 4

El costo del cuero es de $ 10 por metro cuadrado. Halle el costo de fabricar 1000 balones de fútbol con un radio de 0.12 m.

Solución

Primero, encuentra el área de superficie de una bola

SA = 4πr2 

= 4 x 3.14 x 0.12 x 0.12


= 0.181 m2

El costo de fabricar una pelota = 0.181 m2 x $ 10 por metro cuadrado

= $ 1.81

Por lo tanto, el costo total de fabricar 1000 bolas = $ 1.81 x 1000

= $ 1,810

ejemplo 5

Se dice que el radio de la Tierra es de 6,371 km. ¿Cuál es el área de la superficie de la Tierra?

Solución

La tierra es una esfera.

SA = 4πr2 

= 4 x 3.14 x 6,371 x 6,371

= 5.098 x 108 km2

ejemplo 6


Calcula el área de la superficie de un hemisferio sólido de radio de 10 cm.

Solución

Dado:

Radio, r = 10 cm

Para un hemisferio, el área de la superficie está dada por:

SA = 3πr2

Sustituir.

SA = 3 x 3.14 x 10 x 10

= 942 cm2

Entonces, el área de la superficie de la esfera es 942 cm2.

ejemplo 7

El área de la superficie de un objeto hemisférico sólido es de 150.86 pies2. ¿Cuál es el diámetro del hemisferio?

Solución

Dado:

SA = 150.86 pies2.

Área de superficie de una esfera = 3πr2

⇒ 150.86 = 3 x 3.14 x r2

⇒ 150.86 = 9.42 r2

Divide ambos lados entre 9.42 para obtener,

⇒ 16.014 = r2          

r = √16.014

= 4

Por lo tanto, el radio es de 4 pies, pero el diámetro es el doble del radio.

Entonces, el diámetro del hemisferio es de 8 pies.

ejemplo 8

Calcula el área de la superficie de una esfera cuyo volumen es 1,436.03 mm3.

Solución

Dado que, ya sabemos que:

Volumen de una esfera = 4/3 πr3

1,436.03 = 4/3 x 3.14 x r3

1,436.03 = 4.19 r3

Divide ambos lados entre 4.19

r3 = 343

r = 3√343

r = 7

Entonces, el radio de la esfera es de 7 mm.

Ahora calcula el área de la superficie de la esfera.

Área de superficie de una esfera = 4πr2 

= 4 x 3.14 x 7 x 7

= 615.44 mm2.

ejemplo 9

Calcule el área de la superficie de un globo terráqueo de 3.2 m de radio.

Solución

Área de superficie de una esfera
= 4π r2
= 4π (3.2) 2
= 4 × 3.14 × 3.2 × 3.2
= 128.6 m2

Por tanto, el área de la superficie del globo es de 128.6 m2.



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