Área de superficie de una pirámide: explicación y ejemplos
Antes de comenzar, repasemos qué es una pirámide. En geometría, una pirámide es un sólido tridimensional cuya base es cualquier polígono y las caras laterales son triángulos.
En una pirámide, las caras laterales (que son triángulos) se encuentran en un punto común conocido como vértice. El nombre de una pirámide se deriva del nombre del polígono que forma su base. Por ejemplo, una pirámide cuadrada, una pirámide rectangular, una pirámide triangular, una pirámide pentagonal, etc.
El área de la superficie de una pirámide es la suma del área de las caras laterales.
Este artículo discutirá cómo encontrar el área de superficie total y el área de superficie lateral de una pirámide.
¿Cómo encontrar el área de superficie de una pirámide?
Para encontrar el área de la superficie de una pirámide, debes obtener el área de la base, luego sumar el área de los lados laterales, que es una cara por el número de lados.
Superficie de una fórmula piramidal
La fórmula general para el área de superficie de cualquier pirámide (regular o irregular) se da como:
Área de la superficie = Área de la base + Área lateral
Superficie = B + LSA
Donde TSA = superficie total
B = área de la base
LSA = superficie lateral.
Para una pirámide regular, la fórmula se da como:
El área de superficie total de la pirámide regular = B + 1/2 ps
donde p = perímetro de la base y s = altura de inclinación.
Nota: Nunca confunda la (s) altura (s) inclinada y la altura (h) de una pirámide. La distancia perpendicular desde el vértice hasta la base de una pirámide se conoce como altura (h), mientras que la distancia diagonal desde el vértice de la pirámide hasta el borde de la base se conoce como altura (s) inclinada.
Superficie de una pirámide cuadrada
Para una pirámide cuadrada, el área de superficie total = b (b + 2s)
Donde b = la longitud de la base y s = altura inclinada
Superficie de una pirámide triangular
El área de la superficie de una pirámide triangular = ½ b (a + 3s)
Donde, a = apotema longitud de una pirámide
b = longitud de la base
s = altura inclinada
Superficie de una pirámide pentagonal
La superficie total de una pirámide pentagonal regular está dada por;
Área de superficie de una pirámide pentagonal = 5⁄2 b (a + s)
Donde, a = apotema longitud de la base
y b = longitud lateral de la base, s = altura inclinada de la pirámide
Superficie de la pirámide hexagonal
Una pirámide hexagonal es una pirámide con un hexágono como base.
La superficie total de una pirámide hexagonal = 3b (a + s)
Superficie lateral de una pirámide
Como se dijo anteriormente, el área de la superficie lateral de una pirámide es el área de las caras laterales de una pirámide. Dado que todas las caras laterales de una pirámide son triángulos, entonces el área de la superficie lateral de la pirámide es la mitad del producto del perímetro de la base de la pirámide y la altura inclinada.
Superficie lateral (LSA = 1/2 ps)
Donde p = perímetro de la base y s = altura de inclinación.
Obtengamos una idea del área de superficie de una fórmula piramidal resolviendo algunos problemas de ejemplo.
ejemplo 1
¿Cuál es el área de superficie de una pirámide cuadrada cuya longitud de la base es de 4 cm y la altura inclinada es de 5 cm?
Solución
Dado:
Largo base, b = 4 cm
Altura inclinada, s = 5 cm
Por la fórmula,
Área de superficie total de una pirámide cuadrada = b (b + 2s)
TSA = 4 (4 + 2 x 5)
= 4 (4 + 10)
= 4 x 14
= 56 cm2
ejemplo 2
¿Cuál es el área de superficie de una pirámide cuadrada con una altura perpendicular de 8 my una longitud de base de 12 m?
Solución
Dado;
Altura perpendicular, h = 8 m
Longitud base, b = 12
Para obtener la altura de inclinación s, aplicamos el Teorema de Pitágoras.
s = √ [82 + (12/2) 2]
s = √ [82 + 62]
s = √ (64 + 36)
s = √100
= 10
Por lo tanto, la altura inclinada de la pirámide es de 10 m.
Ahora, calcula el área de la superficie de la pirámide.
SA = b (b + 2s)
= 12 (12 + 2 x 10)
= 12 (12 + 20)
= 12 x 32
= 384 m2.
ejemplo 3
Calcule el área de la superficie de la pirámide, cuya altura inclinada es de 10 pies, y su base es un triángulo equilátero de lado de 8 pies.
Solución
Dado:
Longitud de la base = 8 pies
Altura inclinada = 10 pies
Aplica el teorema de Pitágoras para obtener la longitud del apotema de la pirámide.
a = √ [82 - (8/2) 2]
= √ (64 - 16)
= √48
a = 6.93 pies
Por lo tanto, la longitud de la apotema de la pirámide es de 6.93 pies.
Pero, el área de la superficie de una pirámide triangular = ½ b (a + 3s)
TSA = ½ x 8 (6.93 + 3 x 10)
= 4 (6.93 + 30)
= 4 x 36.93
= 147.72 pies2
ejemplo 4
Encuentre el área de la superficie de una pirámide pentagonal cuya apotema tiene una longitud de 8 m, una longitud de base de 6 my una altura inclinada de 20 m.
Solución
Dado;
Longitud de la apotema, a = 8 m
Longitud de la base, b = 6 m
Altura inclinada, s = 20 m
Área de superficie de una pirámide pentagonal = 5⁄2 b (a + s)
TSA = 5/2 x 6 (8 + 20)
= 15 x 28
= 420 m2.
ejemplo 5
Calcule el área de la superficie total y el área de la superficie lateral de una pirámide hexagonal con la apotema como 20 m, la longitud de la base como 18 my la altura inclinada como 35 m.
Solución
Dado;
apotema, a = 20 m
Longitud de la base, b = 18 m
Altura inclinada, s = 35 m
El área de la superficie de una pirámide hexagonal = 3b (a + s)
= 3 x 18 (20 + 35)
= 54 x 55
= 2,970 m2.
El área de la superficie lateral de una pirámide = 1/2 ps
Perímetro, p = 6 x 18
= 108 m
LSA = ½ x 108 x 35
= 1,890 m2
