Área del sector: explicación y ejemplos
Para recordar, un sector es una porción de un círculo encerrado entre sus dos radios y el arco contiguo a ellos.
Por ejemplo:, una porción de pizza es un ejemplo de un sector que representa una fracción de la pizza. Hay dos tipos de sectores, sector mayor y menor. Un sector menor es menor que un sector de semicírculo, mientras que un sector mayor es un sector que es mayor que un semicírculo.
En este artículo, aprenderá:
- Cuál es el área de un sector.
- Cómo encontrar el área de un sector; y
- La fórmula para el área de un sector.
¿Qué es el área de un sector?
El área de un sector es la región encerrada por los dos radios de un círculo y el arco. En palabras simples, el área de un sector es una fracción del área del círculo.
¿Cómo encontrar el área de un sector?
Para calcular el área de un sector, necesita conocer los siguientes dos parámetros:
- La longitud del radio del círculo.
- La medida del ángulo central o la longitud del arco. El ángulo central es el ángulo subtendido por un arco de un sector en el centro de un círculo. El ángulo central puede expresarse en grados o radianes.
Con los dos parámetros anteriores, encontrar el área de un círculo es tan fácil como ABCD. Es solo cuestión de introducir los valores en el área de la fórmula del sector que se muestra a continuación.
Fórmula para el área de un sector
Hay tres fórmulas para calcular el área de un sector. Cada una de estas fórmulas se aplica en función del tipo de información que se dé sobre el sector.
Área de un sector cuando el ángulo central se expresa en grados
Si el ángulo del sector se da en grados, entonces la fórmula para el área de un sector viene dada por,
Área de un sector = (θ / 360) πr2
A = (θ / 360) πr2
Donde θ = el ángulo central en grados
Pi (π) = 3.14 y r = el radio de un sector.
Área de un sector dado el ángulo central en radianes
Si el ángulo central se da en radianes, entonces la fórmula para calcular el área de un sector es;
Área de un sector = (θr2) / 2
Donde θ = la medida del ángulo central expresada en radianes.
Área de un sector dada la longitud del arco
Dada la longitud del arco, el área de un sector está dada por,
Área de un sector = rL / 2
Donde r = radio del círculo.
L = longitud del arco.
Resolvamos un par de problemas de ejemplo que involucran el área de un sector.
ejemplo 1
Calcula el área del sector que se muestra a continuación.
Solución
Área de un sector = (θ / 360) πr2
= (130/360) x 3.14 x 28 x 28
= 888.97 cm2
ejemplo 2
Calcula el área de un sector con un radio de 10 yardas y un ángulo de 90 grados.
Solución
Área de un sector = (θ / 360) πr2
A = (90/360) x 3.14 x 10 x 10
= 78.5 yardas cuadradas.
ejemplo 3
Calcula el radio de un semicírculo con un área de 24 pulgadas al cuadrado.
Solución
Un semicírculo es lo mismo que un semicírculo; por lo tanto, el ángulo θ = 180 grados.
A = (θ / 360) πr2
24 = (180/360) x 3.14 x r2
24 = 1.57r2
Divide ambos lados entre 1.57.
15.287 = r2
Calcula la raíz cuadrada de ambos lados.
r = 3.91
Entonces, el radio del semicírculo es 3.91 pulgadas.
ejemplo 4
Encuentre el ángulo central de un sector cuyo radio es de 56 cm y el área es de 144 cm2.
Solución
A = (θ / 360) πr2
144 = (θ / 360) x 3.14 x 56 x 56.
144 = 27.353 θ
Divide ambos lados por θ.
θ = 5.26
Por tanto, el ángulo central es de 5.26 grados.
ejemplo 5
Encuentre el área de un sector con un radio de 8 my un ángulo central de 0.52 radianes.
Solución
Aquí, el ángulo central está en radianes, por lo que tenemos,
Área de un sector = (θr2) / 2
= (0.52 x 82) / 2
= 16.64 m2
ejemplo 6
El área de un sector es de 625 mm2. Si el radio del sector es de 18 mm, encuentre el ángulo central del sector en radianes.
Solución
Área de un sector = (θr2) / 2
625 = 18 x 18 x θ / 2
625 = 162 θ
Divide ambos lados entre 162.
θ = 3.86 radianes.
ejemplo 7
Calcula el radio de un sector cuya área es de 47 metros al cuadrado y el ángulo central es de 0.63 radianes.
Solución
Área de un sector = (θr2) / 2
47 = 0.63r2 / 2
Multiplica ambos lados por 2.
94 = 0.63 r2
Divide ambos lados entre 0.63.
r2 = 149.2
r = 12.22
Entonces, el radio del sector es de 12.22 metros.
ejemplo 8
La longitud de un arco es de 64 cm. Encuentre el área del sector formado por el arco si el radio del círculo es 13 cm.
Solución
Área de un sector = rL / 2
= 64 x 13/2
= 416 cm2.
ejemplo 9
Calcula el área de un sector cuyo arco mide 8 pulgadas y el radio mide 5 pulgadas.
Solución
Área de un sector = rL / 2
= 5 x 8/2
= 40 / 2
= 20 pulgadas cuadradas.
ejemplo 10
Encuentre el ángulo de un sector cuya longitud de arco es de 22 cm y el área es de 44 cm2.
Solución
Área de un sector = rL / 2
44 = 22r / 2
88 = 22r
r = 4
Por tanto, el radio del sector es de 4 cm.
Ahora calcula el ángulo central del sector.
Área de un sector = (θr2) / 2
44 = (x 4 x 4) / 2
44 = 8 θ
θ = 5.5 radianes.
Por tanto, el ángulo central del sector es de 5.5 radianes.
