ARQUÍMEDES DE SIRACUSA - Eureka & The Principle
Biografía - ¿Quién era Arquímedes?
Otro matemático griego que estudió en Alejandría en el siglo III a. C. fue Arquímedes, aunque nació, murió y vivió la mayor parte de su vida en Siracusa, Sicilia (una colonia griega helénica en Magna Grecia). Poco se sabe con certeza de su vida, y muchas de las historias y anécdotas sobre él fueron escritas mucho después de su muerte por los historiadores de la antigua Roma.
También ingeniero, inventor y astrónomo, Arquímedes fue más conocido a lo largo de la historia por sus innovaciones militares como sus motores de asedio y espejos para aprovechar y enfocar el poder del sol, así como palancas, poleas y bombas (incluida la famosa bomba de tornillo conocido como Tornillo de Arquímedes, que todavía se usa hoy en algunas partes del mundo para el riego).
Pero su verdadero amor eran las matemáticas puras, y el descubrimiento en 1906 de obras previamente desconocidas, conocidas como el "Palimpsesto de Arquímedes", le ha proporcionado nuevos conocimientos sobre cómo obtuvo sus resultados matemáticos. Hoy en día, se considera que Arquímedes fue uno de los más grandes matemáticos de la antigüedad, si no de todos los tiempos, en la augusta compañía de matemáticos como Newton y Gauss.
Método de agotamiento
Arquímedes produjo fórmulas para calcular las áreas de formas regulares, usando un método revolucionario de capturar nuevas formas usando formas que él ya entendía. Por ejemplo, para estimar el área de un círculo, construyó un polígono más grande fuera del círculo y uno más pequeño dentro de él. Primero encerró el círculo en un triángulo, luego en un cuadrado, pentágono, hexágono, etc., etc., aproximando cada vez más el área del círculo. Por este llamado "método de agotamiento" (o simplemente "Método de Arquímedes”), Efectivamente se centró en el valor de uno de los números más importantes de todas las matemáticas, π. Su estimación estaba entre 31⁄7 (aproximadamente 3.1429) y 310⁄71 (aproximadamente 3.1408), que se compara bien con su valor real de aproximadamente 3.1416.
Curiosamente, Arquímedes parecía muy consciente de que todo lo que podía establecerse era un rango y que el valor real podría no conocerse nunca. Su método para estimar π fue llevado al extremo por Ludoph van Ceulen en el siglo XVI, quien usó un polígono con un extraordinario 16 lados para llegar a un valor de π correcto a 4,611,686,018,427,387,904 dígitos. Ahora sabemos que π es de hecho un número irracional, cuyo valor nunca se puede conocer con total precisión.
De manera similar, calculó el volumen aproximado de un sólido como una esfera cortándolo en una serie de cilindros y sumando los volúmenes de los cilindros constituyentes. Vio que al hacer las rodajas cada vez más delgadas, su aproximación se hacía cada vez más exacta, de modo que, en el límite, su aproximación se convertía en un cálculo exacto. Este uso de infinitesimales, de manera similar al cálculo integral moderno, le permitió dar respuestas a problemas con un grado arbitrario de precisión, mientras especificaba los límites dentro de los cuales se encontraba la respuesta.
Cuadratura de la parábola
El uso más sofisticado de Arquímedes del método de agotamiento, que permaneció insuperable hasta el desarrollo del cálculo integral en el siglo XVII, fue su prueba, conocida como la Cuadratura de la parábola - que el área de un segmento parabólico es 4⁄3 de la de un cierto triángulo inscrito. Diseccionó el área de un segmento parabólico (la región encerrada por una parábola y una línea) en infinitos triángulos cuyas áreas forman una progresión geométrica. Luego calculó la suma de la serie geométrica resultante y demostró que esta es el área del segmento parabólico.
De hecho, Arquímedes tenía quizás la visión más profética del concepto de infinito de todos los matemáticos griegos. En términos generales, la preferencia de los griegos por pruebas precisas y rigurosas y su desconfianza hacia las paradojas hizo que evitaran por completo el concepto de infinito real. Incluso Euclides, en su demostración de la infinitud de los números primos, tuvo cuidado de concluir que hay "más números primos que cualquier número finito dado", es decir, una especie de "infinito potencial" en lugar del "infinito real" de, por ejemplo, el número de puntos en una línea. Sin embargo, Arquímedes, en el "Palimpsesto de Arquímedes", fue más lejos que cualquier otro matemático griego cuando, al comparar dos conjuntos infinitamente grandes, notó que tenían el mismo número de miembros, por lo que por primera vez se consideraba el infinito real, un concepto que no seriamente considerado nuevamente hasta Georg Cantor en el siglo XIX.
Otro ejemplo de la meticulosidad y precisión del trabajo de Arquímedes es su cálculo del valor de la raíz cuadrada de 3 entre 265⁄153 (aproximadamente 1.7320261) y 1351⁄780 (aproximadamente 1.7320512); el valor real es aproximadamente 1.7320508. Incluso calculó el número de granos de arena necesarios para llenar el universo, utilizando un sistema de conteo basado en miríadas (10,000) y miríadas de miríadas (100 millones). Su estimación fue de 8 vigintillones, o 8 x 1063.
El descubrimiento del que Arquímedes afirmó estar más orgulloso fue el de la relación entre una esfera y un cilindro circunscriptor de la misma altura y diámetro. Calculó el volumen de una esfera como 4⁄3πr3, y el de un cilindro de la misma altura y diámetro que 2πr3. El área de la superficie era 4πr2 para la esfera y 6πr2 para el cilindro (incluidas sus dos bases). Por tanto, resulta que la esfera tiene un volumen igual a dos tercios del del cilindro, y un área de superficie también igual a dos tercios del del cilindro. Arquímedes estaba tan complacido con este resultado que supuestamente se colocaron una esfera y un cilindro esculpidos en su tumba a pedido suyo.
El principio de Arquímedes
Sin embargo, a pesar de sus importantes contribuciones a las matemáticas puras, Arquímedes es probablemente mejor recordado por la historia anecdótica de su descubrimiento de un método para determinar el volumen de un objeto con una forma irregular.
¡Eureka! ¡Eureka!
Rey Hierón de Siracusa le había pedido a Arquímedes que averiguara si el orfebre real lo había engañado al poner plata en su nueva corona de oro, pero Arquímedes claramente no podía derretirla para medirla y establecer su densidad, por lo que se vio obligado a buscar una solución alternativa. .
Mientras se bañaba el día, notó que el nivel del agua en la tina subía al entrar, y tuvo la súbita inspiración de que podía usar este efecto para determinar el volumen (y por lo tanto la densidad) de la corona. . En su emoción, aparentemente salió corriendo del baño y corrió desnudo por las calles gritando: “¡Eureka! ¡Eureka!"("¡Lo encontré! ¡Lo encontré!”). Esto dio lugar a lo que se conoce como el Principio de Arquímedes: un objeto que se sumerge en un fluido es impulsado por una fuerza igual al peso del fluido desplazado por el objeto.
Dame un lugar para pararme y moveré la Tierra
Otra cita muy conocida atribuida a Arquímedes es: “Dame un lugar para pararme y moveré la Tierra”, Lo que significa que, si tuviera un punto de apoyo y una palanca lo suficientemente largos, podría mover la Tierra por su propio esfuerzo, y su trabajo sobre los centros de gravedad fue muy importante para futuros desarrollos en mecánica.
De acuerdo con la leyenda, Arquímedes fue asesinado por un soldado romano después de la toma de la ciudad de Siracusa. Estaba contemplando un diagrama matemático en la arena y enfureció al soldado al negarse a ir al encuentro del general romano hasta que hubiera terminado de trabajar en el problema. Se supone que sus últimas palabras fueron "¡No molestes a mis círculos!"
