Asíntota horizontal: propiedades, gráficos y ejemplos

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Valery Aloyants
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Asíntota horizontal: propiedades, gráficos y ejemplos

Cuando se le da el gráfico de una función racional, es posible que observe esas líneas horizontales (normalmente líneas discontinuas). Estas son las asíntotas horizontales de la función; conocer estos valores puede ayudarnos a comprender los valores restringidos de la función.

Las asíntotas horizontales de una función nos ayudan a comprender el comportamiento de la función cuando el valor de entrada es significativamente grande o pequeño.

Muchas funciones pueden contener asíntotas horizontales, pero este artículo usará funciones racionales al discutir asíntotas horizontales.



Es mejor asegurarse de tener sus notas sobre funciones racionales, o también puede consultar este artículo que escribimos sobre funciones racionales.

Comprender las asíntotas horizontales puede ayudarnos a comprender el comportamiento de la gráfica de la función a medida que se extienden tanto en el lado negativo como en el positivo. Podemos comenzar por comprender qué significan las asíntotas horizontales.

¿Qué es una asíntota horizontal?

Las asíntotas horizontales de una función representan los valores de $ f (x) $ cuando $ x $ es significativamente pequeño o significativamente grande. También representan el valor de la función como $ x rightarrow infty $ y $ x rightarrow -infty $.


El gráfico anterior muestra una función racional que tiene una asíntota horizontal en $ y = 2 $.


En general, la ecuación de asíntotas horizontales está representada por $ y = a $, donde $ a $ es el valor de $ y $ cuando $ x flecha derecha pm infty $. Estos valores también representan el valor que la función puede que nunca alcance.

En el gráfico, estos están representados por líneas horizontales; la mayoría de las veces, las asíntotas horizontales están representadas por líneas discontinuas. ¿Observa cómo la gráfica de nuestros ejemplos pasa por su asíntota horizontal?

Esa es la diferencia entre las asíntotas verticales y horizontales: la curva de una función nunca puede pasar por su asíntota vertical, pero es posible que pase por su asíntota horizontal en algunos puntos.

¿Cómo encontrar la asíntota horizontal?

En general, podemos encontrar la asíntota horizontal de una función determinando los valores de salida restringidos de la función. Si ya ha aprendido sobre los límites de las funciones racionales y los límites de otras funciones, la asíntota horizontal es simplemente el valor devuelto al evaluar $ lim_ {x rightarrow infty} f (x) $.

Las funciones racionales pueden tener tres resultados posibles cuando tratamos de encontrar sus asíntotas horizontales. Al igual que con sus límites, las asíntotas horizontales de funciones dependerán del numerador y del grado del denominador.

Reglas de asíntotas horizontales en funciones racionales

Como se mencionó, tenemos tres reglas para recordar al encontrar las asíntotas horizontales de funciones racionales. Digamos que tenemos la función racional en forma estándar, $ f (x) = f (x) = dfrac {a_nx ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} +… + a_o} {b_mx ^ m + b_ {m-1} x ^ {m-1} +… + b_o} $, donde $ a_nx ^ n $ y $ b_mx ^ m $ son los coeficientes principales del numerador y denominador, respectivamente.


Regla 1: Cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador, el $ símbolo en negrita {x} $-eje es la asíntota horizontal.


Observemos esto con $ f (x) = dfrac {x} {x ^ 2 - 1} $ y verifiquemos los valores cuando $ x rightarrow -infty $ y $ x rightarrow infty $.

Podemos ver que a medida que $ x $ se vuelve significativamente más grande y más pequeño, $ f (x) $ se acerca a cero. Esto significa que su asíntota es el eje $ y = 0 $ o $ x $.


Al ver la gráfica de $ f (x) $, podemos confirmar que su asíntota horizontal se encuentra a lo largo del eje $ x $. En general, siempre que $ n <m $, la horizontal de la función es el eje $ x $.

Regla 2: Cuando el grado del numerador es igual al grado del denominador, encuentre la asíntota horizontal de la función dividiendo el coeficiente principal del numerador por el denominador.

Un buen ejemplo de una función que tiene el mismo grado tanto en su numerador como en su denominador es $ f (x) = dfrac {6x ^ 2 - 1} {3x ^ 2 + 1} $. También podemos observar los valores de $ f (x) $ en valores de $ x $ que son significativamente grandes o pequeños.


Podemos ver que a medida que $ x $ se vuelve significativamente más grande y más pequeño, $ f (x) $ se acerca a $ 2 $. Esto significa que su asíntota es $ y = 2 $. Podemos confirmar esto dividiendo los coeficientes principales de $ y = dfrac {6} {3} = 2 $.

La gráfica de $ f (x) $, como se muestra arriba, confirma esto ya que ambos lados de la función se acercan a $ 2 $. La regla general es que cuando $ n = m $, la asíntota horizontal de la función es $ y = dfrac {a_n} {b_m} $.

Regla 3: Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, la función no tiene asíntota horizontal.

Observemos esto con $ f (x) = dfrac {x ^ 3} {x ^ 2 + 1} $ y verifiquemos los valores cuando $ x rightarrow -infty $ y $ x rightarrow infty $.

A partir de esto, podemos ver que los valores no se acercan a un valor común, lo que confirma aún más lo que sabemos: $ f (x) $ no tiene asíntotas horizontales. De hecho, tendrá una asíntota oblicua.

La regla se aplica a todas las funciones que tienen $ n> m $. La gráfica de $ f (x) $ también muestra que cuando $ n> m $, en realidad tenemos una asíntota inclinada u oblicua.

¿Cómo graficar una asíntota horizontal?

Ahora que sabemos cómo encontrar las asíntotas horizontales de una función, es hora de que aprendamos a graficarlas e integrarlas en la gráfica de una función.

  • Dado que la forma general de las asíntotas horizontales es $ y = a $, la asíntota horizontal será una línea horizontal (de ahí su nombre).
  • Grafique una línea horizontal que pase por $ (0, a) $ y se extienda en ambos lados.
  • Cuando se le dé la gráfica de la función racional, tenga en cuenta que está bien que la gráfica pase por la asíntota horizontal.

Intentemos graficar la asíntota horizontal de $ f (x) = dfrac {2x- 1} {3x + 2} $. Dado que los grados tanto del numerador como del denominador son iguales, su asíntota horizontal es igual a $ y = dfrac {2} {3} $.

Construimos una línea horizontal discontinua que pasa por el punto $ left (0, dfrac {2} {3} right) $. Siempre puede construir el gráfico de inmediato. El punto es solo una guía y le ayuda a conocer la posición de la línea horizontal.

¿Por qué no incluimos la gráfica de $ f (x) $ para mostrar cómo se vería la gráfica con la asíntota?

¿Necesita un repaso sobre la representación gráfica de funciones racionales? No olvide revisar nuestros consejos de nuestro artículo anterior sobre funciones racionales. En el gráfico, también podemos ver que como $ x flecha derecha pm infty $, $ f (x) flecha derecha dfrac {2} {3} $.

Resumen de la definición y propiedades de la asíntota horizontal

Ahora hemos discutido extensamente las asíntotas horizontales, así que antes de probar más problemas que involucran asíntotas horizontales, ¿por qué no resumimos lo que hemos aprendido hasta ahora?

  • Las asíntotas horizontales representan el valor de $ f (x) $ cuando $ x $ se acerca al infinito positivo o negativo.
  • Su forma general es $ y = a $, donde $ a = lim_ {x flecha derecha infty} f (x) $.
  • Una línea horizontal discontinua representa su gráfico.
  • Si $ f (x) $ es una función racional, el valor de $ a $ o la asíntota dependerá de su grado.

¡Ahora es el momento de usar lo que acabamos de aprender y probar los problemas de muestra a continuación!

ejemplo 1

Complete los espacios en blanco para que las siguientes afirmaciones sean verdaderas.

    una. Si $ lim_ {x rightarrow infty} f (x) = -4 $, esto significa que la asíntota horizontal de $ f (x) $ es ______________.

    B. Si la asíntota horizontal de $ g (x) $ es igual a $ -5 $ es, el grado del denominador de $ g (x) $ es __________ su numerador.

    C. La gráfica de la asíntota horizontal de $ h (x) $ se encuentra a lo largo del eje $ x $. Si el numerador de $ h (x) $ es $ -5x ^ 3 + 4x $, el grado de su denominador debe ser __________.

Solución

Recuerde que también podemos encontrar la asíntota horizontal al encontrar el límite de la función cuando el valor de entrada se acerca al infinito.

    una. Esto significa que si $ lim_ {x flecha derecha infty} f (x) = -4 $, entonces la ecuación para la asíntota horizontal es $ boldsymbol {y = -4} $.

    B. Dado que $ g (x) $ tiene una constante para su asíntota horizontal, esto significa que $ m <n $ o el denominador debe ser igual a su numerador.

Cuando la asíntota horizontal se encuentra a lo largo del eje $ x $, el grado del numerador debe ser menor que el grado de su denominador.

    C. Dado que el grado del numerador es 3, el grado del denominador debe ser inferior a 3.

ejemplo 2

Hemos analizado a fondo las asíntotas horizontales de las funciones racionales. Escribe una función que contenga una asíntota horizontal.

Solución

Como mencionamos en las secciones anteriores, hay muchas funciones que contienen asíntotas horizontales. Un ejemplo de tales funciones es el funcion exponencial.

Un ejemplo de una función de potencia es la función $ boldsymbol {y = 2 ^ {x} - 1} $. Dado que las raíces cuadradas restringirán los valores de salida, también esperamos asíntotas horizontales.

Dado que $ 2 ^ x $ nunca puede ser cero, el valor $ y $ nunca debe ser $ -1 $. El gráfico anterior también confirma que $ y = 2 ^ {x} - 1 $ tiene una asíntota horizontal en $ y = 1 $.

ejemplo 3

Encuentra las asíntotas horizontales de las siguientes funciones:

una. $ f (x) = dfrac {x ^ 5 - x ^ 4 + 1} {x ^ 3 - 1} $
B. $ g (x) = dfrac {3x (x - 1) (x + 2)} {9x ^ 3 + 1} $
C. $ h (x) = dfrac {(x - 1) (x ^ 2 +1)} {5x ^ 4 + 3x ^ 2 - 2x + 1} $

Solución
Consultemos las reglas de las asíntotas horizontales para cada una de las funciones dadas.
Comenzando con $ f (x) = dfrac {x ^ 5 - x ^ 4 + 1} {x ^ 3 - 1} $, podemos ver que el grado en el numerador es mayor que el del denominador.
$ comenzar {alineado} f (x) & = dfrac {x ^ {símbolo en negrita {5}} - x ^ 4 + 1} {x ^ {símbolo en negrita {3}} - 1} símbolo en negrita {5} &> símbolo en negrita {3 } final {alineado} $

    una. Esto significa que $ boldsymbol {f (x)} $ no tiene asíntota horizontal.

Dado que el numerador de $ g (x) $ está en forma factorizada, multipliquemos los términos principales para encontrar el grado de su coeficiente principal: $ 3x cdot x cdot x = 3x ^ 3 $. El denominador tiene $ 3 $ como su grado, por lo que su asíntota horizontal se puede determinar dividiendo $ 3x ^ 3 $ por $ 9x ^ 3 $.
$ comenzar {alineado} y & = dfrac {3} {9} & = dfrac {1} {3} fin {alineado} $

    B. Por tanto, $ g (x) $ tiene un asíntota horizontal en $ símbolo en negrita {y = dfrac {1} {3}} $.

Similar a $ g (x) $, busquemos primero el coeficiente principal del numerador de $ h (x) $: $ x cdot x ^ 2 = x ^ 3 $.

Dado que el grado del numerador es menor que su denominador, su asíntota horizontal será el símbolo $ en negrita {x} $-Eje.

   C. Esto significa que el asíntota horizontal de $ símbolo en negrita {h (x)} $ is $boldsymbol{y=0}$.

ejemplo 4

Dado que $ f (x) = dfrac {-6x ^ 3 - 2x ^ 2 + 1} {2x ^ 3 + x - 2} $, describe su asíntota horizontal y grafica la asíntota horizontal en la gráfica dada de $ f (x PS

Solución

Primero observemos los grados de los términos principales encontrados en $ f (x) $.

$ comenzar {alineado} f (x) & = dfrac {-6x ^ símbolo en negrita {3} - 2x ^ 2 + 1} {2x ^ símbolo en negrita {3} + x - 2} 3 & = 3end {alineado} $

Dado que los grados son iguales, podemos dividir los coeficientes principales $ dfrac {-6} {2} $. Por tanto, tenemos $ símbolo en negrita {y = -3} $.

Grafique la asíntota horizontal graficando una línea horizontal discontinua que pasa por el punto $ (0, -3) $.

ejemplo 5

Jennifer tiene una pequeña tienda y actualmente ofrece mucho en sus jabones hechos a mano. Si compra una barra de jabón por $ 2.50 $, las barras adicionales solo costarán $ 1.50 $ cada una. A medida que un cliente compra más y más barras, ¿cuál es el costo promedio por barra de jabón?

Solución

Las asíntotas horizontales también pueden ayudarnos a encontrar una aproximación del valor de salida a medida que la entrada se vuelve significativamente mayor o menor.

Sea $ s $ la cantidad de jabones que un cliente pide en la tienda de Jennifer.

La primera barra costará $ 2.50 $, y el resto de las barras $ (s - 1) $ costará $ 1.50 $ cada una. Esto significa que el costo total de comprar barras de $ s $ será $ 2.50 + 1.50 (s - 1) $ dólares.

Si dejamos que $ A (s) $ represente el costo promedio de comprar barras de $ s $, podemos encontrar su expresión dividiendo el costo por $ s $.

$ comenzar {alineado} A (s) & = dfrac {2.50 + 1.50 (s-1)} {s} & = dfrac {2.50 + 1.50s - 1.50} {s} & = dfrac {1 + 1.50s} {s} final {alineado} $

Ahora, para encontrar el valor cuando $ s flecha derecha infty $, encontramos la asíntota horizontal de $ A (s) $. Dado que el numerador y el denominador de $ A (s) $ comparten el mismo grado, la asíntota horizontal de $ A (s) $ es igual a $ dfrac {1.50} {1} = 1.50 $.

Esto significa que a medida que el cliente pide más barras de jabón, el costo promedio de cada barra se acerca a $ boldsymbol {$ 1.50} $.

Preguntas de práctica

1. Complete los espacios en blanco para que las siguientes afirmaciones sean verdaderas.

    una. Si $ lim_ {x flecha derecha infty} f (x) = dfrac {3} {2} $, esto significa que la asíntota horizontal de $ f (x) $ es ______________.
    B. Si la asíntota horizontal de $ f (x) $ es igual a $ 6 $ es, el grado del denominador de $ f (x) $ es __________ su numerador.
    C. La función $ h (x) $ no tiene asíntota horizontal. Si el numerador de $ g (x) $ es $ 2x ^ 34 + 5x ^ 2 $, el grado de su denominador debe ser __________.

2. Encuentra las asíntotas horizontales de las siguientes funciones:
    una. $ f (x) = dfrac {4x ^ 6 - 2x ^ 3 + 4} {2x ^ 4 - 5} $
    B. $ g (x) = dfrac {2x ^ 2 (2x + 1) (3x + 2)} {- 12x ^ 4 - x ^ 3 + 1} $
    C. $ h (x) = dfrac {(x - 1) (x ^ 2 +1)} {5x ^ 4 + 3x ^ 2 - 2x + 1} $
3. ¿Cuál es la asíntota horizontal de $ f (x) = 3 ^ {x-1} + 5 $? Grafique $ f (x) $ y su asíntota horizontal.
4. Dado que $ f (x) = dfrac {-8x ^ 4 - 3x ^ 2 + 2} {2x ^ 4 + 2x - 6} $, describe su asíntota horizontal y grafica la asíntota horizontal en la gráfica dada de $ f (x) $.

5. Complete la tabla que se muestra a continuación encontrando los valores de $ f (x) = dfrac {(x-1) (x + 1)} {x ^ 2 - 4} $ en los diferentes valores de $ x $.

    una. Según la tabla de valores, ¿cuál es el valor de $ lim_ {x rightarrow infty} f (x) $?

    B. Usando su respuesta de 5a, ¿cuál es la asíntota horizontal de $ f (x) $?

    C. Grafica la función y su asíntota horizontal.

6. Mark tiene una pequeña cafetería y actualmente ofrece una gran oferta en su prima más vendida de granos de café. Si compra una bolsa por $ 4.50 $, una bolsa adicional de granos de café solo costará $ 3.00 $ cada una. A medida que un cliente compra más y más bolsas, ¿cuál es el costo promedio por bolsa de granos de café?

Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.



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