Asíntotas verticales: propiedades, gráficos y ejemplos

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Aina Prat
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Asíntotas verticales: propiedades, gráficos y ejemplos

¿Alguna vez notó las líneas discontinuas verticales incluidas en algunos de los gráficos de su clase? Estas líneas especiales se denominan asíntotas verticales y nos ayudan a comprender los valores de entrada que una función nunca puede cruzar en un gráfico.

Las asíntotas verticales representan los valores de $ símbolo en negrita {x} $ que están restringidos a una función determinada, $ símbolo en negrita {f (x)} $. Normalmente se representan mediante líneas verticales discontinuas.


Aprender sobre las asíntotas verticales también puede ayudarnos a comprender las restricciones de una función y cómo afectan la gráfica de la función. Este artículo mostrará todo lo que necesitamos para saber qué representan las asíntotas verticales, aprender a graficarlas e interpretar gráficos a partir de sus asíntotas.


¿Qué es una asíntota vertical?

La asíntota vertical de una función racional dependerá de la expresión que se encuentre en su denominador. Las asíntotas verticales representan los valores de $ x $ donde el denominador es cero.

Aquí hay un ejemplo de un gráfico que contiene asíntotas verticales: $ x = -2 $ y $ x = 2 $. Esto significa que la función tiene valores restringidos en $ -2 $ y $ 2 $. ¿Observa cómo la curva de la gráfica nunca pasa por las asíntotas verticales? Esto se aplica a todas las funciones que contienen asíntotas verticales.

También podemos interpretar las asíntotas verticales como el valor de $ a $ donde $ lim_ {x flecha derecha a} f (x) = infty $.

¿Cómo encontrar la asíntota vertical?

Las asíntotas verticales no se limitan a las gráficas de funciones racionales. Las funciones logarítmicas y algunas trigonométricas tienen asíntotas verticales. En general, podemos determinar las asíntotas verticales encontrando los valores de entrada restringidos para la función.


Si se le da la gráfica, podemos identificar la asíntota vertical encontrando el valor o valores de $ x $, donde la curva de $ f (x) $ intenta acercarse pero nunca llega.


Ahora, ¿qué pasa si nos dan la ecuación o expresión algebraica de una función racional? Aquí hay algunos recordatorios importantes que debe tener en cuenta al determinar sus asíntotas verticales.

Reglas de asíntotas verticales para funciones racionales

Primero, recordemos que las funciones racionales se pueden expresar como $ f (x) = dfrac {p (x)} {q (x)} $, donde $ p (x) $ y $ q (x) $ son funciones polinómicas. Podemos encontrar los valores donde $ f (x) $ no son válidos equiparando $ q (x) $ con $ 0 $.

A continuación, se muestran algunos pasos importantes a seguir al resolver las asíntotas verticales:

  1. Empiece por factorizar el numerador y el denominador de $ f (x) $.
  2. Observe si el numerador ($ p (x) $) y el denominador ($ q (x) $) comparten factores comunes.
  3. Identifica si los factores del denominador se consideran discontinuidades o asíntotas verticales.

Regla 1: Si $ símbolo en negrita {x - a} $ es un factor común compartido por el numerador y el denominador de $ símbolo en negrita {f (x)} $, considerar $ símbolo en negrita {x = a} $ como una discontinuidad o un agujero.

Siempre que ubiquemos un factor compartido entre el numerador y el denominador, podemos cancelar este factor y tomar nota de $ a $.


Una vez que tenemos la forma simplificada de $ f (x) $, busquemos el valor de $ f (a) $ y tomemos nota de $ (a, f (a)) $ como una discontinuidad.

Sigamos adelante y observemos $ f (x) = dfrac {x ^ 3 - 5x ^ 2 + 6x} {x ^ 2 - 9} $.

Lo primero que debemos hacer es expresar tanto el denominador como el numerador de $ f (x) $ en formas factorizadas.

$ comenzar {alineado} dfrac {x ^ 3 - 5x ^ 2 + 6x} {x ^ 2 - 9} & = dfrac {x (x ^ 2 - 5x + 6)} {(x- 3) (x + 3) } & = dfrac {x (x -2) (x - 3)} {(x- 3) (x + 3)} fin {alineado} $

Dado que $ (x -3) $ es un factor común compartido por el numerador y el denominador, podemos considerar $ x = 3 $ como una discontinuidad. Cancele $ (x - 3) $ y reemplace $ x = 3 $ nuevamente en la expresión simplificada de $ f (x) $.


$ comenzar {alineado} f (x) & = dfrac {x (x -2) cancelar {(x - 3)}} {cancelar {(x - 3)} (x + 3)} & = dfrac {x ( x- 2)} {x + 3} \ f (3) & = dfrac {3 (3 - 2)} {3 + 3} & = dfrac {3} {6} & = dfrac {1} { 2} final {alineado} $

Esto significa que $ f (x) $ en realidad tiene un agujero en $ left (3, dfrac {1} {2} right) $. Esta coordenada estará representada por un punto sin relleno en el gráfico de $ f (x) $.


Si desea obtener más información sobre los huecos que se encuentran en las funciones racionales, consulte este artículo que escribimos sobre discontinuidades y huecos.

Regla 2: Si $ símbolo en negrita {x - a} $ no es un factor común compartido por el numerador y denominador de $ símbolo en negrita {f (x)} $, la ecuacion $ símbolo en negrita {x = a} $ ahora será una asíntota vertical.

Si no podemos simplificar más una función cancelando factores comunes, la expresión restante del denominador ahora se puede equiparar a cero para encontrar las restricciones en $ x $.

¿Por qué no aplicamos esto con la forma simplificada de $ f (x) $ de nuestro ejemplo anterior?

Tenemos $ f (x) = dfrac {x (x- 2)} {x + 3} $, por lo que podemos igualar el denominador, $ x + 3 $, a cero.

$ comenzar {alineado} x + 3 & = 0 x & = -3end {alineado} $

Esto significa que $ f (x) $ en realidad tiene una asíntota vertical en $ x = -3 $. Esto estará representado por una línea punteada vertical en el gráfico de $ f (x) $.

¿Cómo graficar una asíntota vertical?

Después de conocer la asíntota vertical de una función, ¿por qué no aprendemos que estas asíntotas verticales están representadas en un sistema de coordenadas $ xy $? Tenga en cuenta estos recordatorios importantes:

  • La forma general de las asíntotas verticales es $ x = a $, por lo que la asíntota vertical será una línea horizontal (normalmente, se representa gráficamente como una línea horizontal discontinua).
  • Grafique una línea vertical discontinua que pase por $ (a, 0) $ y se extienda tanto hacia arriba como hacia abajo.
  • Tenga en cuenta también que la curva de una función nunca pasará por sus asíntotas verticales.

Sigamos adelante y grafiquemos la asíntota vertical de $ f (x) = dfrac {x ^ 3 - 5x ^ 2 + 6x} {x ^ 2 - 9} $ en $ x = -3 $.


Esto significa que su asíntota vertical será una línea punteada vertical que pasa por el punto $ (- 3, 0) $.

Completemos la gráfica incluyendo la gráfica de $ f (x) $ y su agujero. ¿Necesita un repaso sobre cómo graficar funciones racionales? Consulte este artículo sobre funciones racionales y sus gráficas.

Como puede ver en el gráfico, el gráfico de $ f (x) $ nunca toca su asíntota vertical en $ x = -3 $. Esto también confirma lo que sabemos sobre las asíntotas verticales: cuando $ x flecha derecha –3 $, $ f (x) flecha derecha infty $.

Resumen de la definición y propiedades de las asíntotas verticales

Ya hemos discutido todo lo que necesitamos saber sobre las asíntotas verticales (y específicamente, las asíntotas verticales de las funciones racionales), así que es hora de que practiquemos más ejemplos.

Antes de hacerlo, sigamos adelante y resumamos todo lo que sabemos hasta ahora.

  • Las asíntotas verticales representan el valor de $ a $ que satisfará la ecuación $ lim_ {xrightarrow a} f (x) = infty $.
  • Si el denominador y el numerador de $ f (x) $ comparten un factor común, $ (x - a) $, a podemos encontrar un agujero en $ (a, f (a)) $.
  • Cuando $ f (x) $ está en su forma simplificada, todos los valores de $ x $ que harán que el denominador sea cero se consideran asíntotas de $ f (x) $.
  • Dado que su forma general es $ x = a $, las asíntotas verticales se representan mediante líneas discontinuas verticales.
  • Estas líneas deben pasar por el punto $ (a, 0) $.

Vuelva a estos cinco puntos cuando necesite un repaso, y el resto estará bien. ¡Sigamos adelante y practiquemos lo que acabamos de aprender!

ejemplo 1

Complete los espacios en blanco para que las siguientes afirmaciones sean verdaderas.

una. Si el denominador de la forma simplificada de $ f (x) $ es $ x (x- 3) (x + 4) $, tiene ________ asíntotas verticales.

B. Si $ f (x) = dfrac {(x- 1) (x + 2) (x - 3)} {(x +2) (x - 4)} $, $ f (x) $ tiene un ____________ en $ x = -2 $ y un ____________________ en $ x = 4 $.

C. Si $ lim_ {xrightarrow 4} f (x) = infty $ y $ lim_ {xrightarrow -3} f (x) = infty $, la función $ f (x) $ tiene asíntotas verticales en ___________ y ​​__________.

Solución

Siempre regrese al hecho de que las asíntotas verticales son los valores de $ x $ donde el denominador de la función racional es igual a $ 0 $.

una. Dado que $ f (x) $ ya está simplificado y tiene tres factores únicos en el denominador; Tiene Digital XNUMXk asíntotas verticales.

De hecho, sus asíntotas verticales se encuentran en $ x = 0 $, $ x = 3 $ y $ x = -4 $.

Recuerde que cuando el numerador y el denominador de la función comparten un factor común, se dice que $ x - a $, $ f (x) $ tiene un agujero en $ x = a $.

B. Dado que el numerador y el denominador de $ f (x) $ comparten un factor común de $ x + 2 $, tiene un agujero en $ x = -2 $. Una vez simplificado, podemos ver que $ x = 4 $ es un asíntota vertical de $ f (x) $.

También sabemos que cuando $ lim_ {xrightarrow a} f (x) = infty $, $ x = a $ es una asíntota vertical de $ f (x) $.

C. Esto significa que $ f (x) $ tiene asíntotas verticales en $ x = -3 $ y $ x = 4 $.

ejemplo 2

Identifica las asíntotas verticales de $ f (x) = dfrac {x ^ 3 - 8} {x ^ 4 - 8x ^ 2 + 16} $.

Solución

Exprese el numerador y denominador de $ f (x) $ en sus formas factorizadas.

Recuerde que la propiedad de la diferencia de dos cubos es $ a ^ 3 - b ^ 3 = (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) $. Aplicamos este factor al numerador y aplicamos la propiedad del trinomio del cuadrado perfecto para factorizar el denominador.

Podemos ver que $ x - 2 $ es un factor común, por lo que hay un agujero en $ x = 2 $. El factor restante del denominador ahora puede equipararse a $ 0 $ para encontrar las asíntotas verticales de $ f (x) $.

$ begin{aligned}(x-2)(x+2)^2&=0x&=2x&=-2end{aligned}$

Esto significa que la función tiene asíntotas verticales en $ x = -2 $ y $ x = 2 $.

ejemplo 3

Identifica las asíntotas verticales de $ f (x) = dfrac {x ^ 2 - 1} {x ^ 3 -6x ^ 2 + 5x} $. Trace estas asíntotas (cualquier hueco, si lo hay) en el gráfico que se muestra a continuación.

Solución

Avancemos primero y expresemos primero el numerador y denominador de $ f (x) $ en su forma factorizada.

$ comenzar {alineado} x ^ 2 - 1 & = (x -1) (x +1) \ x ^ 3 -6x ^ 2 + 5x & = x (x ^ 2 -6x + 5) & = x (x - 1) (x -5) final {alineado} $

Esto significa que tenemos $ f (x) = dfrac {(x -1) (x +1)} {x (x - 1) (x -5)} $. Dado que $ (x - 1) $ es un factor común compartido por el numerador y el denominador, $ x = 1 $ es una discontinuidad. Para encontrar la coordenada $ y $ del agujero, simplifique $ f (x) $ y sustituya $ x $ por 1.

$ comenzar {alineado} f (x) & = dfrac {cancelar {(x -1)} (x +1)} {xcancel {(x -1)} (x -5)} & = dfrac {x + 1 } {x (x - 5)} \ f (1) & = dfrac {1 + 1} {1 (1-5)} & = dfrac {2} {- 4} & = - dfrac {1} {2} final {alineado} $

Después de simplificar $ f (x) $, equiparemos los factores restantes del denominador a $ 0 $.

$ comenzar {alineado} f (x) & = dfrac {x + 1} {x (x - 5)} \ x (x-5) & = 0 x & = 0 x & = 5end {alineado} $

Podemos ver eso la función tiene asíntotas verticales en $ x = 0 $ y $ x = 5 $.

Sigamos adelante y grafiquemos estas dos asíntotas verticales como líneas discontinuas verticales. Trace también un punto vacío en $ left (1, -dfrac {1} {2} right) $.

Preguntas de práctica

1. Identifica los huecos y las asíntotas verticales de la siguiente función.

una. $ f (x) = dfrac {x (x- 2) (x + 2)} {x ^ 2 (x - 3) (x + 2)} $
B. $ f (x) = dfrac {(x- 5) (x + 6)} {x (x - 1) (x + 6)} $
C. $ f (x) = dfrac {(x - raíz {3}) (x + raíz {3})} {x (x - raíz {3}) (x + raíz {7})} $
2. Grafique la siguiente función y asegúrese de incluir sus asíntotas verticales.
una. $ f (x) = dfrac {x ^ 3 + 3x ^ 2 + 2x} {x ^ 2 - 4} $
B. $ f (x) = dfrac {2x ^ 2 - 4} {x ^ 2 - 6x + 8} $
C. $ f (x) = dfrac {x ^ 3 - 27} {x ^ 2 - 5x + 6} $

3. La gráfica de $ f (x) $ se muestra a continuación. Utilice este gráfico para responder las siguientes preguntas.

una. Como $ x flecha derecha 0 $, ¿a qué valor se acerca $ f (x) $?

B. Como $ x flecha derecha 11 $, ¿a qué valor se acerca $ f (x) $?

C. ¿Cuál es un factor común compartido por el numerador y el denominador de la función?

D. Usa las asíntotas verticales de la gráfica para factorizar el denominador.

Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.



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