BLAISE PASCAL - Matemáticas.
Biografía - ¿Quién era Pascal?
El francés Blaise Pascal fue un destacado científico, filósofo y matemático del siglo XVII. Como tantos grandes matemáticos, fue un niño prodigio y siguió muchas vías diferentes de esfuerzo intelectual a lo largo de su vida. Gran parte de su trabajo inicial fue en el área de las ciencias naturales y aplicadas, y tiene una ley física que lleva su nombre (que "la presión ejercida en cualquier lugar de un líquido confinado se transmite por igual y sin disminuir en todas las direcciones a través del líquido"), también como unidad internacional para la medición de la presión. En filosofía, Pascals 'Wager es su enfoque pragmático para creer en Dios sobre la base de que es mejor "apostar”Que no hacerlo.
Pero Pascal también fue un matemático de primer orden. A la edad de dieciséis años, escribió un tratado significativo sobre el tema de la geometría proyectiva, conocido como Teorema de Pascal, que establece que, si un hexágono está inscrito en un círculo, entonces los tres puntos de intersección de lados opuestos se encuentran en una sola línea, llamada la línea Pascal. Cuando era joven, construyó una máquina de calcular funcional, capaz de realizar sumas y restas, para ayudar a su padre con los cálculos de impuestos.
Triángulo de Pascal
Sin embargo, es mejor conocido por el Triángulo de Pascal, un conveniente presentación tabular de coeficientes binomiales, donde cada número es la suma de los dos números directamente encima. Un binomio es un tipo simple de expresión algebraica que tiene solo dos términos operados solo por suma, resta, multiplicación y exponentes de números enteros positivos, como (x + y) 2. Los coeficientes producidos cuando un binomio se expande forman un triángulo simétrico (ver imagen a la derecha).
Pascal estuvo lejos de ser el primero en estudiar este triángulo. El matemático persa Al-Karaji había producido algo muy similar ya en el siglo X, y el Triángulo se llama Triángulo de Yang Hui en China por el matemático chino del siglo XIII, y Triángulo de Tartaglia en Italia por el homónimo italiano del siglo XVI. Pero Pascal contribuyó con una prueba elegante al definir los números por recursividad, y también descubrió muchos patrones útiles e interesantes entre las filas, columnas y diagonales de la matriz de números. Por ejemplo, mirando solo las diagonales, después de la "piel" exterior de los 10, la siguiente diagonal (13, 16, 1, 1, 2,…) son los números naturales en orden. La siguiente diagonal dentro de eso (3, 4, 5, 1, 3,…) son los números triangulares en orden. El siguiente (6, 10, 15, 1, 4,…) son los números triangulares piramidales, etc, etc. También es posible encontrar números primos, números de Fibonacci, números catalanes, y muchas otras series, e incluso encontrar fractales patrones dentro de ella.
Pascal también dio el salto conceptual al usar el triángulo para ayudar a resolver problemas en la teoría de la probabilidad. De hecho, fue a través de su colaboración y correspondencia con su contemporáneo francés Pierre de Fermat y el holandés Christiaan Huygens sobre el tema que nació la teoría matemática de la probabilidad. Antes de Pascal, no había una teoría real de la probabilidad, a pesar de la exposición temprana de Gerolamo Cardano en el siglo XVI, simplemente una comprensión (de algún tipo) de cómo calcular "posibilidades”En juegos de dados y cartas contando resultados igualmente probables. Algunos problemas de probabilidad aparentemente bastante elementales habían eludido a algunos de los mejores matemáticos o habían dado lugar a soluciones incorrectas.
Le correspondió a Pascal (con la ayuda de Fermat) reunir los hilos separados del conocimiento previo (incluido el trabajo temprano de Cardano) e introducir técnicas matemáticas completamente nuevas para la solución de problemas que hasta ahora se habían resistido a la solución. Dos de esos problemas intransigentes a los que se aplicaron Pascal y Fermat fueron Ruina del jugador (determinando las posibilidades de ganar para cada uno de los dos hombres que juegan un juego de dados en particular con reglas muy específicas) y el Problema de los Puntos (determinando cómo se deben dividir las ganancias de un juego entre dos jugadores igualmente hábiles si el juego termina prematuramente). Su trabajo sobre el problema de los puntos en particular, aunque inédito en ese momento, fue muy influyente en el desarrollo de un nuevo campo.
El problema de los puntos
El problema de los puntos en su forma más simple se puede ilustrar con un simple juego de "El ganador lo toma todo”Que implica el lanzamiento de una moneda. El primero de los dos jugadores (digamos, Fermat y Pascal) en lograr diez puntos o ganar es recibir un bote de 100 francos. Pero, si el juego se interrumpe en el punto donde Fermat, por ejemplo, gana 8 puntos contra 7, ¿cómo se divide el bote de 100 francos? Fermat afirmó que, como solo necesitaba dos puntos más para ganar el juego, y Pascal necesitaba tres, el juego habría terminado después de cuatro lanzamientos más de la moneda (porque, si Pascal no obtuvo los 3 puntos necesarios para su victoria sobre los cuatro lanzamientos, entonces Fermat debe haber ganado los 2 puntos necesarios para su victoria, y viceversa. Fermat luego enumeró exhaustivamente los posibles resultados de los cuatro lanzamientos y concluyó que ganaría en 11 de los 16 resultados posibles, por lo que sugirió que los 100 francos se le repartieran 11⁄16 (0.6875) a él y 5⁄16 (0.3125) a Pascal.
Pascal buscó entonces una forma de generalizar el problema que evitara la tediosa lista de posibilidades y se dio cuenta de que podía usar filas de su triángulo de coeficientes para generar los números, sin importar cuántos lanzamientos de la moneda quedaran. Como Fermat necesitaba 2 puntos más para ganar el juego y Pascal necesitaba 3, fue a la quinta (2 + 3) fila del triángulo, es decir, 1, 4, 6, 4, 1. Los primeros 3 términos sumados (1 + 4 + 6 = 11) representó los resultados donde Fermat ganaría, y los dos últimos términos (4 + 1 = 5) los resultados donde Pascal ganaría, del número total de resultados representados por la suma de toda la fila (1 + 4 + 6 +4 +1 = 16).
Pascal y Fermat habían captado a través de su correspondencia un concepto muy importante que, aunque quizás intuitivo para nosotros hoy, fue casi revolucionario en 1654. Esta era la idea de resultados igualmente probables, que la probabilidad de que algo ocurriera podría calcularse enumerando el número de formas igualmente probables en que podría ocurrir, y dividiendo esto por el número total de posibles resultados de la situación dada. Esto permitió el uso de fracciones y razones en el cálculo de la probabilidad de eventos, y la operación de multiplicación y suma en estas probabilidades fraccionarias. Por ejemplo, la probabilidad de lanzar un 6 en un dado dos veces es 1⁄6 x 1⁄6 = 1⁄36 (“y” funciona como una multiplicación); la probabilidad de sacar un 3 o un 6 es 1⁄6 + 1⁄6 = 1⁄3 (“o” funciona como una suma).
Más tarde en la vida, Pascal y su hermana Jacqueline se identificaron fuertemente con el movimiento religioso católico extremo del jansenismo. Tras la muerte de su padre y una "experiencia mística" a finales de 1654, tuvo su "segunda conversión" y abandonó por completo su trabajo científico, dedicándose a la filosofía y la teología. Sus dos obras más famosas, el “Cartas provinciales" y el "Pensamientos“, Datan de este período, este último quedó incompleto a su muerte en 1662. Siguen siendo el legado más conocido de Pascal, y generalmente se lo recuerda hoy como uno de los autores más importantes del período clásico francés y uno de los más grandes maestros del francés. prosa, mucho más que por sus contribuciones a las matemáticas.
