He analizado la mayoría de las reglas de registro en una lección separada. Sin embargo, he dejado uno intencionalmente para discutirlo aquí en detalle. La regla de registro se llama Fórmula de cambio de base.
Si está interesado en saber por qué funciona el cambio de fórmula, haga clic en el siguiente enlace para ver la prueba: Pruebas de propiedades de logaritmos.
El logaritmo que usa base 10 se conoce como logaritmo común, mientras que el que usa base-e se conoce como el logaritmo natural.
El número grande {color {red} {e}}
Nota: El número e es una constante matemática que tiene un valor numérico de e aproximadamente 2.71828. Es un número irracional porque no se puede expresar como una razón de dos enteros o como una fracción. Más aún, el número e es la base del logaritmo natural.
Por lo tanto, los logaritmos comunes y los logaritmos naturales utilizan el bases estándar 10 ye, respectivamente.
- el logaritmo común se escribe como grande {color {rojo} log x = {log _ {10}} x}
- el logaritmo natural se escribe grande {color {azul} ln x = {log _e} x}
Antes de continuar, me gustaría señalar algunos matices o sutilezas con respecto a las expresiones matemáticas de los logaritmos comunes y naturales.
Los botones LOG y LN de una calculadora gráfica
La mayoría de las calculadoras gráficas tienen funciones o teclas que calculan directamente los logaritmos de números en base 10 y base e. Por lo tanto, solo verá dos botones: LOG para logaritmo común y LN para el logaritmo natural.
Es obvio que surge un problema cuando queremos calcular el logaritmo de un número usando bases no estándar como 2, 3, 7, 0.5 y 0.25.
Los logaritmos anteriores usan bases NO ESTÁNDAR porque no son grandes {color {verde} 10} ni el número grande {color {verde} e}.
¿Cómo procedemos a marcar los números en una calculadora gráfica? Como mencioné antes, la mayoría de las calculadoras se limitan a calcular solo logaritmos con base 10 y base e.
Aquí es donde entra en juego la Fórmula de cambio de base viene al rescate. Puede convertir un logaritmo de base no estándar como una razón de dos operaciones logarítmicas que usan la base estándar 10 o la constante e.
¿Qué es la fórmula de cambio de base??
El Fórmula de cambio de base es una instrucción sobre cómo reescribir o transformar una expresión logarítmica dada como una razón o fracción de dos operaciones logarítmicas usando cualquier base válida.
Eso significa que, si tenemos un logaritmo usando una base específica, entonces podemos convertir esto en una proporción o fracción equivalente de dos operaciones logarítmicas de modo que podamos elegir cualquier base que queramos. Literalmente, podemos seleccionar cualquier base siempre que sea positiva pero no igual al color {rojo} 1.
Pero si queremos calcular o conocer el valor de un logaritmo, deberíamos elegir base-10 o base-e ya que la mayoría de las calculadoras tienen estas teclas de función. La clave de registro [log] calcula el logaritmo común (usando base 10) mientras que el En clave [ln] calcula el logaritmo natural (usando base-e).
Analicemos cómo la fórmula transformó el logaritmo original en una expresión equivalente como una razón de dos operaciones logarítmicas.
- El argumento del logaritmo original se convierte en el argumento del logaritmo del numerador.
- La base del logaritmo original se convierte en el argumento del logaritmo del denominador.
- Los logaritmos del numerador y el denominador tienen la misma base. El valor de la base largecolor {green} c es cualquier base que elijamos.
Ejemplos de la fórmula de cambio de base
Los dos primeros ejemplos (Ejemplo n. ° 1 y n. ° 2) son problemas de libro de texto perfectos porque el argumento y la base de un logaritmo se pueden expresar como potencias de un número común (un número positivo que no es igual a 1) que sirve como el nuevo base al aplicar la regla de cambio de base.
Ejemplo 1: Evalúe {log {} _48} grande.
Lo primero que reconocí es que tanto el argumento como su base se pueden expresar como una potencia de 2.
Darse cuenta de
- 8 = {2 ^ 3}
- 4 = {2 ^ 2}
Por lo tanto, tiene sentido transformar log {} _48 como una razón de dos operaciones logarítmicas con base 2 usando la fórmula de cambio de base. Luego simplifica aún más usando las siguientes reglas de logaritmos que son:
- grande {color {azul} {log _b} izquierda ({{x ^ k}} derecha) = k cdot {log _b} izquierda (x derecha)}
- grande {color {rojo} {log _b} b = 1}
Aquí está la solución completa.
Ejemplo 2: Evalúe {log {} _ {large {{1 over {27}}}} grande a la izquierda (9 a la derecha)}.
Podría pensar que hay un problema con la pregunta porque la base del logaritmo es una fracción. Recuerde que la base de un logaritmo debe ser positiva pero no puede ser igual a 1. Entonces, la base grande {1 sobre {27}} está perfectamente bien. Obviamente, es un número positivo y no es igual a 1.
La fracción grande {1 sobre {27}} se puede reescribir con una potencia de 3. Aquí es donde la regla negativa del exponente resulta útil.
La regla negativa del exponente nos permite invertir la fracción (recíproca) pero debemos cambiar el signo del exponente.
Para {{1 sobre {27}}} grande, podemos expresarlo como una potencia de 3 con un exponente negativo.
Para 9, también podemos reescribirlo como una potencia de 3 que es 9 = {3 ^ 2}.
Dado que la base y el argumento de {log {} _ {{1 over {27}}} left (9 right)} grande pueden reescribirse como potencias de 3, calcularemos este logaritmo usando la fórmula de cambio de base base-3.
Además de la regla negativa del exponente, también necesitaremos las reglas de los logaritmos como se muestra a continuación.
- grande {color {azul} {log _b} izquierda ({{x ^ k}} derecha) = k cdot {log _b} izquierda (x derecha)}
- grande {color {rojo} {log _b} b = 1}
Ahora, a continuación se muestra la solución completa.
Ejemplo 3: Calcule el valor de large {log {} _ {large {5}} left ({12} right)}. Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.
Este ya no es un problema "agradable" porque el argumento y la base del logaritmo no se pueden expresar como potencias de un número común. En otras palabras, no existe un escenario en el que podamos expresar 5 y 12 como números exponenciales de manera que tengan la misma base.
Para resolver esto, podemos usar la regla del cambio de base para reescribir el logaritmo original como una razón de dos logaritmos de la base de nuestra elección. Tenemos dos opciones: usar base-10 o base-e. No importa cuál elijamos porque la respuesta será la misma. Para este problema, usemos base 10.
No olvide redondear su respuesta a tres lugares decimales porque se nos pide que la redondeemos a la milésima más cercana.
Nuestra calculadora debería confirmar que nuestra respuesta es correcta.
Ejemplo 4: Calcule el valor de large {log {} _ {large {7}} left ({9} right)}. Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
En el ejemplo anterior, usamos base 10 para evaluar el logaritmo. Esta vez usaremos el color numérico natural {rojo} e como base de elección al aplicar la fórmula de Cambio de Base.
Note que no necesitamos escribir el logaritmo natural tan grande {{{log} _e} left (x right)}. Podemos omitir ese paso y escribirlo inmediatamente como grande {ln left (x right)}. Lo agregué como uno de los pasos a continuación para fines de claridad y énfasis.
Sigamos adelante y apliquemos la regla de cambio de base para convertir {log {} _7left (9 right)} grande como una razón o fracción de dos operaciones logarítmicas naturales.
Además, asegúrese de redondear su respuesta a dos lugares decimales, ya que el problema requiere que expresemos nuestra respuesta final en la centésima más cercana.
Su calculadora debería generar un resultado similar al que se muestra a continuación.
Ejemplo 5: Cambie grande {log {} _ {large {6}} left ({0.1} right)} como un cociente de dos logaritmos naturales. Calcula su valor y luego redondea a la décima más cercana.
Este problema requiere que cambiemos el logaritmo dado como un cociente de logaritmos naturales. Eso significa que no tenemos más remedio que usar el número natural largecolor {red} e como base cuando aplicamos la fórmula de cambio de base. No olvide también que se nos dice que redondeemos nuestra respuesta a la décima más cercana (un decimal).
Aquí está nuestra solución:
Nuestra calculadora concuerda con nuestra respuesta.
Ejemplo 6: Cambie el color {azul} grande {log left (7 right)} como cociente en términos de logaritmos naturales. Luego calcule su valor. Redondea tu respuesta a la diezmilésima más cercana.
Admito que aunque podemos resolver directamente el valor del color {rojo} log left (7 right) con una calculadora, ya que tiene un LOG clave, este problema quiere que tomemos el camino más largo. No porque sea un ejercicio inútil de nuestro tiempo, sino, lo que es más importante, es una oportunidad para que apliquemos nuestra sólida comprensión o comprensión de la fórmula del cambio de base.
Recuerde que cuando ve una operación de registro sin una base, se supone que tiene una base de 10. Por lo tanto, nuestro primer paso es reescribir el registro a la izquierda (7 a la derecha) como {log _ {10}} a la izquierda (7 a la derecha) para que sea mucho más fácil ver cuáles son los números con los que estamos tratando durante el paso de cambio de base.
Es una gran sensación cuando una calculadora genera el valor que verifica nuestra respuesta.
Ejemplo 7: Cambie el color {blue} largeln left ({13} right) como una proporción en términos de logaritmos comunes. Luego calcula su valor. Redondea tu respuesta a la diezmilésima más cercana.
Al igual que en el ejemplo 6, no es necesario aplicar la fórmula de cambio de base porque podemos calcularla directamente con una calculadora. Sin embargo, la intención de este problema es mostrar nuestra comprensión profunda de los logaritmos comunes y naturales, y cómo manejar correctamente la fórmula.
Entonces, transformemos largeln left ({13} right) en Formulario de registro donde la base es largecolor {blue} e, por lo tanto, large {log _ {large {e}}} izquierda ({13} derecha). Ahora, usamos la fórmula de cambio de base para expresarla como una razón de dos logaritmos comunes. Recuerde, el logaritmo común usa base 10.
¡Sí! La calculadora concuerda con nuestra respuesta.
