Cambio de fórmula o regla base

Cambio de fórmula o regla base

He analizado la mayoría de las reglas de registro en una lección separada. Sin embargo, he dejado uno intencionalmente para discutirlo aquí en detalle. La regla de registro se llama Fórmula de cambio de base.

Si está interesado en saber por qué funciona el cambio de fórmula, haga clic en el siguiente enlace para ver la prueba: Pruebas de propiedades de logaritmos.

Cambio de fórmula o regla base

El logaritmo que usa base 10 se conoce como logaritmo com√ļn, mientras que el que usa base-e se conoce como el logaritmo natural.




El n√ļmero grande {color {red} {e}}

Nota: El n√ļmero e es una constante matem√°tica que tiene un valor num√©rico de e aproximadamente 2.71828. Es un n√ļmero irracional porque no se puede expresar como una raz√≥n de dos enteros o como una fracci√≥n. M√°s a√ļn, el n√ļmero e es la base del logaritmo natural.

Por lo tanto, los logaritmos comunes y los logaritmos naturales utilizan el bases est√°ndar 10 ye, respectivamente.

  • el logaritmo com√ļn se escribe como grande {color {rojo} log x = {log _ {10}} x}
  • el logaritmo natural se escribe grande {color {azul} ln x = {log _e} x}

Antes de continuar, me gustar√≠a se√Īalar algunos matices o sutilezas con respecto a las expresiones matem√°ticas de los logaritmos comunes y naturales.


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Los botones LOG y LN de una calculadora gr√°fica

La mayor√≠a de las calculadoras gr√°ficas tienen funciones o teclas que calculan directamente los logaritmos de n√ļmeros en base 10 y base e. Por lo tanto, solo ver√° dos botones: LOG para logaritmo com√ļn y LN para el logaritmo natural.


Cambio de fórmula o regla base

Es obvio que surge un problema cuando queremos calcular el logaritmo de un n√ļmero usando bases no est√°ndar como 2, 3, 7, 0.5 y 0.25.

Cambio de fórmula o regla base

Los logaritmos anteriores usan bases NO EST√ĀNDAR porque no son grandes {color {verde} 10} ni el n√ļmero grande {color {verde} e}.



¬ŅC√≥mo procedemos a marcar los n√ļmeros en una calculadora gr√°fica? Como mencion√© antes, la mayor√≠a de las calculadoras se limitan a calcular solo logaritmos con base 10 y base e.

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Aqu√≠ es donde entra en juego la F√≥rmula de cambio de base viene al rescate. Puede convertir un logaritmo de base no est√°ndar como una raz√≥n de dos operaciones logar√≠tmicas que usan la base est√°ndar 10 o la constante e. 

¬ŅQu√© es la f√≥rmula de cambio de base??

El Fórmula de cambio de base es una instrucción sobre cómo reescribir o transformar una expresión logarítmica dada como una razón o fracción de dos operaciones logarítmicas usando cualquier base válida.

Eso significa que, si tenemos un logaritmo usando una base específica, entonces podemos convertir esto en una proporción o fracción equivalente de dos operaciones logarítmicas de modo que podamos elegir cualquier base que queramos. Literalmente, podemos seleccionar cualquier base siempre que sea positiva pero no igual al color {rojo} 1.

Pero si queremos calcular o conocer el valor de un logaritmo, deber√≠amos elegir base-10 o base-e ya que la mayor√≠a de las calculadoras tienen estas teclas de funci√≥n. La clave de registro [log] calcula el logaritmo com√ļn (usando base 10) mientras que el En clave [ln] calcula el logaritmo natural (usando base-e).


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Analicemos cómo la fórmula transformó el logaritmo original en una expresión equivalente como una razón de dos operaciones logarítmicas.

  • El argumento del logaritmo original se convierte en el argumento del logaritmo del numerador.
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  • La base del logaritmo original se convierte en el argumento del logaritmo del denominador.
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  • Los logaritmos del numerador y el denominador tienen la misma base. El valor de la base largecolor {green} c es cualquier base que elijamos.
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Ejemplos de la fórmula de cambio de base

Los dos primeros ejemplos (Ejemplo n. ¬į 1 y n. ¬į 2) son problemas de libro de texto perfectos porque el argumento y la base de un logaritmo se pueden expresar como potencias de un n√ļmero com√ļn (un n√ļmero positivo que no es igual a 1) que sirve como el nuevo base al aplicar la regla de cambio de base.

Ejemplo 1: Eval√ļe {log {} _48} grande.

Lo primero que reconocí es que tanto el argumento como su base se pueden expresar como una potencia de 2.

Darse cuenta de

  • 8 = {2 ^ 3}
  • 4 = {2 ^ 2}

Por lo tanto, tiene sentido transformar log {} _48 como una raz√≥n de dos operaciones logar√≠tmicas con base 2 usando la f√≥rmula de cambio de base. Luego simplifica a√ļn m√°s usando las siguientes reglas de logaritmos que son:

  • grande {color {azul} {log _b} izquierda ({{x ^ k}} derecha) = k cdot {log _b} izquierda (x derecha)}
  • grande {color {rojo} {log _b} b = 1}

Aquí está la solución completa.

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Ejemplo 2: Eval√ļe {log {} _ {large {{1 over {27}}}} grande a la izquierda (9 a la derecha)}.

Podr√≠a pensar que hay un problema con la pregunta porque la base del logaritmo es una fracci√≥n. Recuerde que la base de un logaritmo debe ser positiva pero no puede ser igual a 1. Entonces, la base grande {1 sobre {27}} est√° perfectamente bien. Obviamente, es un n√ļmero positivo y no es igual a 1.

La fracci√≥n grande {1 sobre {27}} se puede reescribir con una potencia de 3. Aqu√≠ es donde la regla negativa del exponente resulta √ļtil.

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La regla negativa del exponente nos permite invertir la fracción (recíproca) pero debemos cambiar el signo del exponente.

Para {{1 sobre {27}}} grande, podemos expresarlo como una potencia de 3 con un exponente negativo.

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Para 9, también podemos reescribirlo como una potencia de 3 que es 9 = {3 ^ 2}.

Dado que la base y el argumento de {log {} _ {{1 over {27}}} left (9 right)} grande pueden reescribirse como potencias de 3, calcularemos este logaritmo usando la fórmula de cambio de base base-3.

Además de la regla negativa del exponente, también necesitaremos las reglas de los logaritmos como se muestra a continuación.

  • grande {color {azul} {log _b} izquierda ({{x ^ k}} derecha) = k cdot {log _b} izquierda (x derecha)}
  • grande {color {rojo} {log _b} b = 1}

Ahora, a continuación se muestra la solución completa.

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Ejemplo 3: Calcule el valor de large {log {} _ {large {5}} left ({12} right)}. Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.

Este ya no es un problema "agradable" porque el argumento y la base del logaritmo no se pueden expresar como potencias de un n√ļmero com√ļn. En otras palabras, no existe un escenario en el que podamos expresar 5 y 12 como n√ļmeros exponenciales de manera que tengan la misma base.

Para resolver esto, podemos usar la regla del cambio de base para reescribir el logaritmo original como una razón de dos logaritmos de la base de nuestra elección. Tenemos dos opciones: usar base-10 o base-e. No importa cuál elijamos porque la respuesta será la misma. Para este problema, usemos base 10.

No olvide redondear su respuesta a tres lugares decimales porque se nos pide que la redondeemos a la milésima más cercana.

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Nuestra calculadora debería confirmar que nuestra respuesta es correcta.

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Ejemplo 4: Calcule el valor de large {log {} _ {large {7}} left ({9} right)}. Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

En el ejemplo anterior, usamos base 10 para evaluar el logaritmo. Esta vez usaremos el color numérico natural {rojo} e como base de elección al aplicar la fórmula de Cambio de Base.

Note que no necesitamos escribir el logaritmo natural tan grande {{{log} _e} left (x right)}. Podemos omitir ese paso y escribirlo inmediatamente como grande {ln left (x right)}. Lo agregué como uno de los pasos a continuación para fines de claridad y énfasis.

Sigamos adelante y apliquemos la regla de cambio de base para convertir {log {} _7left (9 right)} grande como una razón o fracción de dos operaciones logarítmicas naturales.

Adem√°s, aseg√ļrese de redondear su respuesta a dos lugares decimales, ya que el problema requiere que expresemos nuestra respuesta final en la cent√©sima m√°s cercana.

Cambio de fórmula o regla base

Su calculadora debería generar un resultado similar al que se muestra a continuación.

Cambio de fórmula o regla base

Ejemplo 5: Cambie grande {log {} _ {large {6}} left ({0.1} right)} como un cociente de dos logaritmos naturales. Calcula su valor y luego redondea a la décima más cercana.

Este problema requiere que cambiemos el logaritmo dado como un cociente de logaritmos naturales. Eso significa que no tenemos m√°s remedio que usar el n√ļmero natural largecolor {red} e como base cuando aplicamos la f√≥rmula de cambio de base. No olvide tambi√©n que se nos dice que redondeemos nuestra respuesta a la d√©cima m√°s cercana (un decimal).

Aquí está nuestra solución:

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Nuestra calculadora concuerda con nuestra respuesta.

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Ejemplo 6: Cambie el color {azul} grande {log left (7 right)} como cociente en términos de logaritmos naturales. Luego calcule su valor. Redondea tu respuesta a la diezmilésima más cercana.

Admito que aunque podemos resolver directamente el valor del color {rojo} log left (7 right) con una calculadora, ya que tiene un LOG clave, este problema quiere que tomemos el camino m√°s largo. No porque sea un ejercicio in√ļtil de nuestro tiempo, sino, lo que es m√°s importante, es una oportunidad para que apliquemos nuestra s√≥lida comprensi√≥n o comprensi√≥n de la f√≥rmula del cambio de base.

Recuerde que cuando ve una operaci√≥n de registro sin una base, se supone que tiene una base de 10. Por lo tanto, nuestro primer paso es reescribir el registro a la izquierda (7 a la derecha) como {log _ {10}} a la izquierda (7 a la derecha) para que sea mucho m√°s f√°cil ver cu√°les son los n√ļmeros con los que estamos tratando durante el paso de cambio de base.

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Es una gran sensación cuando una calculadora genera el valor que verifica nuestra respuesta.

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Ejemplo 7: Cambie el color {blue} largeln left ({13} right) como una proporción en términos de logaritmos comunes. Luego calcula su valor. Redondea tu respuesta a la diezmilésima más cercana.

Al igual que en el ejemplo 6, no es necesario aplicar la fórmula de cambio de base porque podemos calcularla directamente con una calculadora. Sin embargo, la intención de este problema es mostrar nuestra comprensión profunda de los logaritmos comunes y naturales, y cómo manejar correctamente la fórmula.

Entonces, transformemos largeln left ({13} right) en Formulario de registro donde la base es largecolor {blue} e, por lo tanto, large {log _ {large {e}}} izquierda ({13} derecha). Ahora, usamos la f√≥rmula de cambio de base para expresarla como una raz√≥n de dos logaritmos comunes. Recuerde, el logaritmo com√ļn usa base 10.

Cambio de fórmula o regla base

¡Sí! La calculadora concuerda con nuestra respuesta.

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