CARL FRIEDRICH GAUSS - El príncipe de las matemáticas

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Joel Fulleda
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CARL FRIEDRICH GAUSS - El príncipe de las matemáticas

Biografía

Johann Carl Friedrich Gauss a veces se denomina "Príncipe de los matemáticos”Y el“ mayor matemático desde la antigüedad ”. Ha tenido una influencia notable en muchos campos de las matemáticas y la ciencia y está clasificado como uno de los matemáticos más influyentes de la historia.



Gauss fue un niño prodigio. Hay muchas anécdotas sobre su precocidad cuando era niño, y realizó sus primeros descubrimientos matemáticos innovadores cuando aún era un adolescente.

Con tan solo tres años, corrigió un error en los cálculos de la nómina de su padre, y estaba cuidando las cuentas de su padre de manera regular a la edad de 5 años. A la edad de 7, se informa que asombró a sus maestros al sumar los números enteros del 1 al 100 casi instantáneamente (habiendo detectado rápidamente que la suma era en realidad 50 pares de números, con cada par sumando 101, total 5,050). A la edad de 12 años, ya asistía al gimnasio y criticaba la geometría de Euclides.

Aunque su familia era pobre y de clase trabajadora, las habilidades intelectuales de Gauss atrajeron la atención del duque de Brunswick, quien lo envió al Collegium Carolinum a los 15 años, y luego a la prestigiosa Universidad de Gotinga (a la que asistió de 1795 a 1798). Fue cuando era adolescente y asistía a la universidad cuando Gauss descubrió (o redescubrió de forma independiente) varios teoremas importantes.


A los 15 años, Gauss fue el primero en encontrar algún tipo de patrón en la aparición de números primos, un problema que había preocupado a los mejores matemáticos desde la antigüedad. Aunque la aparición de números primos parecía ser casi completamente aleatoria, Gauss abordó el problema desde un ángulo diferente al graficar la incidencia de números primos a medida que aumentaban los números. Notó un patrón o tendencia aproximada: a medida que los números aumentan en 10, la probabilidad de que aparezcan números primos se reduce en un factor de aproximadamente 2 (por ejemplo, hay una probabilidad de 1 en 4 de obtener un número primo del 1 al 100, una 1 en 6 probabilidades de tener un primo en los números del 1 al 1,000, una probabilidad de 1 en 8 de 1 a 10,000, 1 en 10 de 1 a 100,000, etc.). Sin embargo, era bastante consciente de que su método simplemente arrojaba una aproximación y, como no pudo probar definitivamente sus hallazgos, los mantuvo en secreto hasta mucho más tarde en la vida.


En el annus mirabilis de Gauss de 1796, con tan solo 19 años de edad, construyó una figura regular de diecisiete lados desconocida hasta ahora utilizando solo una regla y un compás, un avance importante en este campo desde la época de las matemáticas griegas, formuló su teorema de los números primos sobre la distribución de números primos entre los enteros, y demostró que cada entero positivo es representable como una suma de como máximo tres números triangulares.

Teoría de Gauss

Aunque hizo contribuciones en casi todos los campos de las matemáticas, la teoría de números fue siempre el área favorita de Gauss, y afirmó que “las matemáticas son la reina de las ciencias y la teoría de los números es la reina de las matemáticas”. Un ejemplo de cómo Gauss revolucionó la teoría de números se puede ver en su trabajo con números complejos (combinaciones de números reales e imaginarios).


Gauss dio la primera exposición clara de números complejos y de la investigación de funciones de variables complejas a principios del siglo XIX. Aunque los números imaginarios que involucran i (la unidad imaginaria, igual a la raíz cuadrada de -19) se habían utilizado desde el siglo XVI para resolver ecuaciones que no podían resolverse de ninguna otra manera, y a pesar del innovador trabajo de Euler en números imaginarios y complejos en el siglo XVIII, todavía no había una imagen clara de cómo los números imaginarios se conectaban con los números reales hasta principios del siglo XIX. Gauss no fue el primero en interpretar los números complejos gráficamente (Jean-Robert Argand produjo sus diagramas de Argand en 1, y el danés Caspar Wessel había descrito ideas similares incluso antes del cambio de siglo), pero Gauss fue ciertamente responsable de popularizar la práctica y también introdujo formalmente la notación estándar a + bi para números complejos. Como resultado, la teoría de los números complejos recibió una expansión notable y comenzó a desatarse todo su potencial.


A la edad de solo 22 años, demostró lo que ahora se conoce como el Teorema fundamental del álgebra (aunque en realidad no se trataba de álgebra). El teorema establece que cada polinomio no constante de una sola variable sobre los números complejos tiene al menos una raíz (aunque su demostración inicial no fue rigurosa, la mejoró más adelante en la vida). Lo que también mostró fue que el campo de números complejos es algebraicamente "cerrado" (a diferencia de los números reales, donde la solución de un polinomio con coeficientes reales puede producir una solución en el campo de números complejos).


Luego, en 1801, a los 24 años, publicó su libro “Disquisitiones Arithmeticae”, considerado hoy como uno de los libros de matemáticas más influyentes jamás escritos y que sentó las bases de la teoría de números moderna. Entre muchas otras cosas, el libro contenía una presentación clara del método de aritmética modular de Gauss y la primera prueba de la ley de reciprocidad cuadrática (conjeturada por primera vez por Euler y Legendre).

Durante gran parte de su vida, Gauss también mantuvo un gran interés en la astrononomía teórica y ocupó el cargo de Director del observatorio astronómico de Gotinga durante muchos años. Cuando el planetoide Ceres estaba en proceso de ser identificado a fines del siglo XVII, Gauss hizo una predicción de su posición que variaba mucho de las predicciones de la mayoría de los demás astrónomos de la época. Pero, cuando finalmente se descubrió Ceres en 17, fue casi exactamente donde Gauss lo había predicho. Aunque no explicó sus métodos en ese momento, esta fue una de las primeras aplicaciones del método de aproximación por mínimos cuadrados, generalmente atribuido a Gauss, aunque también reivindicado por el francés Legendre. Gauss afirmó haber hecho los cálculos logarítmicos en su cabeza.


Sin embargo, a medida que la fama de Gauss se extendió y se hizo conocido en toda Europa como el hombre al que acudir para preguntas matemáticas complejas, su carácter se deterioró y se volvió cada vez más arrogante, amargado, desdeñoso y desagradable, en lugar de simplemente tímido. Hay muchas historias sobre la forma en que Gauss había descartado las ideas de los jóvenes matemáticos o, en algunos casos, las reivindicó como propias.

En el área de probabilidad y estadística, Gauss introdujo lo que ahora se conoce como distribución gaussiana, la función gaussiana y la curva de error gaussiana. Mostró cómo la probabilidad podría representarse mediante una curva en forma de campana o "normal", que alcanza su punto máximo alrededor del valor medio o esperado y cae rápidamente hacia más / menos infinito, que es básico para las descripciones de datos distribuidos estadísticamente.

También realizó este primer estudio sistemático de aritmética modular, utilizando la división de enteros y el módulo, que ahora tiene aplicaciones en teoría de números, álgebra abstracta, informática, criptografía e incluso en arte visual y musical.

Mientras se dedicaba a un trabajo de topografía bastante banal para la Casa Real de Hannover en los años posteriores a 1818, Gauss también estaba investigando la forma de la Tierra y comenzando a especular sobre ideas revolucionarias como la forma del espacio en sí. Esto lo llevó a cuestionar uno de los principios centrales de toda la matemática, la geometría euclidiana, que se basaba claramente en un universo plano y no curvo. Más tarde afirmó haber considerado una geometría no euclidiana (en la que el axioma paralelo de Euclides, por ejemplo, no se aplica), que era internamente consistente y libre de contradicciones, ya en 1800. Sin embargo, no dispuesto a cortejar la controversia, Gauss decidió no perseguir o publicar cualquiera de sus ideas de vanguardia en esta área, dejando el campo abierto a Bolyai y Lobachevsky, aunque todavía es considerado por algunos como un pionero de la geometría no euclidiana.

El trabajo de la encuesta de Hannover también alimentó el interés de Gauss en la geometría diferencial (un campo de las matemáticas que se ocupa de curvas y superficies) y lo que se conoce como curvatura gaussiana (una medida intrínseca de la curvatura, que depende únicamente de cómo se miden las distancias en la superficie). , no en la forma en que está incrustado en el espacio). Con todo, a pesar de la naturaleza más bien pedestre de su empleo, las responsabilidades de cuidar a su madre enferma y las constantes discusiones con su esposa Minna (que deseaba desesperadamente mudarse a Berlín), este fue un período muy fructífero de su vida académica. y publicó más de 70 artículos entre 1820 y 1830.

Sin embargo, los logros de Gauss no se limitaron a las matemáticas puras. Durante sus años de topografía, inventó el heliotropo, un instrumento que usa un espejo para reflejar la luz solar a grandes distancias para marcar posiciones en un levantamiento topográfico. En años posteriores, colaboró ​​con Wilhelm Weber en las mediciones del campo magnético de la Tierra e inventó el primer telégrafo eléctrico. En reconocimiento a sus contribuciones a la teoría del electromagnetismo, la unidad internacional de inducción magnética se conoce como gauss.



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