Cuando escuchas del cociente de diferencias, ¿cuáles son los conceptos matemáticos que tiene en mente? ¿Qué es un concepto de álgebra que involucra diferencias y cocientes? Bueno, si adivinó la pendiente, en realidad está cerca de la definición del cociente de diferencias.
El cociente de diferencias mide la pendiente de una recta secante que pasa por la curva de $ f (x) $.
Aquí hay dos palabras clave importantes que debemos comprender: pendiente y recta secante.
Una función lineal pendiente representa la medida de su "subida sobre la carrera". ¿Qué significa esto matemáticamente?
Las pendientes (normalmente representadas como $ m $) se calculan encontrando la diferencia entre las coordenadas $ y $ y las coordenadas $ x $ de dos puntos dados y luego tomando el cociente de los dos.
$ m = dfrac {y_2 - y_1} {x_2 - x_ 1} $
Ahora bien, ¿qué son las líneas secantes? Ellos son las líneas que atraviesan una figura o un gráfico en exactamente dos puntos.
El gráfico que se muestra arriba es un ejemplo de una línea secante que pasa por una curva. Como puede ver, la recta secante pasa por dos puntos a lo largo de la curva.
Ahora que hemos revisado estos conceptos importantes, es que aprendemos más sobre los cocientes en diferencias.
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name="-cu-l-es-el-cociente-de-diferencias-">¿Cuál es el cociente de diferencias?
El cociente de diferencias de una función mide la tasa de cambio promedio de $ f (x) $ con respecto ax dado un intervalo, $ [a, a + h] $.
Dada una función, $ f (x) $, su cociente de diferencias nos dice la pendiente de la recta que pasa por dos puntos de la curva: $ (a, f (a)) $ y $ ((a + h), f (a + h)) $. Visualicemos esto para comprender mejor el concepto de cociente de diferencias.
Como puede verse en el gráfico que se muestra, el El cociente de diferencias mide la pendiente de la recta que pasa por $ a $ y $ a + h $.
name="comprender-la-f-rmula-del-cociente-de-diferencias">Comprender la fórmula del cociente de diferencias
Entonces, ¿cómo aplicamos esta definición y calculamos el cociente de diferencias de una función dada una línea secante? Usamos nuestro conocimiento de la pendiente para establecer la fórmula del cociente de diferencias.
Determinemos el valor de la función en $ a + h $ y $ a $. Una vez que tenemos los valores, encontramos la diferencia entre los dos para encontrar el "aumento" de la función o $ Delta y $ en esos dos puntos.
$ Delta y = f (a + h) - f (a) $
La diferencia entre los dos intervalos representa la carrera de la pendiente o $ Delta x $. Por lo tanto, tenemos
Con estos dos, ahora podemos escribir la fórmula para el cociente de diferencias como
$ dfrac {Delta y} {Delta x} = dfrac {f (a + h) - f (a)} {h} $
name="-c-mo-evaluar-el-cociente-de-diferencias-">¿Cómo evaluar el cociente de diferencias?
$ dfrac {Delta y} {Delta x} = dfrac {f (a + h) - f (a)} {h} $
Ahora que conocemos la definición y la fórmula del cociente de diferencias, es hora de que aprendamos a aplicarlos realmente. Aquí hay cuatro pasos para recordar al evaluar cocientes de diferencias:
- Encuentre la expresión de $ f (a + h) $ sustituyendo $ x $ en $ f (x) $ con $ a + h $.
- Encuentre la expresión de $ f (a) $ sustituyendo $ x $ en $ f (x) $ con $ a $.
- Encuentra la diferencia entre los dos.
- Divida la expresión por $ h $.
Intentemos evaluar $ f (x) = Delta x $. Empiece por encontrar $ f (a + h) $:
$ inicio {alineado} f (a) & = 4a f (a + h) & = 4 (a + h) & = 4 (a) + 4 (h) & = 4a + 4hend {alineado} $
Reste $ f (a + h) $ y $ f (a) $ y luego divida el resultado por $ h $:
$ inicio {alineado} dfrac {f (a + h) - f (a)} {h} & = dfrac {4a + 4h - 4a} {h} & = dfrac {4h} {h} & = 4end { alineado} $
Esto significa que el cociente de diferencia de $ f (x) = 4x $ es $ 4 $.
name="-c-mo-simplificar-el-cociente-de-diferencias-">¿Cómo simplificar el cociente de diferencias?
Hemos calculado el cociente de diferencias de $ f (x) = 4x $. Ahora, ¿qué pasa si estamos trabajando en funciones más complicadas?
Se aplicará el mismo proceso, pero es importante para nosotros recordar los trucos y técnicas para simplificar expresiones algebraicas.
- Al simplificar el numerador, $ f (a + h) - f (a) $, asegúrese de distribuir los signos negativos correctamente.
- Factoriza $ h $ del numerador siempre que sea posible.
- Cuando trabaje con expresiones cuadráticas, recuerde la propiedad algebraica, $ (m pm n) ^ 2 = m ^ 2 pm 2mn + n ^ 2 $.
- Aplique el método FOIL siempre que sea posible también.
- Al sumar dos expresiones racionales, reescribe las funciones para que compartan un denominador común.
- Primero, haz tu mejor esfuerzo para simplificar el numerador. Recuerde, $ dfrac {f (a + h) - f (a)} {h} = dfrac {1} {h} cdot [f (a + h) - f (a)] $, para que pueda concentrarse en el denominador más tarde.
Ahora que tenemos estos consejos útiles, intentemos simplificar el cociente de diferencias de la función que se muestra a continuación.
Comenzamos por encontrar la expresión para $ f (a + h) $. Sustituya $ a + h $ en la expresión de x y aplique la propiedad algebraica, $ (m pm n) ^ 2 = m ^ 2 pm 2mn + n ^ 2 $.
$ f (a + h) = dfrac {1} {(a + h) ^ 2} $
Encuentre la diferencia entre $ f (a + h) $ de la expresión de $ f (a) $. Reescribe las dos fracciones para que compartan un denominador común.
$ f (a + h) - f (a) = dfrac {1} {(a + h) ^ 2} - dfrac {1} {a ^ 2} $
Reescribe las dos fracciones para que compartan un denominador común.
$ = dfrac {a ^ 2} {a ^ 2 (a + h) ^ 2} - dfrac {(a + h) ^ 2} {a ^ 2 (a + h) ^ 2} $
Combine los numeradores y expanda las expresiones factorizadas usando $ (m pm n) ^ 2 = m ^ 2 pm 2mn + n ^ 2 $. ¡No olvide distribuir los signos negativos!
$ comenzar {alineado} = dfrac {a ^ 2 - (a + h) ^ 2} {a ^ 2 (a + h) ^ 2} & = dfrac {a ^ 2 - (a ^ 2 + 2ah + h ^ 2 )} {a ^ 2 (a + h) ^ 2} & = dfrac {a ^ 2 - a ^ 2 - 2ah - h ^ 2} {a ^ 2 (a + h) ^ 2} & = dfrac { - 2ah - h ^ 2} {a ^ 2 (a + h) ^ 2} & = dfrac {-h (2a + h)} {a ^ 2 (a + h) ^ 2} final {alineado} $
Para encontrar el cociente de diferencias, dividamos la expresión resultante entre $ h $.
$ comenzar {alineado} dfrac {f (a + h) - f (a)} {h} & = dfrac {dfrac {1} {(a + h) ^ 2} - dfrac {1} {a ^ 2}} {h} & = dfrac {- h (2a + h)} {a ^ 2 (a + h) ^ 2} {h} & = dfrac {1} {h} cdot dfrac {- h (2a + h )} {a ^ 2 (a + h) ^ 2} final {alineado} $
Cancele los factores comunes para simplificar aún más el cociente de diferencias.
$ dfrac {f (a + h) - f (a)} {h} = -dfrac {(2a + h)} {a ^ 2 (a + h) ^ 2} $
Esto significa que el cociente de diferencia de $ f (x) = dfrac {1} {x ^ 2} $ es $ -dfrac {2a + h} {a ^ 2 (a + h) ^ 2} $.
No se preocupe, el último ejemplo también será fácil una vez que practiquemos más problemas que involucren cocientes de diferencias.
Los siguientes ejemplos también lo ayudarán a fortalecer sus habilidades algebraicas y también lo ayudarán a dominar los pasos para encontrar los cocientes de diferencia de varias funciones.
Si $ f (a + h) = 4a + 4h + 3 $ y $ f (a) = 4a + 3 $, ¿cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?
- La función, $ f (x) $, es igual a $ 4x + 3 $.
- La diferencia entre $ f (a) $ y $ f (a + h) $ es $ 4h $.
- El cociente de diferencia de $ f (x) $ es $ 4 $.
- El cociente de diferencia de $ f (x) $ es $ 4h $.
Solución
Para confirmar si $ f (x) $ es realmente igual a $ 4x + 3 $, comparemos $ f (a) $ y la forma factorizada de $ f (a + h) $:
$ inicio {alineado} f (a) & = 4a + 3 f (a + h) & = 4 (a + h) + 3end {alineado} $
A partir de esto, podemos ver que $ f (x) $ es igual a $ 4x + 3 $. Esto confirma que (a) es una declaración verdadera.
Sigamos adelante y restemos las dos expresiones dadas.
$ inicio {alineado} f (a + h) - f (a) & = 4a + 4h + 3 - (4a + 3) & = 4a + 4h + 3 - 4a - 3 & = 4hend {alineado} $
Esto significa que (b) es correcto.
Encuentre el cociente de diferencias dividiendo $ f (a + h) - f (a) $ por $ h $.
$ inicio {alineado} dfrac {f (a + h) - f (a)} {h} & = dfrac {4h} {h} & = 4end {alineado} $
Esto significa que el enunciado correcto entre (c) y (d) es (c), por lo que el declaración que no es correcta es (d).
¿Cuál es el cociente de diferencias de la función representada por la gráfica que se muestra?
Solución
Cuando trabajemos con problemas que involucran el cociente de diferencias, volvamos también a su definición:
Cociente de diferencia $ = dfrac {f (a + h) - f (a)} {h} $
Dado que tanto $ f (a) $ como $ f (a + h) $ ya están dados, sigamos adelante y restemos las dos expresiones. Nota: es importante verificar dos veces al distribuir el signo negativo.
$ inicio {alineado} f (a + h) - f (a) & = 4 (a + h) + 9 - (4a + 9) & = 4a + 4h + 9 - 4a - 9 & = 4h fin { alineado} $
Divida la diferencia resultante por $ h $ para encontrar el cociente de diferencias.
Cociente de diferencia $ = dfrac {4h} {h} = 4 $
Esto significa que la función que se muestra tiene un cociente de diferencia de $ 4 $.
¿Cuál es el cociente de diferencias de la función representada por el gráfico que se muestra a continuación?
Solución
Este es un problema similar, pero esta vez, estamos trabajando con una expresión más compleja. Sigamos adelante y escribamos la fórmula del cociente de diferencias:
Cociente de diferencia $ = dfrac {f (a + h) - f (a)} {h} $
Dado que también se dan $ f (a) $ y $ f (a + h) $, sigamos adelante y restemos las dos expresiones. Dado que el primer término es un binomio al cuadrado, podemos expandirlo usando la propiedad algebraica, $ (m pm n) ^ 2 = m ^ 2 pm 2mn + n ^ 2 $.
$ inicio {alineado} f (a + h) - f (a) & = 3 (a + h) ^ 2 + 5 - (3a ^ 2 + 5) & = 3 (a ^ 2 + 2ah + h ^ 2 ) + 5 - 3a ^ 2 - 5end {alineado} $
Distribuya $ 3 $ entre paréntesis y combine términos semejantes.
$ inicio {alineado} & = 3a ^ 2 + 6ah + 3h ^ 2 + 5 –3a ^ 2 - 5 & = 6ah + 3h ^ 2end {alineado} $
Una vez que tengamos la diferencia simplificada, dividamos la expresión por $ h $.
$ inicio {alineado} texto {Cociente de diferencia} & = dfrac {f (a + h) - f (a)} {h} & = dfrac {6ah + 3h ^ 2} {h} & = 6a + 3h end {alineado} $
Esto significa que $ 3x ^ 2 + 5 $ tiene un cociente de diferencia de $ 6a + 3h $.
¿Cuál es el cociente de diferencias de la función $ f (x) = 3 (x + 1) - 5 $?
Solución
Al encontrar el cociente de diferencias de una función, comencemos por encontrar $ f (a) $ y $ f (a + h) $.
$ comenzar {alineado} f (a) & = 3 (a + 1) - 5 & = 3a + 3 - 5 & = 3a - 2 \ f (a + h) & = 3 (a + h + 1 ) - 5 & = 3a + 3h + 3-5 & = 3a + 3h - 2end {alineado} $
Encuentra la diferencia entre las dos expresiones.
$ inicio {alineado} f (a + h) - f (a) & = 3a + 3h - 2 - (3a - 2) & = 3a + 3h - 2 - 3a + 2 & = 3hend {alineado} $
$ inicio {alineado} texto {Cociente de diferencia} & = dfrac {f (a + h) - f (a)} {h} & = dfrac {3h} {h} & = 3end {alineado} $
Esto significa que $ f (x) = 3 (x + 1) - 5 $ tiene un cociente de diferencia de $ 3 $.
¿Cuál es el cociente de diferencias de la función $ f (x) = x ^ 2 - 4x + 3 $?
Solución
Al encontrar el cociente de diferencias de una función, comencemos por encontrar $ f (a) $ y $ f (a + h) $.
$ inicio {alineado} f (a) & = a ^ 2 - 4a + 3 f (a + h) & = (a + h) 2 - 4 (a + h) + 3 final {alineado} $
Expanda $ f (a + h) $ usando la propiedad algebraica, $ (m ± n) ^ 2 = m ^ 2 pm 2mn + n ^ 2 $. Distribuya $ 4 $ en el segundo grupo y luego combine los términos semejantes.
$ inicio {alineado} f (a + h) & = (a ^ 2 + 2ah + h ^ 2) - 4 (a + h) + 3 & = a ^ 2 + 2ah + h ^ 2 - 4a - 4h + 3 & = a ^ 2 + 2ah + h ^ 2 - 4a - 4h + 3end {alineado} $
Encuentra la diferencia entre las dos expresiones.
$ inicio {alineado} f (a + h) - f (a) & = a ^ 2 + 2ah + h ^ 2 - 4a - 4h + 3 - (a ^ 2 - 4a + 3) & = a ^ 2 + 2ah + h ^ 2 - 4a - 4h + 3 - a ^ 2 + 4a - 3 & = h ^ 2 + 2ah - 4hend {alineado} $
Ahora que tenemos la diferencia, dividamos la expresión por $ h $ para encontrar el cociente de diferencias de $ f (x) $.
$ inicio {alineado} texto {Cociente de diferencia} & = dfrac {h ^ 2 + 2ah - 4h} {h} & = h + 2a - 4end {alineado} $
Esto significa que $ f (x) = x ^ 2 - 4x + 3 $ tiene un cociente de diferencia de $ h + 2a - 4 $.
¡Descanso! ¿Como vas hasta ahora? No olvide verificar sus cálculos (especialmente para numeradores complicados). Utilice las propiedades tanto como pueda y, si cree que necesita un repaso, saque sus antiguos recursos (¡nuestro sitio también tiene muchos recursos!) Y revise algunas técnicas que pueden ayudar.
Continuemos y trabajemos con expresiones más complicadas y respondamos también algunos problemas de palabras.
¿Cuál es el cociente de diferencias de la función $ f (x) = dfrac {1} {4x} $?
Solución
Trabajar con expresiones racionales puede parecer intimidante al principio cuando se encuentra el cociente de diferencias de una función. Este ejemplo mostrará cómo, con la técnica correcta, podemos manipular las expresiones más rápido. ¿Qué estamos esperando? ¡Vamos a empezar!
Encuentre las expresiones de $ f (a) $ y $ f (a + h) $.
$ comenzar {alineado} f (a) & = dfrac {1} {4a} f (a + h) & = dfrac {1} {4 (a + h)} final {alineado} $
No es necesario expandir $ f (a + h) $ primero y procedamos a encontrar la diferencia de $ f (a) $ y $ f (a + h) $. Vuelva a escribir cada expresión para que compartan un denominador común, $ 4a (a + h) $, luego combine los términos en el numerador.
$ comenzar {alineado} f (a + h) - f (a) & = dfrac {1} {4 (a + h)} - dfrac {1} {4a} & = dfrac {a} {4a (a + h)} - dfrac {a + h} {4a (a + h)} & = dfrac {a - (a + h)} {4a (a + h)} & = dfrac {a - a - h} {4a (a + h)} & = -dfrac {h} {4a (a + h)} final {alineado} $
Ahora que tenemos la diferencia, dividamos la expresión por $ h $ para encontrar el cociente de diferencias de $ f (x) $. Recuerde que, en cambio, podemos multiplicar la diferencia por $ dfrac {1} {h} $ para encontrar el cociente.
$ comenzar {alineado} texto {Cociente de diferencia} & = dfrac {h ^ 2 + 2ah - 4h} {h} = dfrac {1} {h} cdot -dfrac {h} {4a (a + h)} end { alineado} $
Luego podemos cancelar $ h $ para simplificar el cociente.
$ = - dfrac {1} {4a (a + h)} $
Esto significa que $ f (x) = dfrac {1} {4x} $ tiene un cociente de diferencia de $ -dfrac {1} {4a (a + h)} $ o $ -dfrac {1} {4a ^ 2 + 4ah PS.
¿Cuál es el cociente de diferencias de la función $ f (x) = dfrac {2x} {3-x} $?
Solución
Aquí hay otra expresión racional en la que podemos trabajar. Sigamos adelante y encontremos las expresiones de $ f (a) $ y $ f (a + h) $.
$ comenzar {alineado} f (a) & = dfrac {2a} {3 - a} f (a + h) & = dfrac {2 (a + h)} {3- (a + h)} & = dfrac {(2a + 2h)} {3 - a -h} final {alineado} $
Ahora, restemos $ f (a) $ y $ f (a + h) $. Podemos hacer esto reescribiendo primero cada fracción para que compartan su denominador común, $ (3 - a - h) (3 - a) $.
$ comenzar {alineado} f (a + h) - f (a) & = dfrac {2a + 2h} {3 - a - h} - dfrac {2a} {3 - a} & = dfrac {(2a + 2h ) (3 - a)} {(3 - a - h) (3 - a)} - dfrac {dfrac {2a} {3 - a - h}} {dfrac {3 - a - h} {(3 - a }} & = dfrac {6a - 2a ^ 2 + 6h - 2ha - (6a - 2a ^ 2 - 2ah)} {(3 - a - h) (3 - a)} & = dfrac {6h} {( 3 - a - h) (3 - a)} final {alineado} $
Podemos dejar de simplificar la diferencia aquí y proceder a encontrar el cociente de diferencias de $ f (x) $. Recuerde que, en cambio, podemos multiplicar la diferencia por $ dfrac {1} {h} $ para encontrar el cociente.
$ comenzar {alineado} texto {Cociente de diferencia} & = dfrac {h ^ 2 + 2ah - 4h} {h} & = dfrac {1} {h} cdot dfrac {6h} {(3- a -h) (3 - a)} final {alineado} $
Luego podemos cancelar $ h $ para simplificar el cociente.
$ = dfrac {6} {(3 - a - h) (3 - a)} $
Esto significa que $ f (x) = dfrac {2x} {3 - x} $ tiene un cociente de diferencia de $ dfrac {6} {(3 - a - h) (3 - a)} $.
Es hora de refrescarse. Ahora que hemos trabajado los músculos de nuestra mente para trabajar en estos problemas, sigamos adelante y vayamos más despacio respondiendo a los problemas conceptuales.
¿Cuál es el cociente de diferencias de $ f (x) = 8 $? ¿Qué tal $ g (x) = pi $? ¿Cuál es la razón detrás de sus cocientes de diferencia?
Busquemos rápidamente cada uno de los componentes importantes para encontrar sus respectivos cocientes de diferencia.
$ f (a + h) = 8 $, $ g (a + h) = pi $
Esto significa que la diferencia para cada uno es $ 0 $ y, en consecuencia, cada uno de sus cocientes de diferencia es igual a cero.
Las funciones constantes $ f (x) $ y $ g (x) $ siempre permanecerán constantes a lo largo de cualquier intervalo dado. Esto significa que la tasa de cambio en cualquier punto de sus curvas será cero.
La forma general de las funciones lineales se puede expresar como $ f (x) = px + q $, donde $ p $ y $ q $ son coeficientes distintos de cero. Demuestre que el cociente de diferencias de cualquier función lineal es igual al coeficiente antes de $ x $.
Sigamos adelante y expresemos $ f (a) $ y $ f (a + h) $ en términos de $ p $ y $ q $.
$ inicio {alineado} f (a) & = pa + q f (a + h) & = p (a + h) + q & = pa + ph + qend {alineado} $
Resta las dos expresiones y divide el resultado entre $ h $.
$ comenzar {alineado} texto {Cociente de diferencia} & = dfrac {h ^ 2 + 2ah - 4h} {h} & = dfrac {pa + ph + q - (pa + q)} {h} & = dfrac { ph} {h} & = pend {alineado} $
Acabamos de demostrar que el cociente de diferencia de $ f (x) = px + q $ es $ p $ o el coeficiente antes de $ x $.
name="preguntas-de-pr-ctica">Preguntas de práctica
1. Si $ f (a + h) = 6a + 6h + 5 $ y $ f (a) = 6a + 5 $, ¿cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?
una. La función, $ f (x) $, es igual a $ 6 (x + 1) $.
B. La función, $ f (x) $, es igual a $ 6x + 5 $.
C. El cociente de diferencia de $ f (x) $ es $ 6h $.
D. El cociente de diferencia de $ f (x) $ es $ 6 $.
2. ¿Cuál es el cociente de diferencias de la función representada por el gráfico que se muestra a continuación?
3. ¿Cuál es el cociente de diferencias de la función representada por el gráfico que se muestra a continuación?
4. ¿Cuál es el cociente de diferencias de la función de las siguientes funciones lineales?
a. $ f (x) = 2x - 5 $
b. $ f (x) = 5 (2x - 3) - 6 $
C. $ f (x) = dfrac {x} {3} - 8 $
5. ¿Cuál es el cociente de diferencias de las siguientes funciones cuadráticas?
a. $ f (x) = x ^ 2– 2x + 1 $
B. $ f (x) = 6x ^ 2– 4 $
C. $ f (x) = 3x ^ 2 - 5x - 2 $
6. ¿Cuál es el cociente de diferencias de las siguientes funciones racionales?
a. $ f (x) = dfrac {1} {4x} $
B. $ f (x) = dfrac {1} {(x - 1) ^ 2} $
C. $ f (x) = dfrac {4} {(x + 1) ^ 2} $
