Cómo completar el cuadrado

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Valery Aloyants
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Cómo completar el cuadrado

En una clase de álgebra regular, completar el cuadrado es una herramienta o método muy útil para convertir la ecuación cuadrática de la forma y = a {x ^ 2} + bx + c también conocida como la "forma estándar", en la forma y = a {(x - h) ^ 2} + k que se conoce como forma de vértice.

Encuentre la forma de vértice de y = a {x ^ 2} + bx + c usando Completar el cuadrado

ejemplo 1: Encuentra la forma de vértice de la función cuadrática a continuación.



Esta ecuación cuadrática tiene la forma y = a {x ^ 2} + bx + c. Sin embargo, necesito reescribirlo usando algunos pasos algebraicos para que se vea así ...


Esta es la forma de vértice de la función cuadrática donde izquierda ({h, k} derecha) es el vértice o el "centro" de la función cuadrática o la parábola.


Antes de comenzar, me doy cuenta de que a = 1. Por lo tanto, puedo aplicar inmediatamente los pasos de “completar el cuadrado”.

PASO 1: Identifica el coeficiente del término lineal de la función cuadrática. Ese es el número adjunto al término x.

PASO 2: Tomaré ese número, lo dividiré entre 2 y lo elevaré al cuadrado (o lo elevaré a la potencia 2).


PASO 3: La salida en el paso # 2 será sumado y restado al mismo lado de la ecuación para mantenerlo equilibrado.

Piénsalo: Si sumo 4 en el lado derecho de la ecuación, técnicamente estoy cambiando el significado original de la ecuación. Entonces, para mantenerlo sin cambios, debo restar el mismo valor que agregué en el mismo lado de la ecuación.


PASO 4: Ahora, exprese el trinomio dentro del paréntesis como un cuadrado de un binomio y simplifique las constantes externas.


  • Después de simplificar, ahora está en la forma de vértice y = a {left ({x - h} right) ^ 2} + k donde el vértice izquierdo ({h, k} right) es izquierdo ({2, - 1} right ).
  • Visualmente, la gráfica de esta función cuadrática es una parábola con un mínimo en el punto a la izquierda ({2, - 1} a la derecha). Dado que el valor de "a" es positivo, a = 1, entonces la parábola se abre en dirección ascendente.

ejemplo 2: Encuentra la forma de vértice de la función cuadrática a continuación.


El enfoque de este problema es ligeramente diferente porque el valor de "a" no es igual a 1, a ne 1. El primer paso es factorizar el coeficiente 2 entre los términos con variables x solamente.

PASO 1: Factoriza 2 solo a los términos con variable x.

PASO 2: Identifica el coeficiente del término x o término lineal.

PASO 3: Toma ese número, divídelo entre 2 y eleva al cuadrado.

PASO 4: Ahora, tomaré la salida grande {9 sobre 4} y la agregaré dentro del paréntesis.

  • Al agregar un {9 sobre 4} grande dentro del paréntesis, en realidad estoy agregando large2left ({{9 over 4}} right) = {9 over 2} a toda la ecuación.
  • ¿Por qué multiplicar por 2 para obtener el valor "verdadero" agregado a toda la ecuación? Recuerde, factoré 2 al principio. Entonces, para que podamos encontrar el valor real agregado a toda la ecuación, necesitamos multiplicar el número agregado dentro del paréntesis por el número que fue factorizado.

PASO 5: Como agregué {9 sobre 2} grande a la ecuación, entonces debería restar la ecuación completa por {9 sobre 2} grande también para compensarlo.

PASO 6: Finalmente, exprese el trinomio dentro del paréntesis como el cuadrado del binomio y luego simplifique las constantes externas. Tenga cuidado al combinar las fracciones.

  • Ahora está en la forma de vértice y = a {left ({x - h} right) ^ 2} + k donde el vértice izquierdo ({h, k} right) es grandeizquierda ({{{-, 3} over 2} , {{- 11} sobre 2}} derecha).

ejemplo 3: Encuentra la forma de vértice de la función cuadrática a continuación.

Solución:

  • Factoriza -, 3 entre los términos x.
  • El coeficiente del término lineal dentro del paréntesis es -, 1. Divídalo por 2 y cuadrelo. Agrega ese valor entre paréntesis. Ahora, averigüe cómo hacer que la ecuación original sea la misma. Como agregamos {1 sobre 4} grande dentro del paréntesis y factorizamos -, 3 al principio, eso significa grande -, 3left ({{1 over 4}} right) = {{-, 3} over 4} is el valor que restamos de toda la ecuación. Para compensar, debemos agregar grandes {3 sobre 4} fuera del paréntesis.
  • Por lo tanto, el vértice a la izquierda ({h, k} derecha) es grande a la izquierda ({{1 sobre 2}, {{11} sobre 4}} derecha).

ejemplo 4: Encuentra la forma de vértice de la función cuadrática a continuación.

Solución:

  • Factoriza 5 entre los términos x. Identifica el coeficiente del término lineal dentro del paréntesis que es 3. Divídelo entre 2 y eleva al cuadrado para obtener {9 sobre 4} grande.
  • Agrega {9 over 4} grande dentro del paréntesis. Como factorizamos 5 en el primer paso, eso significa large5left ({{9 over 4}} right) = {{45} over 4} es el número que necesitamos restar para mantener la ecuación sin cambios.
  • Exprese el trinomio como un cuadrado de binomio y combine las constantes para obtener la respuesta final.
  • Por lo tanto, el vértice izquierdo ({h, k} derecho) es grande {{-, 3} sobre 2}, {{-, 65} sobre 4}.

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