Cómo determinar si una función es par, impar o ninguna

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Judit Llordes
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Cómo determinar si una función es par, impar o ninguna

He preparado ocho (8) ejemplos prácticos para ilustrar el procedimiento o los pasos para averiguar si una función determinada es par, impar o ninguna de las dos. Las matemáticas involucradas en el cálculo son fáciles siempre que tenga cuidado en cada paso de su solución.

Para entrar en el "corazón" de este tema, estudie la siguiente ilustración.

Cómo saber si una función es par, impar o ninguna

Hablemos de cada caso.




CASO 1: Función par

Dado algún fleft de función de "inicio" (x derecha):

  • Si evaluamos o sustituimos color {red} -x en fleft (x right) y obtenemos la función original o "inicial" nuevamente, esto implica que fleft (x right) es un Incluso función.

CASO 2: Función impar

Dado algún fleft de función de "inicio" (x derecha):


  • Sin embargo, si evaluamos o sustituimos el color {rojo} -x en fleft (x derecha) y obtenemos el negativo o el opuesto de la función "inicial", esto implica que fleft (x right) es un Función impar.

CASO 3: Ni par ni impar


Dado algún fleft de función de "inicio" (x derecha):

  • Si evaluamos o sustituimos el color {rojo} -x en fleft (x derecha) y no obtenemos el Caso 1 o el Caso 2, eso implica que fleft (x derecha) es ni par ni impar. En otras palabras, no se clasifica como par o impar.

Ejemplos de cómo determinar algebraicamente si una función es par, impar o ninguna

ejemplo 1: Determina algebraicamente si la función dada es par, impar o ninguna de las dos.



fleft (x derecha) = 2 {x ^ 2} - 3

Empiezo con la función dada fleft (x right) = 2 {x ^ 2} - 3, inserto el valor color {red} -x y luego simplifico. ¿Qué obtengo? Trabajémoslo algebraicamente.

Dado que fleft ({{color {red} - x}} right) = fleft (x right), significa que fleft (x right) es un Incluso función!

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y oa lo largo de la línea vertical x = 0. Observe que la gráfica de la función se corta uniformemente en el eje y y cada mitad es un espejo exacto de la otra. Otra forma de describirlo es que cada mitad de la función es un reflejo en el eje y.

Vea la ilustración animada.

ejemplo 2: Determina algebraicamente si la función dada es par, impar o ninguna de las dos.


fleft (x derecha) =, - 3 {x ^ 3} + 2x

Sustituiré color {red} -x en la función fleft (x right) = 3 {x ^ 3} + 2x, y luego simplificaré.

Cómo determinar una función impar

Consejos importantes para recordar:

  • Si alguna vez llega a una función diferente después de evaluar el color {rojo} –x en el campo dado (x derecha), inmediatamente intente factorizar −1 y observe si aparece la función original. Si es así, entonces tenemos un Función impar.
  • El efecto de factorizar −1 da como resultado el cambio de los signos de los términos dentro del paréntesis. Este es un paso clave para identificar una función extraña.

Ahora, dado que fleft ({{color {red} - x}} right) = - fleft (x right), implica que la función original fleft (x right) es una Función impar!

La gráfica de una función impar tiene simetría rotacional con respecto al origen o en el punto a la izquierda ({0,0} a la derecha). Eso significa que cortamos su gráfico a lo largo del eje y y luego reflejamos su mitad par en el eje x primero seguido de la reflexión en el eje y.

Vea la ilustración animada.

ejemplo 3: Determine algebraicamente si la función es par, impar o ninguna de las dos:

fleft (x derecha) = 3 {x ^ 6} - 5 {x ^ 4} + 6 {x ^ 2} - 1

Aquí observé que los exponentes de la variable x son todos números pares, a saber, 6, 4 y 2. En cuanto al término constante, debo agregar que también se puede expresar como - 1 = - 1 {color {azul} {x ^ 0}} que tiene una potencia par de cero.

Esta característica de una función que contiene solo potencias pares probablemente puede resultar en una función par. Sin embargo, debemos mostrarlo algebraicamente. Así que aquí va.

Evaluando el color {rojo} -x en fleft (x derecha), tenemos el siguiente cálculo.

Es claramente un Incluso función!

ejemplo 4: Determina si la función dada es par, impar o ninguna de las dos:

fleft (x derecha) =, - {x ^ 7} + 8 {x ^ 5} - {x ^ 3} + 6x

En contraste con el ejemplo 3 donde la función tiene potencias pares, esta tiene potencias impares que son 7, 5, 3 y 1. A estas alturas, espero que ya esté viendo el patrón. Es más probable que sea una función extraña, pero lo verificaremos.

Sustituyendo color {red} -x en el campo dado (x derecha), y simplificando, obtenemos:

Después de factorizar −1, el polinomio dentro del paréntesis es igual a la función inicial. Muestra que esta es una Función impar!

ejemplo 5: Determina si la función dada es par, impar o ninguna de las dos:

En esta ocasión les mostraré un ejemplo de una función que no es ni par ni impar. ¿Estás listo?

  • Primero, compruebe si está parejo. ¿Tenemos el caso fleft ({color {red} {- x}} right) = fleft (x right)?

Seguro ni una función uniforme ya que fleft ({color {red} {- x}} derecha) ne fleft (x derecha).

  • En segundo lugar, compruebe si es extraño mostrando fleft ({color {red} {- x}} right) = - fleft (x right).

Incluso después de factorizar -1, todavía no obtengo la función original.

Es no es una función extraña ya que fleft ({color {red} {- x}} derecha) ne - fleft (x derecha).

  • Conclusión: Desde que llegamos al caso donde fleft ({color {red} {- x}} right) ne fleft (x right) y fleft ({color {red} {- x}} right) ne - fleft (x right) , esta función es ni par ni impar!

ejemplo 6: Determina si la función dada es par, impar o ninguna de las dos:

Solución:

Por lo tanto, la función gleft (x right) es una Función impar!

ejemplo 7: Determina si la función dada es par, impar o ninguna de las dos:

Solución:

Por lo tanto, la función hleft (x right) es ninguno!

ejemplo 8: Determina si la función dada es par, impar o ninguna de las dos:

Solución:

Por lo tanto, la función kleft (x right) es una Incluso función!



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