Si ya está familiarizado con los pasos necesarios para completar el cuadro, puede omitir la discusión introductoria y revisar los siete (7) ejemplos resueltos de inmediato.
El paso clave en este método es encontrar la constante “k” que nos permitirá expresar el trinomio dado como el cuadrado de un binomio.
Por ejemplo,
El valor de "k" se determina elevando al cuadrado la mitad del coeficiente de x. En este caso, el coeficiente del término lineal x es -, 6.
Por lo tanto, la mitad de -, 6 es -, 3, y su cuadrado {izquierda ({-, 3} derecha) ^ 2} = 9. ¡El valor de k debe ser 9!
Si sustituyo k por 9, el trinomio se factoriza en dos binomios iguales. Esto es genial porque ahora puedo reescribirlo en una forma más compacta, es decir, el cuadrado de un solo binomio.
Los siguientes son los pasos generales involucrados en la resolución de ecuaciones cuadráticas usando el método de completar el cuadrado.
Pasos clave para resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado
1) Mantenga todos los términos x (tanto el cuadrado como el lineal) en el lado izquierdo, mientras mueve la constante al lado derecho.
En símbolo, reescribe la forma general a {x ^ 2} + bx + c como:
a {x ^ 2} + bx = -, c
2) Ahora, identifique qué tipo de problema tiene observando el coeficiente del término principal, a.
Ejemplos:
- "Tipo fácil" cuando a = 1
- "Tipo difícil" cuando un ne 1
3) Si tiene el "tipo fácil", proceda inmediatamente al paso 4. Si tiene el "tipo difícil", debe dividir la ecuación completa primero por el valor de a antes de pasar al paso 4.
4) Tome el coeficiente del término x, divídalo por 2 y luego eleve el resultado al cuadrado. Suma este valor a ambos lados de la ecuación.
5) Expresa el lado izquierdo como un cuadrado de binomio.
6) Obtén la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. ¡No olvide adjuntar el símbolo pm en el lado derecho!
7) Termine resolviendo las ecuaciones lineales que surgen de él.
Ejemplos de cómo resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado
ejemplo 1: Resuelve la siguiente ecuación cuadrática completando el método del cuadrado.
Este es un "tipo fácil" ya que a = 1. Mantendré los "términos x" (tanto los términos al cuadrado como los lineales) en el lado izquierdo pero moveré la constante al lado derecho.
Puedo hacerlo sumando 15 en ambos lados de la ecuación.
Ahora, tome el coeficiente del término lineal (que es el término x con potencia 1) y realice DOS operaciones en él:
- Dividir por 2, seguido de
- Cuadrar (subir a la 2da potencia)
La salida aquí, que es +1, se agregará a ambos lados de la ecuación cuadrática.
Este paso obliga al lado izquierdo a generar un trinomio cuadrado perfecto que se puede expresar como cuadrado de un binomio. ¡Genial!
En este punto, es muy fácil resolver x. Para deshacerme del exponente 2 en el binomio, aplicaré la operación de raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación.
A continuación, resuelva el par de ecuaciones lineales que surgen como resultado de elevar ambos lados al cuadrado.
Divida x = pm, 4 + 1 en dos casos, luego resuelva.
¡Eso es! Nuestras respuestas son {x_1} = 5 y {x_2} = -, 3.
Adquiera el hábito de verificar sus valores resueltos de x nuevamente en la ecuación original para verificar si realmente son respuestas “verdaderas”. Te lo dejo como ejercicio.
ejemplo 2: Resuelve la siguiente ecuación cuadrática completando el método del cuadrado.
Obviamente, no puedo continuar con los pasos necesarios para completar el cuadrado. Debo aislar los términos x a la izquierda y la constante a la derecha.
Haz eso restando ambos lados por 1.
Esta vez estoy listo para completar los pasos cuadrados para resolver esta ecuación cuadrática. Comience tomando el coeficiente del término x lineal, luego divídalo por 2 y luego elevándolo al cuadrado. Este es el paso MÁS importante de todo este proceso.
Cualquier número que salga se sumará a ambos lados de la ecuación. El lado izquierdo se convierte en un trinomio cuadrado perfecto que se puede reescribir como el cuadrado del binomio.
Elimina la potencia 2 del binomio sacando la raíz cuadrada de ambos lados. Espero que puedas seguir el resto de la solución.
Obtuve las siguientes respuestas que son {x_1} = 7 y {x_2} = 3. Continúe y verifique las soluciones usted mismo como un ejercicio.
ejemplo 3: Resuelve la siguiente ecuación cuadrática completando el método del cuadrado.
Solución:
Las respuestas son {x_1} = 2 y {x_2} = - 10
ejemplo 4: Resuelve la siguiente ecuación cuadrática completando el método del cuadrado.
Lo primero que debe hacer es mover la constante al lado derecho restando cada lado por 8.
Este es en realidad el “Tipo Difícil” ya que a ne 1. Por lo tanto, necesito hacer que el coeficiente del término x al cuadrado sea igual a 1. ¡Esto se puede hacer dividiendo toda la ecuación por a que es igual a 8!
Al dividir entre 8, he convertido este problema en el caso "fácil" porque el coeficiente del término x al cuadrado se convierte en +1. Termine con esto haciendo el mismo proceso que se vio en los ejemplos 1 y 2. La única diferencia es que me ocuparé de las fracciones.
Considere el coeficiente del término x lineal, divida por 2 y eleve al cuadrado.
Tome el resultado del paso anterior y sume a ambos lados de la ecuación cuadrática. Luego proceda con el resto de los pasos para completar el cuadrado.
Las respuestas deben ser {x_1} = 2 y {x_2} = {1 sobre 2}.
ejemplo 5 (Problema de práctica): Resuelve la siguiente ecuación cuadrática completando el método del cuadrado.
Intente resolver este problema por su cuenta primero. Luego haga clic en el botón de abajo para ver la solución en un archivo PDF.
HAGA CLIC AQUÍ PARA VER LA SOLUCIÓNNOTA: La solución a este problema puede parecer complicada, pero siempre que aplique los procedimientos correctos para completar el cuadrado, pronto se dará cuenta de que las respuestas a este problema saldrán bien.
Pista: El conjunto de soluciones incluye un número racional y un entero negativo.
ejemplo 6: Resuelve la siguiente ecuación cuadrática completando el método del cuadrado.
Moveré la constante al lado derecho mientras mantengo todos los términos x a la izquierda. Entonces debo dividir toda la ecuación por -, 3 ya que ne 1.
- Restar ambos lados por 42
- Dividir toda la ecuación por -, 3
Ahora, tomaré el coeficiente del término lineal, lo dividiré por 2 y lo elevaré al cuadrado.
Sume esta salida 4 a ambos lados de la ecuación. Esto hace que el lado izquierdo sea un trinomio cuadrado perfecto que se puede reescribir como el cuadrado de un binomio.
Eso fue fácil, ¿verdad? Nuevamente, cuanto más vea cómo estos problemas se resuelven correctamente, ¡mejor se volverá!
ejemplo 7 (Problema de práctica): Resuelve la siguiente ecuación cuadrática usando el método de completar el cuadrado.
Intente resolver este problema por su cuenta primero. Luego haga clic en el botón de abajo para ver la solución en un archivo PDF.
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