Componentes vectoriales: explicación y ejemplos

Componentes vectoriales: explicación y ejemplos

En geometría vectorial, componentes vectoriales son uno de los conceptos más importantes y vitales. Toda la base de la geometría vectorial se establece en los componentes vectoriales. 

Los componentes del vector se definen como:

"La división de un vector en ángulo en dos vectores dirigidos hacia los ejes de coordenadas en un sistema de coordenadas bidimensionales se define como componentes vectoriales".

Cubriremos los siguientes conceptos en Componentes vectoriales:

• ¿Cuáles son los componentes de un vector?
• ¿Cómo encontrar los componentes de un vector?
• ¿Cuál es la fórmula de los componentes vectoriales?
• Ejemplos
• Preguntas de práctica 

¿Cuáles son los componentes de un vector?

La división de un vector en sus 2 componentes respectivos dirigidos a lo largo de los ejes respectivos se denomina componentes vectoriales. Este proceso se denomina "resolución de un vector o vector en un plano". 

Suponga un vector AB existe en un sistema de coordenadas bidimensional con ejes xey. Si este vector no está perfectamente alineado con los ejes de coordenadas, entonces el vector AB debe estar en algún ángulo de los ejes de coordenadas. 

Para encontrar la dirección y la magnitud de dicho vector que forma un ángulo en un plano bidimensional, el vector AB se divide en 2 componentes correspondientes. Los dos componentes resultantes están alineados con los ejes xey. 

Los dos componentes en los que el vector (digamos AB) se resuelven se dirigen en las direcciones horizontal y vertical. Después de la división de vector AB en sus componentes, se puede concluir que el vector AB es la resultante de sus 2 componentes, cada una dirigida a lo largo de un eje. 

Esta teoría se puede probar aplicando la regla de la cabeza a la cola.. Considere un vector AB en un espacio bidimensional. Podemos analizar que los dos componentes son AC y BC como se muestra en la siguiente figura:

Al aplicar la regla de la cabeza a la cola, podemos observar que la cola de AC coincide con la cola del vector AB, y la cabeza del componente vectorial BC coincide con la cabeza del vector AB, concluyendo así vector AB como la resultante de sus dos componentes vectoriales. 

Matemáticamente, se puede expresar como:

AB = AC + BC

Or

| AB | = | AC | + | BC | 

Consideremos un ejemplo práctico.

Suponga que un avión vuela desde Polonia a Alemania en dirección suroeste. El vector que representa este plano se puede dividir en dos componentes vectoriales; una dirigida hacia el sur y la otra dirigida hacia el oeste. Por tanto, el vector en ángulo dirigido al suroeste es la resultante de sus dos componentes vectoriales. 

Una cosa a tener en cuenta es que los componentes de un vector no son vectores reales que existen en el espacio bidimensional. Solo están presentes virtualmente con el único propósito de simplificar el análisis vectorial.  

La resolución de un vector en sus componentes vectoriales correspondientes simplifica los cálculos de la geometría del vector y se puede implementar en problemas de la vida real. 

Cuando consideramos que el vector está en un plano bidimensional, solo se puede resolver en dos componentes, es decir, X e Y, pero cuando un vector es tridimensional, tiene tres componentes llamados X, Y y Z correspondientes en los ejes x, y y z. 

¿Cómo encontrar los componentes de un vector?

Los dos componentes de cualquier vector se pueden encontrar mediante el método de resolución vectorial. Considere el vector como se muestra a continuación, que existe en un plano bidimensional. 

Este vector AB está en un ángulo ? desde el eje x. Para encontrar los componentes del vector AB, siga el siguiente procedimiento:

1. Suelta una perpendicular desde el eje x de manera que coincida con la cabeza del vector AB. 
2. Etiquétalo como ANTES DE CRISTO. 
3. Del mismo modo, dibuja una línea paralela desde la cola del vector AB tal que su cabeza coincida con la cola del componente vectorial BC. 
4. Etiquétalo como C.A.
5. Las líneas BC y AC serán los componentes vectoriales del vector AB.  

Se supone que estos dos componentes forman un triángulo rectángulo. Estos componentes se utilizan luego para encontrar la magnitud y la dirección del vector resultante, que es AB.

Considere un vector v. Sus dos componentes dirigidos a lo largo de los ejes xey serían vx y vy, respectivamente. Para encontrar la magnitud y la dirección del vector v, primero tendríamos que encontrar la magnitud y la dirección de sus componentes vectoriales. 

Para ello, seguimos la fórmula del componente vectorial.

¿Qué es la fórmula del componente vectorial?

La fórmula para encontrar los componentes de un vector es bastante simple y se usa ampliamente para resolver problemas en matemáticas y física. 

Como mencionamos anteriormente, los dos componentes vectoriales de un vector v Médica vx y vy. Para resolver completamente el vector v en términos de magnitud y dirección, primero tendríamos que calcular estos componentes. 

Encontrar la magnitud de los componentes del vector

A continuación se muestran las fórmulas para el cálculo de las magnitudes de los dos componentes vectoriales:

Para vx:

vx = v.cosθ

Para ti:

vy = v.sinθ

Siguiendo estas fórmulas, obtendríamos la magnitud de las dos componentes del vector. 

ejemplo 1

Calcule y resuelva el vector de fuerza en su componente donde la Fuerza es de 10N e inclinada en un ángulo de 30º en el plano dado como se muestra a continuación:

Solución

Dado que la magnitud de la fuerza es 10N donde θ se da como 30º

Resuelva el vector en sus componentes, el componente x a lo largo del eje xy el componente y a lo largo del eje y, de modo que la cabeza del componente x coincida con la cola del segundo componente de acuerdo con la regla de la cabeza a la cola. como se muestra en la siguiente figura:

Para conocer la magnitud de los componentes, usaremos las fórmulas que se indican a continuación:

FX = F.cosθ eq (1)

Fy = F.sinθ eq (2)

donde, F = 10N, θ = 30º

poniendo valores en la ecuación (1) y la ecuación (2),  

FX = 1.545N

Fy = -9.881N 

Entonces, el vector dado se resuelve en sus componentes xey

Encontrar Magnitud del vector a través de componentes

Ahora que hemos calculado la magnitud de los componentes del vector, el siguiente paso es calcular la magnitud del vector v. 

Básicamente, la magnitud del vector v es la distancia entre los puntos inicial y final. El símbolo de la magnitud del vector v se define como | v |.

Hay dos formas de calcular la magnitud de un vector:

• Calculando la magnitud del vector usando la fórmula de la distancia.
• Calcular la magnitud de un vector usando la resolución de componentes vectoriales.

Usando la fórmula de la distancia

Si se dan las coordenadas de los dos puntos, el inicial y el final, entonces la fórmula de la distancia puede calcular la magnitud del vector v.

Sean las coordenadas del punto inicial A (x1, y1) y el punto final B (x2, y2). Entonces, la fórmula se define como:

 | v | = √ ((x2 - x1) 2 + (y2 -y1) 2) 

Uso de componentes vectoriales

Dado que el vector dado v se resuelve en sus componentes xey vx y vy, respectivamente.

La siguiente fórmula se aplica para calcular el magnitud del vector v:

| v | = √ ((vx) ^ 2 + (vy) ^ 2)

Donde vx = vcosθ y vy = vsinθ.

La magnitud del vector v está representado por | v |, y será la magnitud de la resultante de las dos componentes del vector. 

Nota: La magnitud de un vector se puede representar de dos formas; ya sea en cursiva v o en forma absoluta | v |. 

ejemplo 2

Calcular la magnitud del vector v = (3,8).

Solución

Como sabemos eso, 

| v | = √ ((vx) ^ 2 + (vy) ^ 2)

Donde vx = 3, tú = 8

Poner en la fórmula dar

| v | = √ ((3) ^ 2 + (8) ^ 2)

| v | = 8.544

ejemplo 3

Una fuerza de 12N actúa sobre un barco en un ángulo de 51o con la horizontal. Resuelva sus componentes y demuestre usando la fórmula que la magnitud de la fuerza es 12N.

Solución

Como sabemos eso,  

Fx = F.cosθ

Fx = 12.cos51

Fx = 8.91 N

Fy = F.sinθ

Fy = 12.sin51

Fy = 8.04N

Ahora, demuestre usando la fórmula de magnitud que la magnitud de la fuerza dada en la pregunta es 12N.

Usando fórmula,

| F | = √ ((Fx) ^ 2 + (Fy) ^ 2)

| F | = √ ((8.91) ^ 2 + (8.04) ^ 2)

| F | = 12.00N

Por lo tanto, demostró usando la fórmula que la magnitud de la fuerza es 12N

Encontrar la dirección del vector a través de componentes

La dirección del vector. v es la medida del ángulo que forma con la horizontal en el plano

A continuación se muestra la fórmula utilizada para calcular la dirección del vector resultante.

θ = tan-1 (vy / vx)

θ = tan-1 (vsinθ / vcosθ)

Este es el ángulo que forma el vector resultante con la dirección + x en sentido antihorario. Los signos de vx y vy determinarán el cuadrante en el que se encuentra.

Para determinar θ, usaremos las siguientes convenciones:

1. Independientemente de los signos, encuentre el valor de tan-1 (vy / vx) y nombre este ángulo como φ.
2. Si tanto vx como vy son positivos φ = θ
3. Si ambos son negativos θ = 180º + φ 
4. Si vx es positivo y vy es negativo θ = 360º - φ 
5. Si vx es negativo y vy es positivo θ = 180º - φ 

ejemplo 4

Encuentre el valor de θ si vx = 15 y vy = 8.66.

Solución

Como conocemos la fórmula. 

θ = tan-1 (vy / vx)

θ = tan-1 (8.66 / 15)

 θ = 30º

ejemplo 5

Descubra la magnitud y la dirección de un vector OP= (-4,6).

Solución

La magnitud del vector se define como,

| OP | = √ ((-4) ^ 2 + (6) ^ 2)

| OP | = √ (16 + 36)

| OP | = 7.21

La dirección del vector dado es,

  φ = tan-1 (6/4)

φ = 56.3º

Dado que el componente x es negativo y el componente y es positivo, se encuentra en el segundo cuadrante, y de acuerdo con la convención explicada anteriormente, θ se da como,

θ = 180º - φ

θ = 180º - 56.3º

 θ = 123.7º

Problemas de práctica:

1. Una fuerza de 20 N inclinada en un ángulo de 67º sobre la superficie. Resuelva el vector en su componente y calcule la magnitud de la fuerza dada.
2. Resuelva el vector que se muestra en la figura siguiente de acuerdo con la regla de la cabeza a la cola y etiquételos en consecuencia: 

3. Dos fuerzas, A = (4,5) N y B = (3,7) N actuando en un punto P. Calcule la magnitud de la fuerza resultante.
4. Descubra la magnitud y la dirección de los vectores dados: u = (-7,6) y v= (5,9)
5. Encuentre la magnitud y dirección del vector punto inicial P (-3,1) y punto final Q (-2, -5).            

 Respuestas:

1. FX = -10.4N, FY = -17.1N, R = 20N
2. Consulte el ejemplo 1 y dibuje en consecuencia.
3. R = 13.9 N
4. | u | = 9.2, θ = 150.250 | v | = 10.3, θ = 60.90    
5. | PQ | = 6.08, th = 279.

Todos los diagramas vectoriales se construyen utilizando GeoGebra.