🥇 Composición de la función

Composición de la función

En esta lección, repasaré ocho (8) ejemplos prácticos para ilustrar el proceso involucrado en la composición de funciones.

Si se nos dan dos funciones, es posible crear o generar una función "nueva" componiendo una en la otra. El paso involucrado es similar cuando se evalúa una función para un valor dado. Por ejemplo, evalúe la función siguiente para x = 3.

Es obvio que necesito reemplazar cada x por el valor dado y luego simplificar.

La idea clave en la composición de funciones es que la entrada de la función es no es un valor numérico, en cambio, la entrada también es otra función.

Regla general de composición de funciones

Suponga que las dos funciones dadas son fyg, la composición de fcirc g está definida por

Además, la composición de g circ f está definida por

Algunas notas sobre la "fórmula" simbólica anterior:

¡El orden en la composición de funciones es importante! Siempre compones funciones de derecha a izquierda. Por lo tanto, dada una función, su entrada es siempre la que está a su lado derecho. En otras palabras, la función de la derecha va dentro de la función de la izquierda.

Observe que en f circ g = fleft [{gleft (x right)} right], la entrada o "función interna" es la función g porque está a la derecha de la función f, que es la principal o "función externa".

En términos del orden de composición, ¿ves el mismo patrón en g circ f = gleft [{fleft (x right)} right]? ¡Así es! La función f es la función interna de la función externa g.

Repasemos algunos ejemplos para ver cómo funciona la composición de funciones. Más adelante te darás cuenta de que es simplemente un ejercicio de sustitución y simplificación algebraica.

Ejemplos de cómo componer funciones

ejemplo 1: Realiza la composición de la función indicada:

El orden de composición es importante. Observe que en f circ g, queremos que la función gleft (x right) sea la entrada de la función principal {fleft (x right)}.

Debe tener un aspecto como este:

Empiezo escribiendo la función principal o externa fleft (x derecha), y en cada instancia de x, sustituiré el valor completo de gleft (x derecha).

Luego, haré lo que sea necesario para simplificar las expresiones, como elevar al cuadrado el binomio, aplicar la propiedad distributiva y combinar términos semejantes. Aparte de eso, realmente no hay mucho que hacer.

Déjame mostrarte lo que quise decir con eso.

ejemplo 2: Realiza la composición de la función indicada:

Necesito encontrar la función compuesta g circ f, lo que significa que la función f es la entrada de la función g.

ejemplo 3: Realiza la composición de la función indicada:

Este es un ejemplo de composición de funciones donde la entrada es un función raíz cuadrada. Veamos cómo funciona.

Nuevamente, en fcirc g queremos insertar la función g en la función f.

ejemplo 4: Realiza la composición de la función indicada:

Esta composición de funciones es bastante interesante. Espero que pueda ver que tendremos una situación en la que una función de raíz cuadrada va dentro de otra función de raíz cuadrada.

La clave para componer correctamente esta función es reconocer que el símbolo de raíz cuadrada se puede expresar como una expresión exponencial con exponente fraccionario igual a {1 sobre 2}.

Por lo tanto, tenemos sqrt {x - 1} = {left ({x - 1} right) ^ {{1 over 2}}} y sqrt x = {left (x right) ^ {{1 over 2}}}.

ejemplo 5: Realiza la composición de la función indicada:

Hasta ahora, en nuestros ejemplos anteriores, hemos realizado composiciones de funciones utilizando dos funciones distintas. Sin embargo, también es posible componer una función consigo misma.

ejemplo 6: Realiza la composición de la función indicada:

Elaboremos un ejemplo de una composición de funciones que se ocupa de funciones racionales. El álgebra involucrado es un poco tedioso, sin embargo, debería estar bien siempre que tenga cuidado al simplificar las expresiones en cada paso del camino.

En este ejemplo, aplicará los procedimientos sobre cómo sumar o restar expresiones racionales y también sobre cómo multiplicar expresiones racionales.

Aquí vamos…

Eso no estuvo tan mal, ¿verdad?

ejemplo 7: Realiza la composición de la función indicada:

Si cree que nuestro último ejemplo de composición de funciones racionales fue complicado, espere a ver el siguiente ejemplo. Puede ser un poco más complicado pero aún así muy manejable. ¡Así que no te preocupes! Tenga siempre ese enfoque “láser” en cada proceso de simplificación para resolver esto correctamente.

La función de entrada f se sustituirá en cada x de la función principal g.

Eso fue fácil, ¿no? ?

Para practicar más, sugiero que intente invertir el orden de composición de funciones. En otras palabras, encuentre f circ g.

¿También lo consigues?

Si ese es el caso donde g circ f = f circ g = x, entonces concluimos que las funciones g y f son inversas entre sí. Tengo un tutorial separado sobre cómo probar o verificar si dos funciones son inversas entre sí.

ejemplo 8: Encuentre la función compuesta:

En este ejemplo, vamos a componer tres funciones. Observando la notación de la función compuesta deseada f circ g circ h, la vamos a calcular a partir de derecha a izquierda.

Primero necesito conectar la función h en la función g y luego simplificar para obtener una nueva función.

La salida del paso anterior se sustituirá en la función principal f para obtener la respuesta final. Simbólicamente, se ve así ...