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    Compresión horizontal: propiedades, gráficos y ejemplos

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    Aina Prat
    @ainaprat

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    Compresión horizontal: propiedades, gráficos y ejemplos

    ¿Es posible para nosotros encoger o comprimir gráficos horizontalmente? ¿Cuándo comprimimos las gráficas a lo largo del eje x y cómo afecta su expresión? Estas son algunas de las preguntas que podrá responder una vez que aprendamos sobre esta técnica de transformación única: compresión horizontal.

    Las compresiones horizontales ocurren cuando el gráfico base de la función se reduce a lo largo del eje x y, en consecuencia, se aleja del eje y.



    ¿No es interesante que al inspeccionar los coeficientes, podemos estirar o comprimir el gráfico de una función? Dominar los diferentes tipos de transformaciones nos ahorrará tiempo y nos ayudará a comprender mejor las funciones y los gráficos.

    Es por eso que hemos escrito extensamente sobre este tema. ¿Crees que necesitas un repaso en alguno de estos temas a continuación? ¡Siéntete libre de hacer clic en los enlaces!

    • Identificar y aprender cómo se grafican las funciones principales comunes.
    • Dominar las traducciones verticales y horizontales
    • Aprenda a estirar gráficos vertical y horizontalmente.
    • Observe cómo se aplican las compresiones verticales a los gráficos aquí.

    En cuanto al objetivo de este artículo, ¿por qué no seguimos adelante y aprendemos más sobre compresión horizontal?

    ¿Qué es una compresión horizontal?

    Dado que y = f (x) es la función que queremos transformar, f (x) sufrirá una compresión horizontal cuando el factor de escala, a (donde a> 1), se multiplica por el valor de entrada o x para este caso.

    Esto significa que cuando multiplicamos x por un factor de escala mayor que 1, esperamos que su gráfica se reduzca por el mismo factor de escala.


    ¿Por qué no comprimimos f (x) = x2 por factores de escala de 2 y 4?


    Como se puede observar en la gráfica, cuando multiplicamos x por 2, la nueva gráfica es una versión comprimida de la gráfica original. Nosotros también esperar un efecto similar cuando x se multiplica por 4, pero esta vez, el gráfico se comprime por un factor de escala de 4.

    Tenga en cuenta que a pesar de estar comprimidos horizontalmente, las coordenadas y y las intersecciones siguen siendo las mismas. ¿Qué esperamos de las coordenadas de las funciones transformadas?

    Si la función base pasa por (m, n), el gráfico comprimido horizontalmente pasará (mamá, n).


    ¿Cómo comprimir horizontalmente una función?                

    Ahora hemos visto cómo las compresiones horizontales afectan el gráfico y los puntos del gráfico de una función. ¿Por qué no empezamos a aplicar nuestro conocimiento para comprimir y graficar funciones? Antes de hacerlo, aquí hay algunos recordatorios importantes para recordar:

    • Asegúrese de comprimir el gráfico base horizontalmente comprobando las nuevas posiciones de los puntos de referencia.
    • Las coordenadas y permanecerían en la misma posición. En consecuencia, asegúrese de que las intersecciones y permanezcan en la misma posición.
    • Asegúrese de que el gráfico y sus puntos tengan la escala correcta.

    ¿Por qué no graficamos la función padre, f (x) = x2, y también graficamos algunos puntos de referencia? Nuestro objetivo es graficar la función g (x) = (4x) 2.



    Según lo que acabamos de aprender, asegúrese de que las coordenadas x de los puntos de coordenadas se reduzcan en 1/4. Los puntos actuales ahora serán:

    • (-2, 4) → (-1/2, 4)
    • (-1, 1) → (-1/4, 1)
    • (1, 1) → (1/4, 1)
    • (2, 4) → (1/2, 4)

    Sigamos adelante y tracemos estos puntos y la gráfica de g (x) para comparar las dos gráficas.

    Como esperábamos, dado que el valor de entrada de g (x) se escala en un factor de 4, esperamos que la gráfica de f (x) se reduzca en el mismo factor de escala.

    El gráfico que se muestra arriba confirma esto y muestra cómo g (x) es el resultado de f (x) comprimida horizontalmente por un factor de escala de 4.


    Resumen de la definición y propiedades de la compresión horizontal

    ¿Está listo para responder a más problemas relacionados con las compresiones horizontales? ¿Por qué no recapitulamos lo que aprendimos hasta ahora antes de hacerlo?

    • La compresión horizontal depende de la factor de escala multiplicado por el valor de entrada (generalmente x).
    • Cuando f (x) se comprime horizontalmente af (ax), dividir las coordenadas x por a.
    • Conserve las intersecciones y las posiciones de las coordenadas.
    • La función transformada tendrá el mismo rango pero puede tener un dominio diferente.
    • Cuando una función se comprime horizontalmente, su punto se transforma de (m, n) a (m / a, n).

    Cuando esté atascado en un problema o no esté seguro de qué hacer a continuación al comprimir una función horizontalmente, no dude en volver a estos cinco consejos.

    ¡Sigamos adelante y probemos problemas que involucran compresión horizontal!

    ejemplo 1

    Dado que f (x) es igual a 12 | x |, ¿cuál es la expresión para g (x) dado que es el resultado de que f (x) se comprima horizontalmente por un factor de escala de 4?

    una. g (x) = 3 | x |
    B. g (x) = 4 | x |
    C. g (x) = 12 | x |
    D. g (x) = 48 | x |

    Solución

    Cuando comprimimos una función horizontalmente, multiplicamos el valor de entrada por el factor de escala. Por lo tanto, tenemos

    g (x) = f (4x)

            = 12 | 4x |

            = 48 | x |

    ejemplo 2

    Escribe las expresiones para g (x) y h (x) en términos de f (x) dadas las siguientes condiciones:

    una. Cuando comprimimos horizontalmente f (x) por un factor de escala de 4, obtenemos g (x).
    B. La función h (x) es el resultado de que g (x) se comprime horizontalmente por un factor de 2.

    Solución

    Primero encontremos la expresión para g (x) en términos de f (x). Como, g (x) es el resultado de comprimir horizontalmente f (x), multiplicamos el valor de entrada de f (x) por 4.

    g (x) = f (2 · x)

           = f (2x)

    Ahora que tenemos g (x) en términos de f (x), podemos usar esto para encontrar la expresión de h (x).

    h (x) = g (2x)

           = f (2 ∙ 2x)

           = f (4x)

    Por tanto, tenemos g (x) = f (2x) y h (x) = f (4x).

    ejemplo 3

    Determine la relación compartida por f (x) y g (x) con base en las gráficas que se muestran a continuación.

    Solución

    Solo del gráfico, podemos ver que g (x) es el resultado de que f (x) se comprime horizontalmente. Sigamos adelante y observemos algunos puntos de referencia para encontrar el factor de escala necesario para comprimir f (x) ag (x) horizontalmente.

    • (-18, 18) → (-6, 18)
    • (-9, 9) → (-3, 9)
    • (9, 9) → (3, 9)
    • (18, 18) → (6, 18)

    Podemos ver que los valores de entrada disminuyeron en 1/3, por lo que el factor de escala aplicado en f (x) es 3 y, por lo tanto, g (x) = f (3x).

    Esto significa que la función g (x) es el resultado de que f (x) sea comprimido horizontalmente por un factor de escala de 3.

    ejemplo 4

    Aplica lo que sabes hasta ahora y describe las transformaciones realizadas para cada par de funciones.

       una. f (x) = x2 → g (x) = 16x2

      B. m (x) = √x → norte (x) = 2√ (3x)
      c. p (x) = | x | → q (x) = | 2x | + 4

    Solución

    Al revisar cada par de gráficos, podemos ver que algunos pueden requerir otras transformaciones que hemos aprendido del pasado.

    Sigamos adelante y comencemos con el primer par, f (x) y g (x):

    Exprese g (x) como un cuadrado perfecto para determinar los cambios aplicados af (x). Tenemos g (x) = (4x) 2. De esto, podemos ver que g (x) es el resultado de f (x) comprimida horizontalmente por un factor de escala de 4.

    Pasando a m (x) yn (x):

    De las dos expresiones, podemos ver que n (x) es el resultado si m (x) se escala vertical y horizontalmente. Inspeccionemos los coeficientes y veamos qué representan:

    n (x) = 2 ∙ m (3x)

    Podemos ver eso n (x) es el resultado de que m (x) se estire verticalmente por un factor de escala de 2 y comprimido horizontalmente por un factor de escala de 3.

    Por último, veamos las transformaciones realizadas en p (x) para llegar a q (x).

    q (x) = p (2x) + 4

    Por tanto, q (x) resulta de que p (x) es comprimido horizontalmente por un factor de escala de 2 y traducido 4 unidades hacia abajo.

    ejemplo 5

    ¿Cuáles son las transformaciones hechas en f (x) = sin x para que resulte en g (x) = 3 sin (2x) + 1? Use la gráfica de f (x) (de -π a π) que se muestra a continuación y luego aplique las transformaciones a la gráfica g (x).

    Solución

    Primero, observemos las transformaciones aplicadas en f (x) para obtener g (x).

    g (x) = 3 ∙ sin (2 ∙ x) + 1

           = 3 f (2x) + 1

    A partir de esto, podemos ver que para alcanzar g (x), necesitamos comprimir f (x) horizontalmente por un factor de 2, estirar verticalmente f (x) por un factor de escala de 3, traducir la función resultante 1 unidad hacia arriba.

    Grafiquemos lentamente g (x) aplicando estas transformaciones. Comencemos comprimiendo horizontalmente f (x) por un factor de escala de 2.

    A continuación, estiremos verticalmente la función resultante con un factor de escala de 3.

    Después de realizar la compresión horizontal y el estiramiento vertical en f (x), movamos el gráfico una unidad hacia arriba.

    Por lo tanto, tenemos la gráfica g (x) simplemente transformando su función madre, y = sin x.

    Preguntas de práctica

    1. Dado que f (x) es igual a 2x2, ¿cuál es la expresión para g (x), dado que es el resultado de que f (x) se comprima horizontalmente por un factor de escala de 3?

    una. g (x) = 6x2
    B. g (x) = 12x2
    C. g (x) = 18x2
    D. g (x) = 36x2

    2. Escribe las expresiones para m (x) y n (x) en términos de f (x) dadas las siguientes condiciones:

        una. Cuando comprimimos horizontalmente f (x) por un factor de escala de 3, obtenemos m (x).
        B. La función n (x) es el resultado de que m (x) se comprima horizontalmente por un factor de 4.

    3. Determine la relación compartida por f (x) y g (x) con base en las gráficas que se muestran a continuación.

    4. Aplica lo que sabes hasta ahora y describe las transformaciones realizadas para cada par de funciones.

    una. f (x) = x2 → g (x) = 36x2

    b. m (x) = √x → norte (x) = 4√ (2x)

    C. p (x) = | x | → q (x) = | 3x | - 1

    5. ¿Cuáles son las transformaciones hechas en f (x) = sen x para que resulte en g (x) = 4 cos (3x) - 1? Use la gráfica de f (x) (de -π a π) que se muestra a continuación y luego aplique las transformaciones a la gráfica g (x).

    Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.



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