¿Es posible que transformemos una función reduciéndola? ¡Sí! Una de las técnicas de transformación más útiles que encontrará es compresión vertical.
La compresión vertical nos ayuda a reducir las funciones verticalmente. ¿Pero por cuánto? Depende del factor de escala.
Antes de comenzar a profundizar en este tema, asegurémonos de que estamos equipados con las técnicas y el conocimiento adecuados revisando los siguientes temas:
- Comprender las funciones principales comunes que podríamos encontrar.
- Refresque su conocimiento de las transformaciones verticales y horizontales.
- Aprenda a aplicar estiramientos verticales y horizontales también.
Este artículo mostrará cómo identificar las compresiones verticales dadas dos o más expresiones y gráficos de funciones. También aplicaremos nuestro conocimiento sobre las compresiones verticales graficando diferentes tipos de funciones.
¿Qué es una compresión vertical?
Las compresiones verticales ocurren cuando una función se multiplica por un factor de escala racional. La base del gráfico de la función permanece igual cuando un gráfico se comprime verticalmente. Solo se verán afectados los valores de salida.
¿Por qué no observamos lo que sucede cuando f (x) se comprime verticalmente por un factor de escala de 1/2 y 1/4?
Como era de esperar, cuando f (x) se comprime verticalmente en un factor de 1/2 y 1/4, la gráfica también se comprime con el mismo factor de escala.
En general, cuando una función se comprime verticalmente por a (donde 0 <a <1), el gráfico se encoge en el mismo factor de escala. Apliquemos el concepto para comprimir f (x) = 6 | x | + 8 por un factor de escala de 1/2.
Para comprimir f (x), multiplicaremos el valor de salida por 1/2.
1/2 ∙ f (x) = 1/2 (6 | x | + 8)
= 3 | x | + 4
Ahora, ¿qué sucede con las coordenadas de una función que está comprimida por un factor de escala de a, donde 0 <a <1? Si el la función base pasa por el punto (m, n),la La función comprimida verticalmente pasará por el punto (m, an).
¿Cómo comprimir verticalmente una función? Ahora hemos entendido cómo la compresión vertical afecta una función base. Ahora bien, ¿cómo aplicamos esta técnica cuando se nos da la gráfica de una función?
Estos son algunos de los conceptos importantes que debemos recordar cuando transformamos gráficos y los comprimimos verticalmente:
- Solo los valores de las coordenadas y cambiarán por un factor de escala de a (verifique si a es una fracción).
- Utilice puntos críticos y algunos pares ordenados como guía para comprimir un gráfico.
- Conserve la intersección con el eje x de la gráfica, pero la intersección con el eje y también disminuirá en un factor de escala de a.
¿Por qué no intentamos comprimir y = 4 (x- 4) por un factor de escala de 1/4?
Como hemos mencionado, es importante verificar los puntos de referencia y asegurarse de que se puedan escalar con el factor correcto. Si queremos comprimir y = 4 (x- 4) por un factor de escala de 1/4, tendremos los siguientes puntos:
- (2, -8) → (2, -2)
- (6, 8) → (6, 2)
- La intersección con el eje x (4, 0) seguirá siendo la misma.
Una vez que tengamos algunos de los nuevos puntos gráficos comprimidos, grafiquemos la función transformada.
A partir de esto, podemos ver que cuando y = 4 (x - 4) se comprime por un factor de escala de 1/4, la nueva función es igual ay = x - 4.
Podemos aplicar el mismo proceso al comprimir verticalmente otras funciones. Pero primero, ¿por qué no recapitulamos lo que hemos aprendido hasta ahora antes de probar otras funciones y gráficos?
Resumen de la definición y propiedades de la compresión vertical
A continuación, se muestran algunos recordatorios importantes al comprimir verticalmente el gráfico o la expresión de una función determinada:
- Cuando 0 <a <1, af (x) devolverá un gráfico comprimido verticalmente con un factor de escala de un.
- Aplica este concepto con la coordenada de la función, así (m, n) se convierte en (m, an).
- El valor y la posición de la intersección con el eje x son los mismos.
- Cuando f (x) se comprime verticalmente, su el dominio permanecerá constante, , pero su rango puede cambiar.
Ahora estamos listos para probar más ejemplos y aplicar nuestros nuevos conocimientos sobre compresiones verticales. ¡No olvide revisar sus notas!
ejemplo 1
La tabla de valores de f (x) se muestra a continuación. Si h (x) = 1/2 ∙ f (x), construya una tabla de valores para la función h (x).
Solución
Comencemos con uno de los pares ordenados de f (x): (1, 2). Como queremos comprimir f (x) verticalmente por 1/2, multiplicaremos la coordenada y por el mismo factor.
(1, 2) → (1, 1)
Utilice el mismo razonamiento para completar el resto de la tabla de valores para h (x).
ejemplo 2
Utilice el gráfico que se muestra a continuación para expresar las relaciones entre los tres.
una. ¿Cuál es la relación compartida entre g (x) y f (x)?
B. ¿Cuál es la relación compartida entre g (x) y h (x)?
C. ¿Cuál es la relación compartida entre f (x) y h (x)?
Solución
Podemos buscar algunos puntos de referencia para observar las compresiones verticales realizadas en cada una de las gráficas.
una. Primero observemos f (x) y g (x). Podemos ver que g (x) es más alto que f (x), por lo que se aplica una compresión vertical en g (x). Comprobando sus puntos, tenemos:
(2, -2) → (2, -12) y (6, -2) → (6, -12)
De los dos pares, podemos ver que f (x) es cuando g (x) se comprime verticalmente por un factor de escala de 1/6.
B. Apliquemos el mismo proceso para g (x) y h (x). Por inspección, sabemos que g (x) es el resultado de la compresión vertical de h (x). ¿Pero por qué factor? Ya veremos.
(2, -1) → (2, -2) y (6, -1) → (6, -2)
Por lo tanto, h (x) es cuando g (x) se comprime verticalmente por un factor de escala de 1/2.
C. Observe los dos pares de puntos para encontrar el factor de escala compartido entre f (x) y h (x).
(2, -1) → (2, -12) y (6, -1) → (6, -12)
De esto, podemos ver que h (x) es el resultado cuando f (x) se comprime verticalmente por un factor de escala de 1/12.
ejemplo 3
Grafica la función madre de g (x) = 1/4 ∙ √x. En el mismo gráfico, grafique g (x) usando compresiones verticales.
Solución
Ya hemos aprendido que la función madre de las funciones de raíz cuadrada es y = √x. Sigamos adelante y grafiquemos y = √x primero.
Hemos agregado algunos pares ordenados como guías una vez que graficamos g (x). Como queremos comprimirlo verticalmente, dividiremos las coordenadas y de la función principal entre 4.
Por lo tanto, tenemos g (x) representado por la gráfica naranja.
ejemplo 4
Grafique f (x) = 6 √ (9 - x2) al encontrar sus intersecciones. En el mismo sistema de coordenadas, grafique g (x) y h (x) dadas las siguientes condiciones:
- La función g (x) es el resultado de f (x) comprimida verticalmente por un factor de 1/2.
- La función h (x) es el resultado de que g (x) se comprime verticalmente por un factor de 1/3.
Solución
Como se sugirió, sigamos adelante y encontremos las intersecciones en xey de f (x).
Sigamos adelante y grafiquemos estas intersecciones, así como la gráfica de f (x).
Ahora que tenemos la gráfica de f (x), usemos el hecho de que g (x) es el resultado de comprimir verticalmente f (x) por 1/2. Esto hace que la intersección con el eje y de g (x) sea (0, 9).
Continuemos ahora graficando h (x) escalando g (x) verticalmente en 1/3. Esto da como resultado que h (x) tenga una intersección con el eje y por (0, 3).
Ahora tenemos las tres funciones f (x), g (x) y h (x) en un sistema de coordenadas. Este problema también confirma que la base de la gráfica de la función y las intersecciones x seguirán siendo las mismas.
ejemplo 5
Describe las transformaciones realizadas para cada par de funciones.
una. g (x) = 3x2 → h (x) = x2 / 15
B. g (x) = 12x + 4 → h (x) = 3x + 1
C. g (x) = 8 | x - 2 | - 4 → h (x) = | x -2 | - 3
Solución
una. Para transformar g (x) en h (x), necesitaremos dividir g (x) por 45: h (x) = g (x) / 45. Esto significa que, para que alcancemos h (x), necesitamos comprime verticalmente g (x) en un factor de escala de 1/45.
B. Dividir g (x) entre 4 resultará en (12x + 4) / 4 = 3x + 1, por lo que h (x) es el resultado de que g (x) es comprimido verticalmente por un factor de escala de 1/4.
C. Para que tengamos la expresión en h (x), dividamos g (x) entre 4 y restemos 2 del resultado. Tenemos h (x) = 1/4 ∙ g (x) - 1, entonces h (x) es el resultado de dos transformaciones en f (x): comprimirlo verticalmente en 1/4 y traduce la función resultante 1 unidad hacia abajo.
Preguntas de práctica
- La tabla de valores de f (x) se muestra a continuación. Si h (x) = 1/3 ∙ f (x), construya una tabla de valores para la función h (x).
2. Utilice el gráfico que se muestra a continuación para expresar las relaciones entre los tres.
una. ¿Cuál es la relación compartida entre g (x) y f (x)?
B. ¿Cuál es la relación compartida entre g (x) y h (x)?
C. ¿Cuál es la relación compartida entre f (x) y h (x)?
3. Grafica la función madre de g (x) = 1/3 ∙ x2. En el mismo gráfico, grafique g (x) usando compresiones verticales.
4. Grafique f (x) = 16 √ (36 - x2) al encontrar sus intersecciones. En el mismo sistema de coordenadas, grafique g (x) y h (x) dadas las siguientes condiciones:
- La función g (x) es el resultado de f (x) comprimida verticalmente por un factor de 1/4.
- La función h (x) es el resultado de que g (x) se comprime verticalmente por un factor de 1/2.
5. Describe las transformaciones realizadas para cada par de funciones.
una. g (x) = 2x2 → h (x) = x2 / 8
B. g (x) = 36x + 9 → h (x) = 4x + 1
C. g (x) = 6 | x + 3 | - 6 → h (x) = | x + 3 | - 1
Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.
