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    Construcción de bisectrices perpendiculares: explicación y ejemplos

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    Joel Fulleda
    @joelfulleda

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    Construcción de bisectrices perpendiculares: explicación y ejemplos

    Construir una bisectriz perpendicular con un compás y una regla requiere que primero encontremos el centro de un segmento de línea y luego construyamos una línea perpendicular a ese punto.

    Para hacer esto, es necesario construir un tri√°ngulo equil√°tero en el segmento de recta.

    Antes de continuar, revise la construcción de una línea perpendicular.

    En esta sección, repasaremos:

    • C√≥mo construir una bisectriz perpendicular
    • C√≥mo construir una bisectriz perpendicular de un segmento de l√≠nea dado
    • C√≥mo construir la bisectriz perpendicular de un tri√°ngulo

     

    Cómo construir una bisectriz perpendicular

    Una bisectriz perpendicular es una línea que se encuentra con un segmento de línea dado en ángulo recto y corta el segmento de línea dado en dos mitades iguales.



    La construcción de tal línea requiere que dibujemos un triángulo equilátero en el segmento de línea dado y luego bisecamos el tercer vértice. Luego, extendemos la bisectriz del ángulo para que se cruce con la línea inicial. Entonces podemos probar que esta línea se encontrará con la línea dada en su centro y formará un ángulo recto.

    Cómo construir una bisectriz perpendicular de un segmento de línea dado

    Supongamos que se nos da un segmento de línea AB. Queremos construir una línea que se encuentre con este segmento en ángulo recto y divida el segmento dado en dos partes iguales.


    Primero, dibujamos dos círculos de longitud AB. El primero tendrá el centro A, mientras que el segundo tendrá el centro B. Rotule la intersección de estos círculos como C y dibuje los segmentos AC y BC. El triángulo ABC será equilátero.


    Luego, debemos bisecar el ángulo ACB (cómo hacerlo aquí). Llame a la intersección de la bisectriz del ángulo y la línea AB E.

    Prueba de bisectriz perpendicular

    Primero podemos probar que E es el centro de AB mostrando que AE = BE.


    AC = BC porque ambos son catetos de un triángulo equilátero, ACE = BCE porque CE biseca a ACB y CE es igual a sí mismo. Por lo tanto, dado que los triángulos, ACE y BCE, tienen dos lados iguales y el ángulo entre esos lados es el mismo, los dos triángulos son congruentes. Esto significa que los terceros lados, a saber, AE y BE, son equivalentes. Por tanto, E es el centro del segmento AB y CE biseca AB.

    Dado que los dos ángulos resultantes, CEA y CEB, son congruentes y adyacentes, son ángulos rectos. Por tanto, CE también es perpendicular a AB.

    Cómo construir la bisectriz perpendicular de un triángulo

    Las bisectrices perpendiculares son √ļtiles para encontrar el circuncentro de un tri√°ngulo. Es decir, los usamos para encontrar un punto dentro de un tri√°ngulo que sea equidistante de cada uno de los v√©rtices.

    Para hacer esto, debemos construir una bisectriz perpendicular para cada uno de los tres catetos del triángulo y dibujarlo todo el camino a través del centro del triángulo. La intersección de estas tres bisectrices será el circuncentro. Esto es cierto para cualquier triángulo, escaleno, isósceles o equilátero.


    Ejemplos

    En esta sección, repasaremos problemas de ejemplo comunes que involucran la construcción de bisectrices perpendiculares.

    ejemplo 1

    Encuentra el centro del segmento de línea dado.


    Ejemplo 1 Solución

    Primero, construimos un triángulo equilátero en el segmento de línea AB creando dos círculos con radio AB. El primero tendrá centro A y el segundo tendrá centro B. Si construimos líneas desde A y B hasta la intersección de los círculos, C, construiremos un triángulo equilátero ABC.

    Luego, podemos construir un segundo triángulo equilátero conectando A y B con la otra intersección de los círculos, D. Finalmente, si conectamos CD y etiquetamos la intersección de CD y AB como E, habremos encontrado el centro de AB.

    Sabemos que AE y BE tienen la misma longitud porque los triángulos ACE y BCE son congruentes. Esto se debe a que AC = BC, ACE = BCE y CE son iguales entre sí. Por lo tanto, los triángulos ACE y BCE son congruentes, al igual que los lados AE y BE.


    ejemplo 2

    Construya una línea perpendicular a la línea dada en el punto C.

    Ejemplo 2 Solución

    Para hacer esto, primero tenemos que crear un segmento de línea que tenga C en su centro. Podemos hacer esto construyendo un círculo con un radio igual al más corto de AC y BC. En este caso, BC es más corto. Luego, rotula la intersección de este círculo y la línea AB como D.

    Ahora podemos proceder como si estuviéramos construyendo una bisectriz perpendicular en el segmento DB. En este caso, ya conocemos el punto central, pero eso no cambia mucho nuestro procedimiento.

    Todavía construimos un triángulo equilátero DBE. Entonces, podemos conectar EC.

    Sabemos que EC sigue siendo perpendicular porque sabemos DE = BE ya que ambos son catetos de un triángulo equilátero y EDC = EBC porque ambos son ángulos de un triángulo equilátero. También sabemos que DC = BC ya que ambos son radios del círculo con centro C y radio BC. Por lo tanto, los triángulos EDC y EBC son iguales, por lo que los ángulos ECD y ECD son iguales. Por definición, dado que CE se encuentra en la línea DB y hace que los ángulos adyacentes sean iguales, CE es perpendicular a DB.

    ejemplo 3

    Encuentra el circuncentro del tri√°ngulo dado.

    Ejemplo 3 Solución

    Encontrar el circuncentro requiere que encontremos una bisectriz perpendicular para cada lado del triángulo. Entonces, el punto de intersección de estas líneas es el circuncentro o el punto que es equidistante de cada vértice.

    Empezaremos por el lado AB. Como antes, dibujamos dos círculos con radio AB, uno con centro A y otro con centro B. Entonces podemos tomar el "atajo" y conectar los dos puntos de intersección de estos círculos con una línea DE. Esto dividirá en dos la línea AB.

    A continuación, hacemos lo mismo para los segmentos de línea AC y BC.

    La intersección de estas tres líneas, DE, FG y HI, es el circuncentro del triángulo ABC.

    ejemplo 4

    Divide el hex√°gono por la mitad conectando el centro de dos de sus lados.

    Ejemplo 4 Solución

    El segmento de línea que elijamos no importa porque cada uno de los segmentos de línea tiene la misma longitud.

    Elegiremos AB y construiremos una bisectriz perpendicular, HG. Luego, extendemos HG para que golpee otro segmento en el hexágono. Las dos mitades son iguales debido a que DC = EF, CB = FA. Entonces, si llamamos al centro de ED I y al centro de AB J, EI = DI, JA = JB e IJ es igual a sí mismo.

    ejemplo 5

    Biseca el segmento de l√≠nea que se muestra al construir un tri√°ngulo equil√°tero, ABC, en AB. Luego, construye una bisectriz perpendicular para el segmento de l√≠nea que conecta C y el centro de AB. 

    Ejemplo 5 Solución

    Comenzamos biseccionando el segmento AB como antes. Construimos un triángulo equilátero ABC y luego bisecamos el ángulo ACB. La intersección de la bisectriz del ángulo, que llamamos CD, y el segmento AB, es E, el centro de AB. Por tanto, CE es la bisectriz perpendicular de AB.

    Ahora, queremos construir una bisectriz perpendicular para CE. Hacemos lo mismo, construyendo dos círculos con radio CE. Uno tendrá el centro C y el otro el centro E. Luego, conectamos las dos intersecciones de estos círculos, que llamamos F y G. La intersección de CE y FG es el centro de CE. Por lo tanto, FG es una bisectriz perpendicular a la bisectriz perpendicular.

    Problemas de pr√°ctica

    1. Crea una bisectriz perpendicular para el segmento de línea AB.

    2. Encuentra el circuncentro del tri√°ngulo ABC.

    3. Una l√≠nea EF es una bisectriz perpendicular para dos l√≠neas AB y CD. ¬ŅQu√© forma podemos construir conectando AC y BD?
    4. Demuestre que la bisectriz del √°ngulo de EDC corta el pent√°gono ABCDE en dos mitades iguales.
       

    5. ¬ŅEs la intersecci√≥n de FG y CE en el ejemplo 5 el circuncentro del tri√°ngulo ABC? ¬ŅPor qu√© o por qu√© no?

    Pr√°ctica Problemas Soluciones

    1. ABDC es un cuadrado o un trapezoide con AB paralelo a DC y AC igual a BD.
    2. La bisectriz de ángulo DF corta el pentágono por la mitad. AD = BD, ADF = BDF y DF son iguales entre sí. Por lo tanto, el triángulo ADF = BDF. Asimismo, ED = BC, CDB = EDA y AD = BD. Por tanto, los triángulos BCD y AED también son iguales.
    3. No, porque la bisectriz perpendicular de BC no pasa por el punto H.



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