Construcción geométrica: explicación y ejemplos

Quien soy
Judit Llordes
@juditllordes
Autor y referencias


Construcción geométrica: explicación y ejemplos

La construcci√≥n geom√©trica es el proceso de crear objetos geom√©tricos usando solo una br√ļjula y una regla.


Si bien puede parecer sorprendente, podemos crear casi cualquier objeto geométrico, incluidas líneas, círculos, cuadrados, triángulos, ángulos y más, ¡utilizando solo estas dos herramientas!

La construcción geométrica es parte de la geometría pura (también conocida como geometría sintética o geometría axiomática). Esta es la geometría que no se basa en ecuaciones y sistemas de coordenadas. En cambio, se basa en construcciones y pruebas basadas en axiomas predeterminados.


En este artículo, discutiremos los siguientes subtemas de construcción geométrica:

  • ¬ŅQu√© es la construcci√≥n geom√©trica?
  • ¬ŅC√≥mo hacer construcciones en geometr√≠a?
  • Tipos de construcci√≥n en geometr√≠a.

 

¬ŅQu√© es la construcci√≥n geom√©trica?

La construcci√≥n geom√©trica es el proceso de crear objetos geom√©tricos usando solo una br√ļjula y una regla. Es un componente de geometr√≠a pura que, a diferencia de la geometr√≠a de coordenadas, no utiliza n√ļmeros, f√≥rmulas o un sistema de coordenadas para crear y comparar objetos geom√©tricos.

Una br√ļjula es un dispositivo con un asa y dos patas. Una pierna tiene una punta al final y la otra tiene un l√°piz o una pieza de grafito. Las dos patas tienen bisagras para que el usuario pueda cambiar la distancia entre ellas. Las br√ļjulas se han utilizado desde la antig√ľedad para dibujar c√≠rculos y arcos.


Una regla es cualquier objeto f√≠sico con una regla s√≥lida (lo adivin√≥) que se puede trazar con un l√°piz. Tenga en cuenta que, si bien muchas personas usan una regla como regla en construcciones geom√©tricas, t√©cnicamente, una regla no debe incluir n√ļmeros. Usar una regla est√° bien siempre y cuando ignore la tentaci√≥n de comparar l√≠neas usando sus medidas.


Las construcciones geom√©tricas (y las pruebas que las acompa√Īan) se basan en un cierto conjunto de reglas acordadas llamadas axiomas. B√°sicamente, estos nos brindan las herramientas que necesitamos para hacer una prueba y garantizar que todos los lectores est√©n trabajando con las mismas definiciones.

Euclides

A Euclides de Alejandría a veces se le llama el fundador de la geometría porque su trabajo en geometría pura estaba bien formulado y bien distribuido. De hecho, su obra principal, Euclid's Elements, es uno de los libros de mayor circulación de todos los tiempos. Hasta el siglo XX, toda persona educada habría tomado un curso sobre los elementos de Euclides.

Euclides incluyó 23 definiciones, cinco postulados y cinco nociones comunes. Las definiciones aseguraron que Euclides y los lectores estuvieran en la misma página con respecto al significado de las palabras. Las nociones comunes proporcionaron los pasos lógicos necesarios para probar que las construcciones funcionaban, mientras que los postulados eran esencialmente "hechos" fundamentales que no necesitaban ser probados.

Si bien muchas de las proposiciones en Los elementos de Euclides eran solo pruebas de que las construcciones eran posibles, otras eran pruebas sobre la comparaci√≥n de objetos geom√©tricos o pruebas que establec√≠an hechos sobre ellos. Sin embargo, en estas √ļltimas pruebas, Euclides a menudo todav√≠a inclu√≠a una construcci√≥n simple como ilustraci√≥n o referencia para la prueba.


Otras geometrías

Si bien las construcciones y demostraciones geom√©tricas de Euclides han resistido la prueba del tiempo, no son el √ļnico conjunto de axiomas, ni sus construcciones son las √ļnicas. Otros ge√≥metras, incluidos Riemann y Gauss, desarrollaron sus propios sistemas de axiomas que llevaron a diferentes geometr√≠as. Estas se conocen generalmente como geometr√≠as "no euclidianas", y muchas implican eliminar o negar el quinto postulado de Euclides, que establece que:

“Si un segmento de línea interseca dos líneas rectas que forman dos ángulos interiores en el mismo lado que suman menos de dos ángulos rectos, las dos líneas, si se extienden indefinidamente, se encuentran en el lado en el que los ángulos suman menos de dos ángulos rectos . "


Una forma sencilla de concebir la geometría no euclidiana es considerar qué sucede cuando nuestra superficie de dibujo es la superficie de una esfera en lugar de un plano. En tal superficie, es posible dibujar un triángulo con líneas rectas pero dos ángulos rectos.

¬ŅC√≥mo hacer construcciones en geometr√≠a?

Las construcciones en geometría se basan en círculos y líneas. Esto se debe a las dos formas básicas que podemos hacer con una regla y un compás.

Hacer una l√≠nea con una regla es bastante simple. Simplemente coloque el borde de la regla donde desee la l√≠nea. Luego, use un l√°piz para dibujar la l√≠nea, manteniendo el l√°piz cerca del borde de la regla y sosteni√©ndola firmemente con su mano no dominante. Puede usar el l√°piz de la br√ļjula, pero a veces es √ļtil tener otro listo para usar.

Para hacer un c√≠rculo con una br√ļjula, coloque el punto donde desee que est√© el centro. Luego, coloque la punta del l√°piz en cualquier punto de la circunferencia deseada. A continuaci√≥n, gire el l√°piz en un c√≠rculo, manteniendo firme el punto. Si su br√ļjula tiene una funci√≥n de bloqueo, ahora es el momento de usarla para que la distancia entre las piernas no cambie. Cuando regrese al punto de partida, tendr√° un c√≠rculo perfecto.


Tipos de geometría de construcciones

Si bien hay muchas cosas que puede hacer con solo una regla y una br√ļjula, aqu√≠ las dividiremos en categor√≠as amplias para darle una idea de las posibilidades. Recuerde que cada construcci√≥n comienza con un "dado". Estas son las cosas que ya est√°n en su avi√≥n. Por ejemplo, una construcci√≥n que requiere que dibuje un c√≠rculo con un centro en un punto determinado y una distancia de la longitud de una l√≠nea determinada ya tendr√° el punto y la l√≠nea dibujados en el plano.


Bisecciones

Usando solo una br√ļjula y una regla, podemos cortar una l√≠nea o un √°ngulo por la mitad. Tambi√©n podemos usar procesos similares para cortar un c√≠rculo, tri√°ngulo u otros pol√≠gonos en dos partes iguales. Usando los mismos principios, podemos cortar los mismos objetos en cuartos, octavos, dieciseisavos, etc.

Copias

Si le dan una línea, ángulo, círculo, triángulo, etc., puede hacer una copia usando su regla y compás en otro lugar. Estas construcciones a menudo le pedirán que coloque la copia en un lugar específico, como un punto determinado o en una línea determinada.

Angles

Recuerda que no existen medidas específicas en las construcciones. Dicho esto, puede copiar un ángulo independientemente de la medida sin un transportador con solo usar una regla y un compás. También puede crear ángulos de muchas medidas diferentes (por ejemplo, 60 grados, 30 grados, 75 grados, etc.) utilizando métodos de construcción.

Tri√°ngulos

Adem√°s de copiar tri√°ngulos, puedes usar m√©todos de construcci√≥n para hacer tri√°ngulos con tres longitudes de lado dadas. Tambi√©n puedes hacer tri√°ngulos equil√°teros. Los m√©todos de construcci√≥n tambi√©n son √ļtiles para probar hechos sobre tri√°ngulos, como el hecho de que los √°ngulos como la base de los tri√°ngulos is√≥sceles son iguales. Incluso puedes usarlos para demostrar que dos o m√°s tri√°ngulos son congruentes.

Otras formas

Finalmente, incluso puede usar métodos de construcción para hacer cuadrados, pentágonos regulares y hexágonos regulares.

Ejemplos

Los ejemplos en construcción son un poco diferentes de los ejemplos en otras secciones. No obstante, todavía hay algunos ejemplos que ayudarán a ilustrar cómo funciona la construcción.

ejemplo 1

Conecta dos puntos con una línea.

Ejemplo 1 Solución

Primero, dibuja una línea entre estos dos puntos, alinea tu regla de modo que el borde toque ambos puntos. Luego, usa un lápiz y traza a lo largo del borde de tu regla. Está bien si el segmento de línea que dibuja se extiende más allá de los puntos.

¬°Eso es todo al respecto! Terminar√°s con una imagen como la de abajo.

ejemplo 2

Crea dos círculos diferentes con el centro en A.

Ejemplo 2 Solución

Hay infinitas soluciones a este problema, pero todas se pueden encontrar de la misma manera.

Primero, coloque la punta de su br√ļjula en A. Luego, coloque su br√ļjula a una peque√Īa distancia, coloque el l√°piz o grafito en el papel y dibuje un c√≠rculo.

Ahora, configure su br√ļjula a la mayor distancia posible. Ponga el punto en A, coloque el l√°piz o el grafito en el papel y dibuje otro c√≠rculo.

El resultado serán dos círculos, centrados en A. Uno de los círculos estará dentro del otro, como se muestra.

ejemplo 3

Conecta los tres puntos para formar un tri√°ngulo.

Ejemplo 3 Solución

Este problema es similar al del ejemplo 1. En lugar de simplemente conectar dos puntos, necesitamos conectar tres para un total de tres líneas.

Primero, alinee la regla para que el borde toque los puntos A y B. Luego, trace a lo largo del borde para conectar los dos.

A continuación, haga lo mismo con los puntos A y C y luego con los puntos C y B. La figura resultante debería verse como la que se muestra a continuación.

ejemplo 4

Conecta los puntos A y B. Luego, haz un círculo con centro A y radio AB. Luego, haz un círculo con centro B y radio BA.

Ejemplo 4 Solución

Nuestro primer paso es conectar los puntos A y B como antes. Primero, alinee la regla de modo que el borde toque A y B. Luego, trace a lo largo del borde para crear la línea.

Ahora, para hacer el primer círculo, coloque la punta del compás en A y el lápiz en B. Luego, manteniendo firme la mano, gire el compás alrededor del punto para crear un círculo.

A continuaci√≥n, coloque el punto en B y la punta del l√°piz en A. Como antes, mantenga la mano firme mientras gira la br√ļjula alrededor del punto y dibuja la circunferencia del c√≠rculo.

Tu figura final se ver√° como la de abajo.

ejemplo 5

Dada la línea AB, crea un círculo con centro A y radio AB. Luego, crea un círculo con centro B y radio igual al diámetro del primer círculo.

Ejemplo 5 Solución

El primer paso es similar a lo que hemos hecho antes. Colocaremos la punta de la br√ļjula en A y la punta del l√°piz en B. Luego, sosteniendo nuestra mano firme, podemos trazar la circunferencia del c√≠rculo girando la br√ļjula alrededor del punto hasta que regresemos a B.

A continuaci√≥n, queremos un c√≠rculo con centro B y radio igual al di√°metro del otro c√≠rculo. ¬ŅC√≥mo sabemos qu√© punto del c√≠rculo est√° m√°s alejado de B?

De hecho, podemos usar el segundo postulado de Euclides, que dice que podemos usar métodos de construcción para extender cualquier segmento de línea. Por lo tanto, alineamos nuestra regla para que el borde toque A y B. También queremos asegurarnos de que la regla se extienda lo suficiente como para cruzarse con la circunferencia del círculo en el otro lado de B. Podemos trazar a lo largo del borde y rotula la intersección de esta línea y el círculo como C. BC es el diámetro del círculo.

Ahora, podemos poner la punta del compás en B y el lápiz en C. Manteniéndolo firme, giramos el compás alrededor del punto y trazamos la circunferencia del círculo más grande hasta que regresemos a C. La cifra final será parece similar al de abajo.

Problemas de pr√°ctica

  1. Construya dos círculos que se toquen exactamente en un punto, de modo que uno no esté dentro del otro.
  2. Dibuja líneas que conecten los cuatro puntos para que cada punto se conecte.

  3. Dibuja tres diámetros a través del círculo.

  4. Dibuja dos círculos más, uno con radio CA y el otro con radio DA.

  5. Dibuja un círculo con un radio cuatro veces la longitud de AB.

Pr√°ctica de soluciones de problemas



A√Īade un comentario de Construcci√≥n geom√©trica: explicaci√≥n y ejemplos
¡Comentario enviado con éxito! Lo revisaremos en las próximas horas.