Construcción geométrica: explicación y ejemplos
La construcción geométrica es el proceso de crear objetos geométricos usando solo una brújula y una regla.
Si bien puede parecer sorprendente, podemos crear casi cualquier objeto geométrico, incluidas líneas, círculos, cuadrados, triángulos, ángulos y más, ¡utilizando solo estas dos herramientas!
La construcción geométrica es parte de la geometría pura (también conocida como geometría sintética o geometría axiomática). Esta es la geometría que no se basa en ecuaciones y sistemas de coordenadas. En cambio, se basa en construcciones y pruebas basadas en axiomas predeterminados.
En este artículo, discutiremos los siguientes subtemas de construcción geométrica:
- Tipos de construcción en geometría.
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name="-qu--es-la-construcci-n-geom-trica-">¿Qué es la construcción geométrica?
La construcción geométrica es el proceso de crear objetos geométricos usando solo una brújula y una regla. Es un componente de geometría pura que, a diferencia de la geometría de coordenadas, no utiliza números, fórmulas o un sistema de coordenadas para crear y comparar objetos geométricos.
Una brújula es un dispositivo con un asa y dos patas. Una pierna tiene una punta al final y la otra tiene un lápiz o una pieza de grafito. Las dos patas tienen bisagras para que el usuario pueda cambiar la distancia entre ellas. Las brújulas se han utilizado desde la antigüedad para dibujar círculos y arcos.
Una regla es cualquier objeto físico con una regla sólida (lo adivinó) que se puede trazar con un lápiz. Tenga en cuenta que, si bien muchas personas usan una regla como regla en construcciones geométricas, técnicamente, una regla no debe incluir números. Usar una regla está bien siempre y cuando ignore la tentación de comparar líneas usando sus medidas.
Las construcciones geométricas (y las pruebas que las acompañan) se basan en un cierto conjunto de reglas acordadas llamadas axiomas. Básicamente, estos nos brindan las herramientas que necesitamos para hacer una prueba y garantizar que todos los lectores estén trabajando con las mismas definiciones.
name="euclides">Euclides
A
Si bien muchas de las proposiciones en Los elementos de
name="otras-geometr-as">Otras geometrías
Si bien las construcciones y demostraciones geométricas de
“Si un segmento de línea interseca dos líneas rectas que forman dos ángulos interiores en el mismo lado que suman menos de dos ángulos rectos, las dos líneas, si se extienden indefinidamente, se encuentran en el lado en el que los ángulos suman menos de dos ángulos rectos . "
Una forma sencilla de concebir la geometría no euclidiana es considerar qué sucede cuando nuestra superficie de dibujo es la superficie de una esfera en lugar de un plano. En tal superficie, es posible dibujar un triángulo con líneas rectas pero dos ángulos rectos.
name="-c-mo-hacer-construcciones-en-geometr-a-">¿Cómo hacer construcciones en geometría?
Las construcciones en geometría se basan en círculos y líneas. Esto se debe a las dos formas básicas que podemos hacer con una regla y un compás.
Hacer una línea con una regla es bastante simple. Simplemente coloque el borde de la regla donde desee la línea. Luego, use un lápiz para dibujar la línea, manteniendo el lápiz cerca del borde de la regla y sosteniéndola firmemente con su mano no dominante. Puede usar el lápiz de la brújula, pero a veces es útil tener otro listo para usar.
Para hacer un círculo con una brújula, coloque el punto donde desee que esté el centro. Luego, coloque la punta del lápiz en cualquier punto de la circunferencia deseada. A continuación, gire el lápiz en un círculo, manteniendo firme el punto. Si su brújula tiene una función de bloqueo, ahora es el momento de usarla para que la distancia entre las piernas no cambie. Cuando regrese al punto de partida, tendrá un círculo perfecto.
name="tipos-de-geometr-a-de-construcciones">Tipos de geometría de construcciones
Si bien hay muchas cosas que puede hacer con solo una regla y una brújula, aquí las dividiremos en categorías amplias para darle una idea de las posibilidades. Recuerde que cada construcción comienza con un "dado". Estas son las cosas que ya están en su avión. Por ejemplo, una construcción que requiere que dibuje un círculo con un centro en un punto determinado y una distancia de la longitud de una línea determinada ya tendrá el punto y la línea dibujados en el plano.
name="bisecciones">Bisecciones
Usando solo una brújula y una regla, podemos cortar una línea o un ángulo por la mitad. También podemos usar procesos similares para cortar un círculo, triángulo u otros polígonos en dos partes iguales. Usando los mismos principios, podemos cortar los mismos objetos en cuartos, octavos, dieciseisavos, etc.
name="copias">Copias
Si le dan una línea, ángulo, círculo, triángulo, etc., puede hacer una copia usando su regla y compás en otro lugar. Estas construcciones a menudo le pedirán que coloque la copia en un lugar específico, como un punto determinado o en una línea determinada.
name="angles">Angles
Recuerda que no existen medidas específicas en las construcciones. Dicho esto, puede copiar un ángulo independientemente de la medida sin un transportador con solo usar una regla y un compás. También puede crear ángulos de muchas medidas diferentes (por ejemplo, 60 grados, 30 grados, 75 grados, etc.) utilizando métodos de construcción.
name="tri-ngulos">Triángulos
Además de copiar triángulos, puedes usar métodos de construcción para hacer triángulos con tres longitudes de lado dadas. También puedes hacer triángulos equiláteros. Los métodos de construcción también son útiles para probar hechos sobre triángulos, como el hecho de que los ángulos como la base de los triángulos isósceles son iguales. Incluso puedes usarlos para demostrar que dos o más triángulos son congruentes.
name="otras-formas">Otras formas
Finalmente, incluso puede usar métodos de construcción para hacer cuadrados, pentágonos regulares y hexágonos regulares.
name="ejemplos">Ejemplos
Los ejemplos en construcción son un poco diferentes de los ejemplos en otras secciones. No obstante, todavía hay algunos ejemplos que ayudarán a ilustrar cómo funciona la construcción.
name="ejemplo-1">ejemplo 1
Conecta dos puntos con una línea.
name="ejemplo-1-soluci-n">Ejemplo 1 Solución
Primero, dibuja una línea entre estos dos puntos, alinea tu regla de modo que el borde toque ambos puntos. Luego, usa un lápiz y traza a lo largo del borde de tu regla. Está bien si el segmento de línea que dibuja se extiende más allá de los puntos.
¡Eso es todo al respecto! Terminarás con una imagen como la de abajo.
name="ejemplo-2">ejemplo 2
Crea dos círculos diferentes con el centro en A.
name="ejemplo-2-soluci-n">Ejemplo 2 Solución
Hay infinitas soluciones a este problema, pero todas se pueden encontrar de la misma manera.
Primero, coloque la punta de su brújula en A. Luego, coloque su brújula a una pequeña distancia, coloque el lápiz o grafito en el papel y dibuje un círculo.
Ahora, configure su brújula a la mayor distancia posible. Ponga el punto en A, coloque el lápiz o el grafito en el papel y dibuje otro círculo.
El resultado serán dos círculos, centrados en A. Uno de los círculos estará dentro del otro, como se muestra.
name="ejemplo-3">ejemplo 3
Conecta los tres puntos para formar un triángulo.
name="ejemplo-3-soluci-n">Ejemplo 3 Solución
Este problema es similar al del
Primero, alinee la regla para que el borde toque los puntos A y B. Luego, trace a lo largo del borde para conectar los dos.
A continuación, haga lo mismo con los puntos A y C y luego con los puntos C y B. La figura resultante debería verse como la que se muestra a continuación.
name="ejemplo-4">ejemplo 4
Conecta los puntos A y B. Luego, haz un círculo con centro A y radio AB. Luego, haz un círculo con centro B y radio BA.
name="ejemplo-4-soluci-n">Ejemplo 4 Solución
Nuestro primer paso es conectar los puntos A y B como antes. Primero, alinee la regla de modo que el borde toque A y B. Luego, trace a lo largo del borde para crear la línea.
Ahora, para hacer el primer círculo, coloque la punta del compás en A y el lápiz en B. Luego, manteniendo firme la mano, gire el compás alrededor del punto para crear un círculo.
A continuación, coloque el punto en B y la punta del lápiz en A. Como antes, mantenga la mano firme mientras gira la brújula alrededor del punto y dibuja la circunferencia del círculo.
Tu figura final se verá como la de abajo.
name="ejemplo-5">ejemplo 5
Dada la línea AB, crea un círculo con centro A y radio AB. Luego, crea un círculo con centro B y radio igual al diámetro del primer círculo.
name="ejemplo-5-soluci-n">Ejemplo 5 Solución
El primer paso es similar a lo que hemos hecho antes. Colocaremos la punta de la brújula en A y la punta del lápiz en B. Luego, sosteniendo nuestra mano firme, podemos trazar la circunferencia del círculo girando la brújula alrededor del punto hasta que regresemos a B.
A continuación, queremos un círculo con centro B y radio igual al diámetro del otro círculo. ¿Cómo sabemos qué punto del círculo está más alejado de B?
De hecho, podemos usar el segundo postulado de
Ahora, podemos poner la punta del compás en B y el lápiz en C. Manteniéndolo firme, giramos el compás alrededor del punto y trazamos la circunferencia del círculo más grande hasta que regresemos a C. La cifra final será parece similar al de abajo.
name="problemas-de-pr-ctica">Problemas de práctica
- Construya dos círculos que se toquen exactamente en un punto, de modo que uno no esté dentro del otro.
- Dibuja líneas que conecten los cuatro puntos para que cada punto se conecte.
- Dibuja tres diámetros a través del círculo.
- Dibuja dos círculos más, uno con radio CA y el otro con radio DA.
- Dibuja un círculo con un radio cuatro veces la longitud de AB.
