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    Cuadriláteros en un círculo: explicación y ejemplos

    Quien soy
    Alejandra Rangel
    @alejandrarangel

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    Cuadriláteros en un círculo: explicación y ejemplos

    Hemos estudiado que un cuadrilátero es un polígono de 4 lados con 4 ángulos y 4 vértices. Para más detalles, puede consultar el artículo "Cuadriláteros" en el Sección "Polígono".

    In exámenes de geometría, los examinadores hacen que las preguntas sean complejas al inscribir una figura dentro de otra figura y le piden que encuentre el ángulo, la longitud o el área que faltan. Un ejemplo del artículo anterior muestra cómo un triángulo inscrito dentro de un círculo forma dos cuerdas y sigue ciertos teoremas.



    Este artículo discutirá qué es un cuadrilátero inscrito en un círculo y el teorema del cuadrilátero inscrito.

    ¬ŅQu√© es un cuadril√°tero inscrito en un c√≠rculo?

    En geometría, un cuadrilátero inscrito en un círculo, también conocido como cuadrilátero cíclico o cuadrilátero cordal, es un cuadrilátero con cuatro vértices en la circunferencia de un círculo. En un círculo inscrito cuadrilátero, los cuatro lados del cuadrilátero son las cuerdas del círculo.


    En la ilustración anterior, los cuatro vértices del cuadrilátero ABCD se encuentran en la circunferencia del círculo. En este caso, el diagrama de arriba se llama cuadrilátero inscrito en un círculo.

    Teorema del cuadril√°tero inscrito

    Hay dos teoremas sobre un cuadrilátero cíclico. Vamos a ver.

    Teorema 1

    El primer teorema sobre un cuadrilátero cíclico establece que:


    Los √°ngulos opuestos en un cuadril√°tero c√≠clico son suplementarios. es decir, la suma de los √°ngulos opuestos es igual a 180ňö.

    Considere el diagrama a continuación.

    Si a, b, cyd son los √°ngulos internos del cuadril√°tero inscrito, entonces

    a + b = 180ňö y c + d = 180ňö.

    Demostremos eso;

    • a + b = 180ňö.

    Une los vértices del cuadrilátero al centro del círculo.

    Recuerde el teorema del √°ngulo inscrito (el √°ngulo central = 2 x √°ngulo inscrito).

    ‚ą†COD = 2‚ą†CBD

    ‚ą†COD = 2b

    De manera similar, por el teorema del arco interceptado,

    ‚ą†COD = 2 ‚ą†CAD

    ‚ą†COD = 2a

    ‚ą†COD + reflejo ‚ą†COD = 360o

    2a + 2b = 360o

    2 (a + b) = 360o

    Al dividir ambos lados por 2, obtenemos

    a + b = 180o.

    ¬°Por lo tanto probado!

    Teorema 2

    El segundo teorema sobre cuadriláteros cíclicos establece que:

    El producto de las diagonales de un cuadrilátero inscrito en un círculo es igual a la suma del producto de sus dos pares de lados opuestos.

    Considere el siguiente diagrama, donde a, b, cyd son los lados del cuadrilátero cíclico y D1 y D2 son las diagonales del cuadrilátero.


    En la ilustración de arriba,

    (a * c) + (segundo * d) = (D1 * D2)


    Propiedades de un cuadrilátero inscrito en un círculo

    Existen varias propiedades interesantes sobre un cuadrilátero cíclico.

    • Los cuatro v√©rtices de un cuadril√°tero inscrito en un c√≠rculo se encuentran en la circunferencia del c√≠rculo.
    • La suma de dos √°ngulos opuestos en un cuadril√°tero c√≠clico es igual a 180 grados (√°ngulos suplementarios)
    • La medida de un √°ngulo exterior es igual a la medida del √°ngulo interior opuesto.
    • El producto de las diagonales de un cuadril√°tero inscrito en un c√≠rculo es igual a la suma del producto de sus dos pares de lados opuestos.
    • Las bisectrices perpendiculares de los cuatro lados del cuadril√°tero inscrito se intersecan en el centro O.
    • El √°rea de un cuadril√°tero inscrito en un c√≠rculo viene dada por la f√≥rmula de Bret Schneider como:

    √Ārea = ‚ąö [s (sa) (sb) (s - c) (s - c)]

    donde a, b, cyd son las longitudes de los lados del cuadril√°tero.

    s = Semi perímetro del cuadrilátero = 0.5 (a + b + c + d)

    Echemos un vistazo al teorema resolviendo algunos problemas de ejemplo.

    ejemplo 1

    Encuentra la medida de los √°ngulos faltantes xey en el siguiente diagrama.


    Solución


    x = 80 o (el √°ngulo exterior = el √°ngulo interior opuesto).

    y + 70 o = 180 o (los √°ngulos opuestos son suplementarios).

    Resta 70 o en ambos lados.

    y = 110o

    Por lo tanto, la medida de los √°ngulos xey son 80o y 110o, respectivamente.

    ejemplo 2

    Encuentra la medida del √°ngulo ‚ą†QPS en el cuadril√°tero c√≠clico que se muestra a continuaci√≥n.

    Solución

    ‚ą†QPS es el √°ngulo opuesto de ‚ą†SRQ.

    Seg√ļn el teorema del cuadril√°tero inscrito,

    ‚ą†QPS + ‚ą†SRQ = 180o (√°ngulos suplementarios)

    ‚ą†QPS + 60o = 180o

    Resta 60o en ambos lados.

    ‚ą†QPS = 120 o

    Entonces, la medida del √°ngulo ‚ą†QPS es 120o.

    ejemplo 3

    Encuentra la medida de todos los ángulos del siguiente cuadrilátero cíclico.

    Solución

    Suma de √°ngulos opuestos = 180 o

    (y + 2) o + (y - 2) o = 180 o

    Simplificar.

    y + 2 + y - 2 = 180 o

    2y = 180 o

    Dividir por 2 en ambos lados para obtener,

    y = 90 o

    En sustitución,

    (y + 2) o ‚áí 92 o

    (y - 2) o ‚áí 88 o

    De manera similar, los

    (3x - 2) o = (7x + 2) o

    3x - 2 + 7x + 2 = 180 o

    10x = 180 o

    Dividir por 10 en ambos lados,

    x = 18 o

    Sustituir.

    (3x - 2) o ‚áí 52 o

    (7x + 2) o ‚áí 128o

    Preguntas de pr√°ctica

    1. Todos los polígonos se pueden inscribir en un círculo.

    A. Sí

    B. No.

    2. Los cuadriláteros inscritos también se llaman _____

    A. Cuadril√°teros atrapados

    B. Cuadriláteros cíclicos

    C. Cuadril√°teros tangenciales

    D. Ninguno de estos.

    3. Un cuadrilátero se inscribe en un círculo si y solo si los ángulos opuestos son ______

    A. Adyacente

    B. Alternativo

    C. Suplementario

    D. Ninguno de estos.

    respuestas

    1. No
    2. B
    3. C



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