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    Demuestre: la suma de dos números impares es un número par

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    Aina Martin
    @ainamartin

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    Demuestre: la suma de dos números impares es un número par

    Queremos demostrar que si sumamos dos números impares,la suma siempre es un número par.

    Antes incluso de escribir la prueba real, debemos convencernos de que la declaración dada tiene algo de verdad. Podemos probar la declaración con algunos ejemplos.

    Preparé la tabla a continuación para recopilar los resultados de algunos de los números que usé para probar la declaración.



    Parece que la afirmación, la suma de dos números impares es par, es verdadera. Sin embargo, el simple hecho de proporcionar un número infinito de ejemplos no constituye una prueba. Es imposible enumerar todos los casos posibles.


    En cambio, debemos demostrar que la afirmación es cierta para TODOS los casos posibles. La única forma de lograrlo es expresar un número impar en su forma general. Luego, sumamos los dos números impares escritos en forma general para obtener la suma de un número par expresado también en forma general.

    Para escribir la prueba de este teorema, ya debe tener una comprensión clara de las formas generales de los números pares e impares.

    • Números pares

    El número n es incluso si se puede expresar como

    n = 2k

    donde k es un número entero.


    • Números impares

    Por otro lado, el número n es impar si se puede escribir como

    n = 2k + 1

    tal que k es un número entero.

    BRAINSTORM ANTES DE ESCRIBIR LA PRUEBA

    Nota: El propósito de la lluvia de ideas al escribir una prueba es que entendamos lo que el teorema está tratando de transmitir; y recopilar suficiente información para conectar los puntos, que se utilizará para unir la hipótesis y la conclusión.


    Tomemos dos números impares arbitrarios 2a + 1 y 2b + 1 donde ayb son números enteros.

    Como buscamos la suma, queremos sumar 2a + 1 y 2b + 1.

    izquierda ({2a + 1} derecha) + izquierda ({2b + 1} derecha)

    lo que nos da

    izquierda ({2a + 1} derecha) + izquierda ({2b + 1} derecha) = 2a + 2b + 2.

    Observe que no podemos combinar 2a y 2b porque no son términos similares. Sin embargo, logramos combinar las constantes, por lo que 1 + 1 = 2.

    ¿Qué podemos hacer a continuación? Si lo piensas, hay un factor común de 2 en 2a + 2b + 2. Si factorizamos el 2, obtenemos 2left ({a + b + 1} right).


    ¿Que sigue? Bueno, si miramos dentro del paréntesis, es obvio que lo que tenemos es solo un número entero. Puede que no aparezca como un número entero al principio porque vemos que se suman un montón de números enteros.

    Recuerda el Propiedad de cierre de la adición para el conjunto de números enteros.

    Suponga que ayb pertenecen al conjunto de números enteros. La suma de ayb que es {a + b} también es un número entero.

    De hecho, puede expandir esta propiedad de cierre de la suma a más de dos enteros. Por ejemplo, la suma de los números enteros -7, -1, 0, 4 y 10 es 6, que también es un número entero. Por lo tanto,

    (-7)+(-1)+0+4+10=6.

    Volviendo a donde lo dejamos, en 2izquierda ({a + b + 1} derecha), la expresión dentro del paréntesis es solo un número entero ya que la suma de los números enteros a, by 1 es solo otro número entero. En aras de la simplicidad, llamémoslo entero k.


    Por lo que entonces,

    a + b + 1 = k

    Eso significa que 2left ({a + b + 1} right) se puede expresar como

    2izquierda ({a + b + 1} derecha) = 2k

    donde 2k es la forma general de un número par. Parece que hemos logrado con éxito lo que queremos demostrar que la suma de dos probabilidades es par.

    ESCRIBA LA PRUEBA

    TEOREMA: La suma de dos números impares es un número par.

    PRUEBA: Suponga que 2a + 1 y 2b + 1 son dos números impares donde ayb son números enteros. La suma de estos dos números impares es izquierda ({2a + 1} derecha) + izquierda ({2b + 1} derecha). Esto se puede simplificar como {2a + 2b + 2} combinando términos similares. Factoriza el máximo común divisor (MCD) de {2} en negrita de {2a + 2b + 2} para obtener 2 a la izquierda ({a + b + 1} a la derecha). Dado que la suma de enteros es solo otro entero, digamos entero k, entonces {k = a + b + 1}. Por sustitución, tenemos 2left ({a + b + 1} right) = 2k donde 2k es claramente la forma general de un número par. Por lo tanto, la suma de dos números impares es un número par. ◾️

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