Descomposición parcial de fracciones

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Descomposición parcial de fracciones

Este método se utiliza para descomponer una expresión racional dada en fracciones más simples. En otras palabras, si me dan una sola fracción complicada, mi objetivo es dividirla en una serie de componentes o partes “más pequeñas”.

Anteriormente, al sumar / restar expresiones racionales, queremos combinar dos o más expresiones racionales en una sola fracción, como en el ejemplo siguiente. Sin embargo, la descomposición de fracciones parciales (también conocido como expansión de fracción parcial) es precisamente el proceso inverso de eso. El siguiente es un diagrama ilustrativo para mostrar el concepto principal.



 Ahora, repasaré cinco (5) ejemplos para demostrar los pasos involucrados en la descomposición de una sola fracción en partes.


Ejemplos de descomposición parcial de fracciones

Ejemplo 1: Encuentra la descomposición en fracciones parciales de la expresión racional.

Este problema es fácil, así que piense en esto como un ejemplo introductorio. Comenzaré factorizando el denominador (saque x del binomio). A continuación, configuraré el proceso de descomposición colocando A y B para cada uno de los factores lineales únicos o distintos. Los pasos siguientes implican deshacerse de todos los denominadores multiplicando el MCD (que es solo el denominador original del problema) a lo largo de toda la ecuación.



Debería terminar con una ecuación simple en la que pueda comparar fácilmente los coeficientes de términos similares de ambos lados de la ecuación. Como resultado, obtendré un sistema de ecuaciones lineales con variables A y B que se pueden resolver mediante el método de sustitución o el método de eliminación, el que prefiera.

  • Dada la fracción
  • Factoriza el denominador.
  • Crea fracciones individuales en el lado derecho con cada uno de los factores actuando como denominador. Tengo dos fracciones parciales aquí con dos valores desconocidos de numeradores representados por las variables A y B.
  • Quiero eliminar todos los denominadores. Se puede hacer multiplicando ambos lados de la ecuación por el color {azul} LCD = xizquierda ({x + 1} derecha).
  • A continuación, distribuyo la pantalla LCD a cada lado de la ecuación. En esta etapa, trato de tener mucho cuidado al realizar un seguimiento del proceso de cancelación. Quiero asegurarme de seguir este paso correctamente para evitar dolores de cabeza innecesarios más adelante.
  • Esta es la ecuación simplificada después de realizar correctamente el paso anterior.
  • Ahora, multiplicaré las cosas y recopilaré términos comunes escribiéndolos uno al lado del otro. Es hora de comparar los coeficientes de los polinomios. La idea es equiparar los coeficientes correspondientes de términos similares.
  • Yo equiparo los coeficientes del término x enfatizado por el resaltado amarillo. Además, equiparo los términos constantes como se muestra en el resaltado verde.
  • Luego llego a resolver dos ecuaciones con dos incógnitas. Usa el método de sustitución para resolver B.
  • Estos son los valores finales de las variables A y B.
  • Vuelva a introducir los valores resueltos de A y B en la configuración original para obtener la respuesta final.

Ejemplo 2: Encuentra la descomposición en fracciones parciales de la expresión racional.



Este problema es similar al ejemplo 1. La única diferencia es que los factores del denominador son dos binomios lineales.

  • Dado el problema
  • Empiezo factorizando el trinomio en el denominador.

Luego, configuro la descomposición de fracciones parciales poniendo A y B como numeradores. Los dos factores lineales distintos tomarán la posición de los denominadores.

  • Quiero eliminar todos los denominadores, así que multiplicaré ambos lados de la ecuación por el LCD (en azul).
  • Debo tener cuidado al cancelar factores comunes.
  • Los pasos aquí son prácticamente parte del proceso de "limpieza" y reorganización de términos comunes.
  • Es hora de crear la correspondencia entre los dos lados de la ecuación.

Para los términos x, los coeficientes a la izquierda ({A + B} derecha) = 1 mientras que los números puros tengo 3A + 5B = - 1.


  • Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. De ahora en adelante, debería ser fácil de manejar, ¿verdad? Sugiero que usemos el método de eliminación para resolver A y B.

Multiplique la ecuación superior por -, 3 o -, 5 y luego súmelos para eliminar una de las variables.

  • Estos son los valores correctos de A y B.
  • Volveré a la configuración original de las fracciones parciales para reemplazar los valores de A y B con números reales.

Ejemplo 3: Encuentra la descomposición en fracciones parciales de la expresión racional

En este problema, el denominador es el producto de un factor lineal distinto que se repite tres veces indicado por el exponente 3. No cometa el error de escribir tres fracciones parciales con un denominador común de solo left ({x - 1} right ). Eso no es correcto.

En su lugar, piense en tres posibilidades sobre cómo se verá el denominador después de resolverlo. Los posibles denominadores incluyen left ({x - 1} right), {left ({x - 1} right) ^ 2} e {left ({x - 1} right) ^ 3}.

  • Dada la fracción
  • Como tengo un factor lineal repetido a la izquierda ({x - 1} derecha) elevado a la potencia de 3, necesito dar cuenta de cada potencia comenzando desde la más baja (1) hasta la más alta (3).

¿Ves por qué esta configuración es incorrecta?

Insinuación: Suma las fracciones parciales y luego compara sus denominadores.

  • Elimina todos los denominadores distribuyendo el LCD en la ecuación.
  • Esta es la versión simplificada después de las cancelaciones de factores comunes.
  • Como en nuestro problema anterior, distribuiré A y B entre paréntesis. Luego, reorganícelos de tal manera que los términos similares estén uno al lado del otro.

Finalmente, agruparé los coeficientes x ^ 2, x y “constantes”.

  • Utilice flechas, si es necesario, para crear correspondencia entre coeficientes de términos similares.

Presenté un marcador de posición cero al término x ^ 2 que falta en el lado izquierdo. Este es un paso muy crítico.

  • Ahora, puedo extraer claramente las ecuaciones necesarias que se utilizarán para resolver las variables que faltan.

La ecuación A = 0 es un buen regalo de promoción, ya que no tengo que sudar resolviendo algebraicamente.

  • Usa el hecho de que A = 0, reemplaza eso con la segunda ecuación a la izquierda ({- 2A + B = 5} derecha) para obtener B. Finalmente, resuelve para C usando la tercera ecuación usando los valores resueltos de A y B.

¿Recibiste las mismas respuestas?

  • Escriba la configuración original de la descomposición de fracciones parciales y reemplace los valores resueltos para A, B y C.

La fracción donde el numerador es A = 0 desaparecerá. Esto nos deja con dos fracciones como respuesta final.

Ejemplo 4: Encuentra la descomposición en fracciones parciales de la expresión racional

Este es el caso donde el denominador es un producto de distintos factores lineales donde algunos se repiten.

Observe que el denominador de esta expresión racional se compone de dos factores lineales distintos. El primero es a la izquierda ({x - 2} derecha) que aparece una vez, mientras que el segundo factor es a la izquierda ({x - 3} derecha) aparece dos veces, por lo tanto se repite.

  • Dada la fracción
  • Tengo dos factores lineales distintos aquí.

izquierda ({x - 2} derecha) aparece una vez

left ({x - 3} right) aparece dos veces denotado por la potencia 2

Por lo tanto, escribiré izquierda ({x - 2} derecha) en una facción parcial, mientras que izquierda ({x - 3} derecha) en dos fracciones parciales con exponentes crecientes de 1 a 2.

  • Eliminaré todos los denominadores multiplicando la ecuación con el LCD respectivo.
  • Nuevamente, tengo que tener cuidado con mis cancelaciones.
  • Se podría decir que parece "horrible" en la superficie. Sin embargo, si observa cada paso con paciencia, debe darse cuenta de que no es tan malo.

Simplemente distribuyo A, B y C entre paréntesis. Luego, reorganícelos para que los términos similares estén adyacentes entre sí.

Finalmente, agruparé los coeficientes de x ^ 2, x y términos “constantes”.

  • Solo el lado izquierdo tiene el término x ^ 2. Esto significa que debo proporcionar marcadores de posición cero para el término x faltante y el término constante.

Al hacerlo, resulta fácil comparar los coeficientes de términos similares en ambos lados de la ecuación.

Las flechas y el código de colores deben guiarlo en este proceso.

  • Puedo resolver esto de varias formas. Una forma es utilizar el método de eliminación para deshacerse de C entre la segunda y la tercera ecuación.

Multiplicaré la segunda ecuación por 2 y luego la agregaré a la tercera ecuación. Debería terminar con una ecuación que contenga solo A y B. Usa esta “nueva” ecuación con la 2ª ecuación para resolver los valores de A y B. Te sugiero que la pruebes en papel para poder seguirla.

Una vez que obtenga los valores de A y B, puede resolver C usando la segunda o la tercera ecuación usando la sustitución hacia atrás.

  • Estos son los valores correctos de A, B y C.
  • Sustituye los valores en la configuración de fracción parcial original para obtener la respuesta final.

Ejemplo 5: Encuentra la descomposición en fracciones parciales de la expresión racional

Este es otro tipo de problema en la descomposición de fracciones parciales. Factorizando el denominador, obtengo lo siguiente.

Observe que esta vez tengo un factor cuadrático. La pregunta es, ¿todavía puedo factorizarlo en términos lineales? Puedo intentarlo, pero es obvio que no se puede factorizar nunca más. Esto, de hecho, tiene un nombre especial llamado cuadrático irreducible.

Este problema, por lo tanto, es un caso en el que el denominador es un producto de un factor lineal distinto y un factor cuadrático irreducible que no se repiten.

  • Dado el problema
  • Aquí hay dos tipos de factores.

Factor lineal: x

Cuadrática irreducible: {x ^ 2} -2

Observe que el grado del numerador es siempre uno menos que el grado del denominador.

El numerador del factor lineal x es una constante A.

El numerador del factor cuadrático {x ^ 2} -2 es un término lineal Bx + C.

  • Deshazte de los denominadores multiplicando ambos lados por el LCD.
  • ¡Cancele los factores comunes para limpiarlo!
  • Distribuiré, reorganizaré y agruparé los coeficientes de términos similares.
  • Proporcione un marcador de posición cero para el x ^ 2 en el lado izquierdo.

Observe la correspondencia de los coeficientes en ambos lados de la ecuación.

  • Mediante un análisis rápido, sé que C = 1 y A = -2.

Dado que A + B = 0 y A = -2, por lo tanto, izquierda ({- 2} derecha) + B = 0 implica B = 2.

  • Estos son los valores correctos de A, B y C.
  • Reemplaza los valores en la configuración original de la descomposición de fracciones parciales, ¡y listo!

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