Desigualdad del triángulo: explicación y ejemplos

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Aina Prat
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Desigualdad del triángulo: explicación y ejemplos

En este artículo, aprenderemos cuáles son las teorema de desigualdad triangular es cómo usar el teorema y, por último, qué implica la desigualdad del triángulo inverso. En este punto, la mayoría de nosotros estamos familiarizados con el hecho de que un triángulo tiene tres lados.

El tres lados de un triangulo se forman cuando tres segmentos de línea diferentes se unen en los vértices de un triángulo. En un triangulo usamos las letras minúsculas a, byc para denotar los lados de un triángulo.



En la mayoría de los casos, la letra a y B se utilizan para representar el primer dos lados cortos de un triángulo, mientras que la letra c se usa para representar el lado mas largo.

¿Qué es el teorema de la desigualdad del triángulo?

Como sugiere el nombre, el teorema de desigualdad de triángulos es un enunciado que describe la relación entre los tres lados de un triángulo. Según el teorema de la desigualdad de triángulos, la suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor o igual que el tercer lado de un triángulo.

Esta declaración puede representarse simbólicamente como;

  • a + b> c
  • a + c> b
  • b + c> a

Por lo tanto, un teorema de desigualdad de triángulos es un herramienta útil para verificar si un conjunto dado de tres dimensiones formará un triángulo o no. En pocas palabras, no formará un triángulo si las condiciones de desigualdad de los 3 triángulos anteriores son falsas.

Echemos un vistazo a los siguientes ejemplos:


ejemplo 1

Comprueba si es posible formar un triángulo con las siguientes medidas:


4 mm, 7 mm y 5 mm.

Solución

Sea a = 4 mm. b = 7 mm yc = 5 mm. Ahora aplique el teorema de la desigualdad de triángulos.

a + b> c

⇒ 4 + 7> 5

⇒ 11> 5 ……. (cierto)

a + c> b

⇒ 4 + 5> 7

⇒ 9> 7 …………. (cierto)

b + c> a

⇒7 + 5> 4

⇒12> 4 ……. (cierto)

Dado que las tres condiciones son verdaderas, es posible formar un triángulo con las medidas dadas.

ejemplo 2

Dadas las medidas; 6 cm, 10 cm, 17 cm. Comprueba si las tres medidas pueden formar un triángulo.

Solución

Sea a = 6 cm, b = 10 cm yc = 17 cm

Por el teorema de la desigualdad del triángulo, tenemos;

a + b> c

⇒ 6 + 10> 17

⇒ 16> 17 ………. (falso, 17 no es menos que 16)

a + c> b

⇒ 6 + 17> 10

⇒ 23> 10 …………. (cierto)

b + c> a

10 + 17> 6

17> 6 ………. (cierto)

Como una de las condiciones es falsa, las tres medidas no pueden formar un triángulo.

ejemplo 3

Encuentra los posibles valores de x para el triángulo que se muestra a continuación.



Solución

Usando el teorema de la desigualdad del triángulo, obtenemos;

⇒ x + 8> 12

⇒ x> 4

⇒ x + 12> 8

⇒ x> –4 ……… (no válido, las longitudes nunca pueden ser números negativos)

12 + 8> x

⇒ x <20 Combine las declaraciones válidas x> 4 y x <20.

4 <x <20

Por tanto, los posibles valores de x son; 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 y 19.

ejemplo 4

Las dimensiones de un triángulo están dadas por (x + 2) cm, (2x + 7) cm y (4x + 1). Encuentra los posibles valores de x que sean números enteros.

Solución

Por el teorema de la desigualdad del triángulo; sea ​​a = (x + 2) cm, b = (2x + 7) cm yc = (4x + 1).

(x + 2) + (2x + 7)> (4x + 1)

3x + 9> 4x + 1

3x - 4x> 1 - 9

- x> - 8


Divida ambos lados por - 1 e invierta la dirección del símbolo de desigualdad.


x <8 (x + 2) + (4x +1)> (2x + 7)

5x + 3> 2x + 7

5x - 2x> 7 - 3

3x> 4

Divida ambos lados por 3 para obtener;

x> 4/3

x> 1.3333.

(2x + 7) + (4x + 1)> (x + 2)

6x + 8> x + 2

6x - x> 2-8

5x> - 6

x> - 6/5 …………… (imposible)

Combina las desigualdades válidas.

1.333 <x <8

Por lo tanto, los posibles valores enteros de x son 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

Desigualdad del triángulo inverso

Según la desigualdad del triángulo inverso, la diferencia entre las longitudes de dos lados de un triángulo es menor que la longitud del tercer lado. En otras palabras, cualquier lado de un triángulo es más grande que las restas obtenidas cuando se restan los dos lados restantes de un triángulo.

Considere el triángulo PQR a continuación;

El teorema de la desigualdad del triángulo inverso viene dado por;

| PQ |> || PR | - | RQ ||, | PR |> || PQ | - | RQ || y | QR |> || PQ | - | PR ||

Prueba:

  • | PQ | + | PR | > | RQ | // Teorema de la desigualdad del triángulo
  • | PQ | + | PR | - | PR | > | RQ | - | PR | // (i) Restar la misma cantidad de ambos lados mantiene la desigualdad
  • | PQ | > | RQ | - | PR | = || PR | - | RQ || // (ii), propiedades de valor absoluto
  • | PQ | + | PR | - | PQ | > | RQ | - | PQ | // (ii) Restar la misma cantidad de ambos lados mantiene la desigualdad
  • | PR | > | RQ | - | PQ | = || PQ | - | RQ || // (iv), propiedades de valor absoluto
  • | PR | + | QR | > | PQ | // Teorema de la desigualdad del triángulo
  • | PR | + | QR | - | PR | > | PQ | - | PR | // (vi) Restar la misma cantidad de ambos lados mantiene la desigualdad
  • | QR | > | PQ | - | PR | = || PQ | - | PR || // (vii), propiedades de valor absoluto



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