Diferencia de cuadrados: explicación y ejemplos

Diferencia de cuadrados: explicación y ejemplos

Una ecuación cuadrática es un polinomio de segundo grado generalmente en la forma de f (x) = ax2 + bx + c donde a, b, c, ∈ R y a ≠ 0. El término 'a' se conoce como el coeficiente principal , mientras que 'c' es el término absoluto de f (x). Cada ecuación cuadrática tiene dos valores de la variable desconocida, generalmente conocida como las raíces de la ecuación (α, β).

¿Qué es la diferencia de cuadrados?

La diferencia de dos cuadrados es un teorema que nos dice si una ecuación cuadrática se puede escribir como un producto de dos binomios, en el que uno muestra la diferencia de las raíces cuadradas y el otro muestra la suma de las raíces cuadradas.

Una cosa a tener en cuenta sobre este teorema es que no se aplica a la SUMA de cuadrados.

Fórmula de diferencia de cuadrados

La fórmula de la diferencia de cuadrado es una forma algebraica de la ecuación utilizada para expresar las diferencias entre dos valores de cuadrado. Una diferencia de cuadrado se expresa en la forma:

a2 - b2, donde tanto el primer término como el último son cuadrados perfectos. Factorizar la diferencia de los dos cuadrados da:

a2 - b2 = (a + b) (a - b)

Esto es cierto porque, (a + b) (a - b) = a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2

¿Cómo factorizar la diferencia de cuadrados?

En esta sección, aprenderemos cómo factorizar expresiones algebraicas usando la fórmula de diferencia de cuadrado. Para factorizar una diferencia de cuadrados, se llevan a cabo los siguientes pasos:

• Compruebe si los términos tienen el máximo común denominador (MCD) y factorícelo. Recuerde incluir el GCF en su respuesta final.
• Determine los números que producirán los mismos resultados y aplique la fórmula: a2– b2 = (a + b) (a - b) o (a - b) (a + b)
• Compruebe si puede factorizar más los términos restantes.

Resolvamos algunos ejemplos aplicando estos pasos.

ejemplo 1

Factor 64 - x2

Solución

Como sabemos que el cuadrado de 8 es 64, podemos reescribir la expresión como;
64 - x2 = (8) 2 - x2
Ahora, aplique la fórmula a2 - b2 = (a + b) (a - b) para factorizar la expresión;
= (8 + x) (8 - x).

ejemplo 2

Factorizar
x 2 −16

Solución

Dado que x2−16 = (x) 2− (4) 2, por lo tanto, aplique la fórmula del cuadrado de la diferencia a2 - b2 = (a + b) (a - b), donde a y b en este caso son x y 4 respectivamente.

Por lo tanto, x2 - 42 = (x + 4) (x - 4)

ejemplo 3

Factor 3a2 - 27b2

Solución

Dado que 3 es MCD de los términos, lo factorizamos.
3a2 - 27b2 = 3 (a2 - 9b2)
= 3 [(a) 2 - (3b) 2]
Ahora aplique a2 - b2 = (a + b) (a - b) para obtener;
= 3 (a + 3b) (a - 3b)

ejemplo 4

Factor x3 - 25x
Solución

Dado que el MCD = x, factorícelo;
x3 - 25x = x (x2 - 25)
= x (x2 - 52)
Aplicar la fórmula a2 - b2 = (a + b) (a - b) para obtener;
= x (x + 5) (x - 5).

ejemplo 5

Factorizar la expresión (x - 2) 2 - (x - 3) 2

Solución

En este problema a = (x - 2) y b = (x - 3)

Ahora aplicamos a2 - b2 = (a + b) (a - b)

= [(x - 2) + (x - 3)] [(x - 2) - (x - 3)]

= [x - 2 + x - 3] [x - 2 - x + 3]

Combine los términos semejantes y simplifique las expresiones;

[x - 2 + x - 3] [x - 2 - x + 3] => [2x - 5] [1]

= [2x - 5]

ejemplo 6

Factoriza la expresión 25 (x + y) 2-36 (x - 2y) 2.

Solución

Reescribe la expresión en la forma a2 - b2.

25(x + y)2 – 36(x – 2y)2 => {5(x + y)}2 – {6(x – 2y)}2
Aplicar la fórmula a2 - b2 = (a + b) (a - b) para obtener,

= [5(x + y) + 6(x – 2y)] [5(x + y) – 6(x – 2y)]

= [5 veces + 5 años + 6 veces - 12 años] [5 veces + 5 años - 6 veces + 12 años]

Recopile términos similares y simplifique;

= (11x - 7y) (17y - x).

ejemplo 7

Factoriza 2x2– 32.

Solución

Factoriza el GCF;
2x2– 32 => 2 (x2– 16)
= 2 (x2 - 42)

Aplicando la fórmula de los cuadrados de diferencia, obtenemos;
= 2 (x + 4) (x - 4)

ejemplo 8

Factor 9x6 - y8

Solución

Primero, reescribe 9x6 - y8 en la forma a2 - b2.

9x6 – y8 => (3x3)2 – (y4)2

Aplicar a2 - b2 = (a + b) (a - b) para obtener;

= (3x3 – y4) (3x3 + y4)

ejemplo 9

Factorizar la expresión 81a2 - (b - c) 2

Solución

Reescribe 81a2 - (b - c) 2 como a2 - b2
= (9a) 2 - (b - c) 2
Aplicando la fórmula de a2 - b2 = (a + b) (a - b) obtenemos,
= [9a + (b - c)] [9a - (b - c)]
= [9a + b - c] [9a - b + c]

ejemplo 10

Factorizar 4x2– 25

Solución

= (2x) 2– (5) 2
= (2x + 5) (2x - 5

Preguntas de práctica

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:

1. y2–1
2. x2– 81
3. 16x 4 - 1
4. 9x 3 - 81x
5. 18x 2 - 98y2
6. 4x2 - 81
7. 25m2 -9n2
8. 1 - 4z2
9. x4– y4
10. y4 -144