División sintética: explicación y ejemplos

Un polinomio es una expresión algebraica formada por dos o más términos restados, sumados o multiplicados. Un polinomio puede contener coeficientes, variables, exponentes, constantes y operadores como suma y resta.

También es importante tener en cuenta que un polinomio no puede tener exponentes fraccionarios o negativos. Ejemplos de polinomios son; 3y2 + 2x + 5, x3 + 2 x 2 - 9 x - 4, 10 x 3 + 5 x + y, 4x2 - 5x + 7) etc. Al igual que los números, los polinomios pueden sufrir sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.

Vimos sumas, restas, multiplicaciones y divisiones largas de polinomios anteriormente. Echemos un vistazo a la división sintética ahora.

Hay dos métodos en matemáticas para dividir polinomios.

Estos son el división larga y el método sintético. Como sugiere el nombre, el método de división larga es el proceso más engorroso e intimidante de dominar. Por otro lado, el método sintético es una forma “divertida” de dividir polinomios.

Debo decir que la división sintética es un atajo dividir polinomios porque implica menos pasos para llegar a la respuesta que el método de división larga de polinomios. Este artículo discutirá el método de división sintética y cómo hacer el método con un par de ejemplos.

name="-qu--es-la-divisi-n-sint-tica-">¿Qué es la división sintética?

La división sintética se puede definir como una forma abreviada de dividir un polinomio por otro polinomio de primer grado. El método sintético implica encontrar ceros de los polinomios.

name="-c-mo-hacer-divisi-n-sint-tica-">¿Cómo hacer división sintética?

Para dividir un polinomio usando división sintética, debes dividirlo con una expresión lineal cuyo coeficiente principal debe ser 1.

Este tipo de división por un denominador lineal se conoce comúnmente como división por La regla de Ruffini o la "cálculo de lápiz y papel."

Para que el método de división sintética sea posible, se deben cumplir los siguientes requisitos:

• El divisor debe ser un factor lineal. Esto significa que el divisor debe ser una expresión de grado 1.
• El coeficiente principal del divisor también debe ser 1. Si el coeficiente del divisor es distinto de 1, el proceso de división sintética se estropeará. Por lo tanto, se verá obligado a manipular el divisor para convertir el coeficiente principal a 1. Por ejemplo, 4x - 1 y 4x + 9 serían x - ¼ y x + 9/4 respectivamente.

Para realizar la división sintética polinomial, estos son los pasos:

• Establece el divisor en cero para encontrar el número que debes colocar en el cuadro de división.
• Exprese el dividendo en forma estándar. Esto es lo mismo que escribir el dividendo en orden descendente. Si al dividendo le faltan algunos términos, llénelos con cero. Por ejemplo, 3x4 + 2 x3 + 3x2 + 5 = 3x4 + 2 x3 + 3x2 + 0x +5
• Ahora, reduzca el coeficiente principal del dividendo.
• Coloque el producto del número que redujo y el número en el cuadro de división en la columna anterior.
• Escriba el resultado en la parte inferior de la fila sumando el producto del paso 4 y el número anterior.
• Repita el procedimiento 5 hasta que el resto sea cero o un valor numérico.
• Escribe tu respuesta final como los números en la columna inferior. Cuando haya un resto en el cuadro de división, expreselo como una fracción con su denominador.

NOTA: La variable en la respuesta es una potencia menos que el dividendo original

Puede dominar los pasos anteriores utilizando el siguiente mantra: "Reducir, multiplicar y sumar, multiplicar y sumar, multiplicar y sumar,…".

ejemplo 1

Dividir x3 + 5x2 -2x - 24 entre x - 2

Solución

Cambie el signo de la constante en el divisor x -2 de -2 a 2 y suéltelo.

_____________________
x - 2 | x ³ + 5x² - 2x - 24

2 | 1 5 -2-24

Además, reduzca el coeficiente principal. Esto significa que 1 será el primer número del cociente.

2 | 1 5 -2-24
________________________
1

Multiplique 2 por 1 y agregue 5 al producto para obtener 7. Ahora baje 7.

2 | 1 5 -2-24
2
________________________
1 7

Multiplique 2 por 7 y agregue - 2 al producto para obtener 12. Baje 12

2 | 1 5 -2-24
2 14
__________________________
1 7 12

Finalmente, multiplique 2 por 12 y agregue -24 al resultado para obtener 0.

2 | 1 5 -2-24
2 14 24
__________________________
1 7 12 0

Por eso;

x3 + 5x2 -2x - 24 / x - 2 = x² + 7x + 12

ejemplo 2

Dividir x2 + 11x + 30 entre x + 5

Solución

Cambia el signo de la constante en el divisor x + 5 de 5 a -5 y bájalo.

_____________________
x + 5 | x2 + 11x + 30

-5 | 1 11 30

Reducir el coeficiente del primer término del dividendo. Este será nuestro primer cociente

2 | 1 11 30
________________________
1

Multiplica -5 por 1 y suma 11 al producto para obtener 6. Reduce 6;

-5 | 1 11 30
-5
________________________
1 6

Multiplica -5 por 6 y suma 30 al resultado para obtener 0.

-5 | 1 11 30
-5-30
________________________
1 6 0

Por tanto, el cociente es x + 6

ejemplo 3

Dividir 2x3 + 5x2 + 9 entre x + 3

Solución

Invierta el signo de la constante en el divisor x + 3 de 3 a -3 y bájelo.

_____________________
x + 3 | 2x3 + 5x2 + 0x + 9

-3 | 2 5 0 9

Reducir el coeficiente del primer término del dividendo. Este será nuestro primer cociente.

-3 | 2 5 0 9
________________________
2

Multiplica -3 por 2 y suma 5 al producto para obtener -1. Bajar -1;

-3 | 2 5 0 9
-6
________________________
2-1

Multiplique -3 por -1 y agregue 0 al resultado para obtener 3. Baje 3.

-3 | 2 5 0 9
-6 3
________________________
2-1 3

Multiplica -3 por 3 y suma -9 al resultado para obtener 0.

-3 | 2 5 0 9
-6 3-9
________________________
2 -1 3 0

Por lo tanto, 2x2– x + 3 es la respuesta correcta.

ejemplo 4

Use la división sintética para dividir 3 x3 + 10x 2-6x −20 por x + 2.

Solución

Invierta el signo de x + 2 de 2 a -2 y bájelo.

_____________________
x + 2 | 4x3 + 10x 2 - 6x - 20

-2 | 4 10 6 20

Reducir el coeficiente del primer término en dividendos.

-2 | 4 10 6 20
________________________
4

Multiplica -2 por 4 y suma 10 para obtener 2. Reduce 2;

-2 | 4 10 6 20
-8
________________________
4 2

Multiplique -2 por 2 y agregue -6 al resultado para obtener 10. Reduzca -10.

-2 | 4 10 -6 20
-8 -4
________________________
4 2 10

Multiplica -2 por 10 y suma 20 al resultado para obtener 0.

-2 | 4 10 -6 20
-8 -4-20
________________________
4 2 -10 0

Por lo tanto, 4x 2 + 2x −10 es la respuesta.

ejemplo 5

Divida -9x4 + 10x 3 + 7x 2-6 entre x − 1.

Solución

-9x4 + 10x 3 + 7x 2-6 / x − 1 =

1 | -9 10 7 0 -6
-8 1 8 8
________________________
-9 8 8 2

Por lo tanto, la respuesta es -9x3 + 8x2 + 8x + 2 / x -1

Preguntas de práctica

Utilice la división sintética para dividir los siguientes polinomios:

1. 2x3 - 5x2 + 3x + 7 por x -2
2. x3 - 5x2 + 3x +7 por x -3
3. 2x3 + 5x2 + 9 por x + 3
4. x5 - 3x3 - 4x - 1 por x -1
5. - 2x4 + x por x -3
6. - x5 + 1 por x + 1
7. 2x3 - 13x2 + 17x - 10 por x - 5
8. x4 - 3x3 - 11x2 + 5x + 17 por x + 2
9. 4x3 - 8x2 - x + 5 por 2x -1

respuestas

1. 2x2 - x + 1 + 9 / x-2
2. x2 - 2x -2 -2 / x-3
3. 2x2 - x + 3 + 3 / x + 3
4. x4 + x3 - 2x2 - 2x - 7 / x-1
5. -2x3 - 6x2 - 18x -53-159 / x-3
6. -x4 + x3 - x2 + x - 1 + 2 / x + 1
7. 2x2 - 3x + 2
8. x3 - 5x2 - x + 7 + 3 / x + 2
9. 4x2 -6x -4 + 3 / (x - ½)