Comencemos esta lección teniendo una descripción general de los significados del dominio y rango de términos matemáticos antes de entrar en algunos ejemplos sobre cómo encontrarlos tanto algebraicamente como gráficamente.
Antes de continuar, también me gustaría hacerle saber que tengo una lección separada sobre cómo encontrar el dominio y el rango de funciones racionales y radicales.
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
El dominio de una función es el conjunto de todos los valores permitidos de la variable independiente, comúnmente conocidos como valores x. Para encontrar el dominio, necesito identificar valores particulares de x que pueden hacer que la función "se comporte mal" y excluirlos como entradas válidas para la función.
Los valores de x que pueden resultar en las siguientes condiciones son no incluido en el dominio de la función.
Ahora, ¿qué tal el rango de una función?
RANGO DE UNA FUNCIÓN
El rango de una función es el conjunto de valores de salida cuando todos los valores de x en el dominio se evalúan en la función, comúnmente conocido como los valores de y. Esto significa que primero necesito encontrar el dominio para describir el rango.
Encontrar el rango es un poco más complicado que encontrar el dominio. Le recomiendo encarecidamente que utilice una calculadora gráfica para tener una imagen precisa de la función. Sin embargo, si no tiene uno, le animo a bosquejar algunas de las funciones básicas a mano. De cualquier manera, es crucial que tenga una buena idea de cómo se ve el gráfico para describir correctamente el rango de la función.
Ejemplos de cómo encontrar el dominio y el rango de funciones lineales y funciones cuadráticas
Ejemplo 1: Encuentra el dominio y rango de la función lineal
y = 3x - 1
Lo primero que he observado es que no hay un símbolo de raíz cuadrada o un denominador en este problema. Esto es maravilloso porque con esta función no es posible obtener una raíz cuadrada de un número negativo o una división de cero. Dado que no hay valores x que puedan hacer que la función genere resultados no válidos, puedo afirmar fácilmente que el el dominio son todos los valores de x. Sin embargo, es mucho mejor escribirlo en notación de conjunto o notación de intervalo.
Aquí está el resumen del dominio y rango de la función dada escrito de dos maneras ...
Debido a que la función involucrada es una línea, puedo predecir que el el rango son todos los valores de y . Definitivamente puede ir tan alto o tan bajo sin ningún límite. Mire el gráfico de abajo para entender lo que quiero decir.
Siempre es maravilloso ver el gráfico de la función junto con su dominio y rango, en formato pictórico.
Ejemplo 2: Encuentra el dominio y rango de la función cuadrática
y = {x^2} + 3
Puedo ver que puedo conectar cualquier valor de x en la función y producirá una salida válida. Entonces, puedo decir con seguridad que es el dominio son todos los valores de x. Esta vez, sin embargo, debo tener cuidado al describir el rango. ¿Serán todos los valores y? Bueno, no lo creo, porque sé que esta función es una parábola y una de sus características es tener un punto alto (máximo) o un punto bajo (mínimo). Para estar seguro, primero lo graficaré.
La gráfica de la parábola tiene un punto bajo en y = 3 y puede ir tan alto como quiera. Usando la desigualdad, escribiré el rango como y ≥ 3.
Resumen de dominio y rango en forma tabular:
Ejemplo 3: Encuentra el dominio y rango de la función cuadrática
y = - {x^2} + 2
Espero que el ejemplo anterior le haya dado la idea de cómo resolver esto. Esta es una función cuadrática, por lo tanto, la gráfica será parabólica. Sé que esto también tendrá un mínimo o un máximo. Dado que el coeficiente del término x2 es negativo, la parábola se abre hacia abajo y por lo tanto tiene un máximo (punto alto). La el dominio debe tener todos los valores de x porque no hay valores que al ser sustituidos por la función den “malos resultados”.
Aunque el rango es fácil de encontrar, prefiero “jugar seguro” y graficarlo nuevamente.
La parábola tiene un valor máximo en y = 2 y puede bajar tanto como quiera. El rango es simplemente y ≤ 2.
El resumen de dominio y rango es el siguiente:
Ejemplo 4: Encuentra el dominio y rango de la función cuadrática
y = {x ^ 2} + 4x - 1
Al igual que en nuestros ejemplos anteriores, una función cuadrática siempre tendrá un dominio de todos los valores de x.
Quiero repasar este ejemplo en particular porque el mínimo o el máximo no son del todo obvios. Sin embargo, observe que la parábola está en la forma estándar, y = ax2 + bx + c.
Quiero transformar esto en la forma de vértice, y = a (x-h)2 + k, donde el vértice es (h, k) usando el método de Completar los Cuadrados.
La parábola se abre hacia arriba y el vértice debe ser mínimo. La coordenada del vértice es ...
Ahora puedo ver que esta parábola tiene un valor mínimo en y = −5, y puede ir hasta el infinito positivo.
El rango debe ser y ≥ −5.
Para verificarlo usando su gráfica, tengo este diagrama.
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