Ecuación de una línea paralela y / o perpendicular a otra línea

Ecuación de una línea paralela y / o perpendicular a otra línea

En este tutorial, aprenderá a construir una línea que sea paralela o perpendicular a una línea de referencia dada y que pase por un punto fijo.

Para tener éxito en la resolución de este tipo de problema, es necesario tener algunos conocimientos básicos sobre la línea en sí.

clientes: Debes saber cómo calcular la pendiente de una línea dados dos puntos.



Aquí está la fórmula:

Fórmula de pendiente

La pendiente, m, de una línea que pasa por dos puntos arbitrarios a la izquierda ({{x_1}, {y_1}} derecha) e izquierda ({{x_2}, {y_2}} derecha) se calcula de la siguiente manera ...

Ecuación de una línea paralela y / o perpendicular a otra línea

Segundo: Familiarícese con las dos (2) formas más útiles de la línea, a saber: Forma de intersección de pendiente y Forma de pendiente de punto.


Formulario de intercepción de pendiente

La ecuación lineal escrita en la forma y = mx + b está en forma pendiente-intersección donde:

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Forma punto-pendiente

La ecuación de la línea con una pendiente, my que pasa por un punto específico {x_1} - {y_1} es


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Tercero: Necesita conocer los hechos básicos sobre el paralelismo y la perpendicularidad de las líneas usando sus pendientes.


Suponga que tiene dos líneas distintas y no verticales, {ell _1} y {ell _2} en forma de pendiente-intersección.

  • Línea 1: 
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  • Línea 2:
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Son lineas paralelas si sus pendientes son iguales o iguales.



  • Pendientes iguales:
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  • Grafico:
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Son lineas perpendiculares si sus pendientes son recíprocas opuestas entre sí, o el producto de sus pendientes es igual a - 1.

  • Las pendientes son recíprocas opuestas:
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  • Producto de Pendientes:
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  • Grafico:
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¡Repasemos algunos ejemplos!


Ejemplos de cómo encontrar la ecuación de una línea paralela y / o perpendicular a otra línea

ejemplo 1: Encuentra la ecuación de una línea que es paralela ay = -, 3x + 5 y pasa por el punto a la izquierda ({2, -, 7} a la derecha).

Comencemos por graficar la línea y el punto dados para que tengamos una idea clara de lo que está sucediendo.

Ecuación de una línea paralela y / o perpendicular a otra línea

Para construir la línea requerida, necesitamos dos cosas: una pendiente y un punto. Una vez que tengamos esta información, podemos insertar estos valores en la Forma de pendiente de punto y finalmente reescribirlo en Pendiente-Intercepción para obtener nuestra respuesta final.

Podemos usar directamente la pendiente de la línea de referencia y = -, 3x + 5, que es m = -, 3 porque deben tener pendientes iguales para ser paralelo. Usaremos left ({2, -, 7} right) como el punto por donde debe pasar esta línea desconocida.

Por tanto, la recta que estamos intentando determinar es la que tiene una pendiente de m = -, 3 y pasa por la izquierda ({2, -, 7} derecha).

Sustituya estos valores en la forma de pendiente puntual y resuelva para "y =".

Ecuación de una línea paralela y / o perpendicular a otra línea

Así es como se ve en el gráfico.

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ejemplo 2: Encuentra la ecuación de una línea que es perpendicular ay = {1 sobre 5} x - 2, y pasa por el punto a la izquierda ({1, -, 3} a la derecha).

Este es el gráfico de la línea y el punto dados.

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¿Podemos usar la pendiente m = {1 sobre 5} de la línea de referencia en el cálculo? ¡La respuesta es no! Use esto solo como la pendiente de la línea paralela porque deben ser iguales. En su lugar, tome el recíproco opuesto (también conocido como recíproco negativo) de la pendiente dada m = {1 sobre 5} para obtener la pendiente perpendicular necesaria.

El recíproco opuesto de m = {1 sobre 5} es m = -, 5.

Por lo tanto, para obtener la ecuación de la línea perpendicular, use m = -, 5 y el punto a la izquierda ({1, -, 3} a la derecha). Sustituya estos valores en la Forma de pendiente de punto y vuelva a escribir en Forma de intersección de pendiente para obtener la respuesta final.

Ecuación de una línea paralela y / o perpendicular a otra línea

Grafique la línea para verificar si es perpendicular a la línea de referencia y ha pasado por el punto fijo, ¡que es el caso!

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ejemplo 3: Encuentra las rectas que son paralelas y perpendiculares ay = {2 sobre 5} x + 7 y que pasan por el punto a la izquierda ({- 1, -, 2} a la derecha).

En este problema, vamos a tener dos respuestas. Una respuesta es la línea que es paralela a la línea de referencia y pasa por un punto dado. Otra respuesta es la línea perpendicular a ella, y que también pasa por el mismo punto.

  • Parte 1: Determina la línea paralela usando la pendiente m = {2 sobre 5} y el punto a la izquierda ({- 1, -, 2} a la derecha).

Usaremos la pendiente de la línea de referencia porque queremos encontrar la línea que es paralela a ella, lo que significa que deben tener pendientes iguales. Sustituya los valores en la Forma de pendiente de punto y luego transfórmela en Forma de intersección de pendiente como la respuesta final.

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  • Parte 2: Determina la línea paralela usando la pendiente m = {{-, 5} sobre 2} y el punto a la izquierda ({- 1, -, 2} a la derecha).

La pendiente perpendicular será el recíproco opuesto de la pendiente de la línea de referencia. Por lo tanto, {2 sobre 5} a {{-, 5} sobre 2}.

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ejemplo 4: Encuentre la ecuación de una línea que es paralela ay = {5 sobre 2} x - 4, y pasa por el punto a la izquierda ({-, 2 ,,, 1} a la derecha).

Solución:

Como queremos una línea paralela, la pendiente se saca directamente de la línea de referencia, es decir, m = {5 sobre 2}. Y el punto a utilizar será el que se nos dé que está a la izquierda ({-, 2 ,,, 1} derecha). Sustituya los valores en la forma de pendiente de punto y luego transforme a la forma de intersección de pendiente para obtener nuestra respuesta final.

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ejemplo 5: Encuentra la ecuación de una recta que es perpendicular ay = {{- 1} sobre 2} x + 2, y pasa por el punto a la izquierda ({- 10, -, 5} a la derecha).

Solución:

La pendiente a utilizar será la inversa opuesta a la pendiente de la línea de referencia. La pendiente de la línea de referencia es m = {{- 1} sobre 2}. Eso significa que su recíproco opuesto será m = 2.

Sustituya los valores de la pendiente m = 2 y del punto a la izquierda ({- 10, -, 5} a la derecha) en la Forma de pendiente de punto, luego vuelva a escribir en Forma de intersección de pendiente.

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ejemplo 6: Encuentra las rectas que son paralelas y perpendiculares ay = {{-, 3} sobre 2} x - 15 y pasan por el punto a la izquierda ({0,2} a la derecha).

Solución:

Para obtener la línea paralela, use la pendiente m = {{-, 3} sobre 2} y el punto a la izquierda ({0,2} a la derecha). Inserte los valores en la forma de pendiente de punto y vuelva a escribir en la forma de intersección de pendiente para obtener la respuesta final.

Ecuación de una línea paralela y / o perpendicular a otra línea

Para obtener la línea perpendicular, la pendiente a utilizar será el recíproco opuesto de la pendiente dada m = {{-, 3} sobre 2} que es m = {2 sobre 3}. Y el punto será simplemente el dado, es decir, la izquierda ({0,2} derecha). Inserte los valores en la forma de pendiente de punto y vuelva a escribir en la forma de intersección de pendiente para obtener la respuesta final.

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