Ecuación de una línea paralela y / o perpendicular a otra línea

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Ecuación de una línea paralela y / o perpendicular a otra línea

En este tutorial, aprenderá a construir una línea que sea paralela o perpendicular a una línea de referencia dada y que pase por un punto fijo.

Para tener éxito en la resolución de este tipo de problema, es necesario tener algunos conocimientos básicos sobre la línea en sí.

clientes: Debes saber cómo calcular la pendiente de una línea dados dos puntos.



Aquí está la fórmula:

Fórmula de pendiente

La pendiente, m, de una línea que pasa por dos puntos arbitrarios a la izquierda ({{x_1}, {y_1}} derecha) e izquierda ({{x_2}, {y_2}} derecha) se calcula de la siguiente manera ...

Segundo: Familiar√≠cese con las dos (2) formas m√°s √ļtiles de la l√≠nea, a saber: Forma de intersecci√≥n de pendiente y Forma de pendiente de punto.


Formulario de intercepción de pendiente

La ecuación lineal escrita en la forma y = mx + b está en forma pendiente-intersección donde:

Forma punto-pendiente

La ecuación de la línea con una pendiente, my que pasa por un punto específico {x_1} - {y_1} es


Tercero: Necesita conocer los hechos básicos sobre el paralelismo y la perpendicularidad de las líneas usando sus pendientes.


Suponga que tiene dos líneas distintas y no verticales, {ell _1} y {ell _2} en forma de pendiente-intersección.

  • L√≠nea 1: 
  • L√≠nea 2:

Son lineas paralelas si sus pendientes son iguales o iguales.



  • Pendientes iguales:
  • Grafico:

Son lineas perpendiculares si sus pendientes son recíprocas opuestas entre sí, o el producto de sus pendientes es igual a - 1.

  • Las pendientes son rec√≠procas opuestas:
  • Producto de Pendientes:
  • Grafico:

¬°Repasemos algunos ejemplos!


Ejemplos de cómo encontrar la ecuación de una línea paralela y / o perpendicular a otra línea

ejemplo 1: Encuentra la ecuación de una línea que es paralela ay = -, 3x + 5 y pasa por el punto a la izquierda ({2, -, 7} a la derecha).

Comencemos por graficar la línea y el punto dados para que tengamos una idea clara de lo que está sucediendo.

Para construir la línea requerida, necesitamos dos cosas: una pendiente y un punto. Una vez que tengamos esta información, podemos insertar estos valores en la Forma de pendiente de punto y finalmente reescribirlo en Pendiente-Intercepción para obtener nuestra respuesta final.

Podemos usar directamente la pendiente de la línea de referencia y = -, 3x + 5, que es m = -, 3 porque deben tener pendientes iguales para ser paralelo. Usaremos left ({2, -, 7} right) como el punto por donde debe pasar esta línea desconocida.

Por tanto, la recta que estamos intentando determinar es la que tiene una pendiente de m = -, 3 y pasa por la izquierda ({2, -, 7} derecha).

Sustituya estos valores en la forma de pendiente puntual y resuelva para "y =".

Así es como se ve en el gráfico.

ejemplo 2: Encuentra la ecuación de una línea que es perpendicular ay = {1 sobre 5} x - 2, y pasa por el punto a la izquierda ({1, -, 3} a la derecha).

Este es el gráfico de la línea y el punto dados.

¬ŅPodemos usar la pendiente m = {1 sobre 5} de la l√≠nea de referencia en el c√°lculo? ¬°La respuesta es no! Use esto solo como la pendiente de la l√≠nea paralela porque deben ser iguales. En su lugar, tome el rec√≠proco opuesto (tambi√©n conocido como rec√≠proco negativo) de la pendiente dada m = {1 sobre 5} para obtener la pendiente perpendicular necesaria.

El recíproco opuesto de m = {1 sobre 5} es m = -, 5.

Por lo tanto, para obtener la ecuación de la línea perpendicular, use m = -, 5 y el punto a la izquierda ({1, -, 3} a la derecha). Sustituya estos valores en la Forma de pendiente de punto y vuelva a escribir en Forma de intersección de pendiente para obtener la respuesta final.

Grafique la línea para verificar si es perpendicular a la línea de referencia y ha pasado por el punto fijo, ¡que es el caso!

ejemplo 3: Encuentra las rectas que son paralelas y perpendiculares ay = {2 sobre 5} x + 7 y que pasan por el punto a la izquierda ({- 1, -, 2} a la derecha).

En este problema, vamos a tener dos respuestas. Una respuesta es la línea que es paralela a la línea de referencia y pasa por un punto dado. Otra respuesta es la línea perpendicular a ella, y que también pasa por el mismo punto.

  • Parte 1: Determina la l√≠nea paralela usando la pendiente m = {2 sobre 5} y el punto a la izquierda ({- 1, -, 2} a la derecha).

Usaremos la pendiente de la línea de referencia porque queremos encontrar la línea que es paralela a ella, lo que significa que deben tener pendientes iguales. Sustituya los valores en la Forma de pendiente de punto y luego transfórmela en Forma de intersección de pendiente como la respuesta final.

  • Parte 2: Determina la l√≠nea paralela usando la pendiente m = {{-, 5} sobre 2} y el punto a la izquierda ({- 1, -, 2} a la derecha).

La pendiente perpendicular será el recíproco opuesto de la pendiente de la línea de referencia. Por lo tanto, {2 sobre 5} a {{-, 5} sobre 2}.

ejemplo 4: Encuentre la ecuación de una línea que es paralela ay = {5 sobre 2} x - 4, y pasa por el punto a la izquierda ({-, 2 ,,, 1} a la derecha).

Solución:

Como queremos una línea paralela, la pendiente se saca directamente de la línea de referencia, es decir, m = {5 sobre 2}. Y el punto a utilizar será el que se nos dé que está a la izquierda ({-, 2 ,,, 1} derecha). Sustituya los valores en la forma de pendiente de punto y luego transforme a la forma de intersección de pendiente para obtener nuestra respuesta final.

ejemplo 5: Encuentra la ecuación de una recta que es perpendicular ay = {{- 1} sobre 2} x + 2, y pasa por el punto a la izquierda ({- 10, -, 5} a la derecha).

Solución:

La pendiente a utilizar será la inversa opuesta a la pendiente de la línea de referencia. La pendiente de la línea de referencia es m = {{- 1} sobre 2}. Eso significa que su recíproco opuesto será m = 2.

Sustituya los valores de la pendiente m = 2 y del punto a la izquierda ({- 10, -, 5} a la derecha) en la Forma de pendiente de punto, luego vuelva a escribir en Forma de intersección de pendiente.

ejemplo 6: Encuentra las rectas que son paralelas y perpendiculares ay = {{-, 3} sobre 2} x - 15 y pasan por el punto a la izquierda ({0,2} a la derecha).

Solución:

Para obtener la l√≠nea paralela, use la pendiente m = {{-, 3} sobre 2} y el punto a la izquierda ({0,2} a la derecha). Inserte los valores en la forma de pendiente de punto y vuelva a escribir en la forma de intersecci√≥n de pendiente para obtener la respuesta final.

Para obtener la línea perpendicular, la pendiente a utilizar será el recíproco opuesto de la pendiente dada m = {{-, 3} sobre 2} que es m = {2 sobre 3}. Y el punto será simplemente el dado, es decir, la izquierda ({0,2} derecha). Inserte los valores en la forma de pendiente de punto y vuelva a escribir en la forma de intersección de pendiente para obtener la respuesta final.



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