El sistema de números reales

El sistema de números reales

Todos los números que se mencionarán en esta lección pertenecen al conjunto de números reales. El conjunto de los números reales se indica con el símbolo mathbb {R}. Existen cinco subconjuntos dentro del conjunto de números reales. Repasemos cada uno de ellos.

Cinco (5) subconjuntos de números reales

1) El conjunto de números naturales o contables

 El conjunto de números naturales (también conocido como contar números) contiene los elementos,



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La elipsis "..." significa que los números continúan para siempre en ese patrón.


2) El conjunto de números enteros

 El conjunto de números enteros incluye todos los elementos de los números naturales más el número cero (0).

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La ligera adición del elemento cero al conjunto de números naturales genera el nuevo conjunto de números enteros. ¡Simple como eso!

3) El conjunto de enteros


El conjunto de números enteros incluye todos los elementos del conjunto de números enteros y los opuestos o “negativos” de todos los elementos del conjunto de números contables.


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4) El conjunto de números racionales

 El conjunto de números racionales incluye todos los números que se pueden escribir como una fracción o como una razón de números enteros. Sin embargo, el denominador no puede ser igual a cero.

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Un número racional también puede aparecer en forma de decimal. Si un número decimal se repite o termina, se puede escribir como una fracción, por lo tanto, debe ser un número racional.


Ejemplos de terminación de decimales:

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Ejemplos de decimales repetidos:


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5) El conjunto de números irracionales

El conjunto de números irracionales se puede describir de muchas formas. Estos son los comunes.

a) Los números irracionales son números que no puedo escribirse como una razón de dos números enteros. Esta descripción es exactamente la opuesta a la de los números racionales.

b) Los números irracionales son los números que quedan después de que todos los números racionales se eliminan del conjunto de números reales. Puedes pensar en ello como,


números irracionales = números reales "menos" números racionales

c) Los números irracionales si se escriben en forma decimal no terminan y no se repiten.

Realmente no existe un símbolo estándar para representar el conjunto de números irracionales. Pero puede encontrar el siguiente.

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Ejemplos:

a) Pi

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b) Número de Euler

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c) La raíz cuadrada de 2

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Aquí hay un diagrama rápido que puede ayudarlo a clasificar números reales.

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Problemas de práctica sobre cómo clasificar números reales

ejemplo 1: Indique si la afirmación es verdadera o falsa. Cada número entero es un número natural.

Solución: El conjunto de números enteros incluye todos los números naturales o de conteo y el número cero (0). Dado que el cero es un número entero que NO es un número natural, la afirmación es FALSA.

ejemplo 2: Indique si la afirmación es verdadera o falsa. Todos los enteros son números enteros.

Solución: El número -1 es un número entero que NO es un número entero. Esto hace que la declaración sea FALSA.

ejemplo 3: Indique si la afirmación es verdadera o falsa. El número cero (0) es un número racional.

Solución: El número cero se puede escribir como una razón de dos enteros, por lo que es un número racional. Esta declaración es VERDADERA.

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ejemplo 4: Nombra el conjunto o conjuntos de números al que pertenece cada número real.

1) 7

Pertenece a los conjuntos de números naturales, {1, 2, 3, 4, 5,…}. Es un número entero porque el conjunto de números enteros incluye los números naturales más cero. Es un número entero ya que es tanto natural como entero. Finalmente, dado que 7 se puede escribir como una fracción con un denominador de 1, 7/1, entonces también es un número racional.

2) 0

Este no es un número natural porque no se puede encontrar en el conjunto {1, 2, 3, 4, 5,…}. Definitivamente es un número entero, un número entero y un número racional. Es racional ya que 0 se puede expresar como fracciones como 0/3, 0/16 y 0/45.

3) 0.3 overline {18}

Este número, obviamente, no pertenece al conjunto de números naturales, conjunto de números enteros y conjunto de enteros. Observe que 18 se repite, por lo que este es un número racional. De hecho, podemos escribirlo como una razón de dos números enteros.

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4) raíz cuadrada 5

Este no es un número racional porque no es posible escribirlo como una fracción. Si lo evaluamos, la raíz cuadrada de 5 tendrá un valor decimal que no es ni termina ni se repite. Esto lo convierte en un número irracional.



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