El teorema del ángulo inscrito: explicación y ejemplos

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El teorema del ángulo inscrito: explicación y ejemplos

La geometr├şa circular es realmente vasta. Un c├şrculo consta de muchas partes y ├íngulos. Estas partes y ├íngulos se apoyan mutuamente en ciertos teoremas, por ejemplo, tEl teorema del ├íngulo inscrito, Teorema de Thales y Teorema del segmento alternativo.

Repasaremos el teorema del ├íngulo inscrito, pero antes de eso, veamos brevemente los c├şrculos y sus partes.

Los c├şrculos nos rodean en nuestro mundo. Existe una relaci├│n interesante entre los ├íngulos de un c├şrculo. Para recordar, una cuerda de un c├şrculo es la l├şnea recta que une dos puntos en la circunferencia de un c├şrculo. Se forman tres tipos de ├íngulos dentro de un c├şrculo cuando dos cuerdas se encuentran en un punto com├║n conocido como v├ęrtice. Estos ├íngulos son el ├íngulo central, el arco interceptado y el ├íngulo inscrito.



Para obtener m├ís definiciones relacionadas con los c├şrculos, debe consultar los art├şculos anteriores.

En este art├şculo, aprender├í:

  • El teorema del ├íngulo inscrito y del ├íngulo inscrito,
  • tambi├ęn aprenderemos c├│mo probar el teorema del ├íngulo inscrito.

 

┬┐Qu├ę es el ├íngulo inscrito?

Un ├íngulo inscrito es un ├íngulo cuyo v├ęrtice se encuentra en un c├şrculo y sus dos lados son cuerdas del mismo c├şrculo.

Por otro lado, un ├íngulo central es un ├íngulo cuyo v├ęrtice se encuentra en el centro de un c├şrculo y sus dos radios son los lados del ├íngulo.

El arco interceptado es un ├íngulo formado por los extremos de dos cuerdas en la circunferencia de un c├şrculo.

Vamos a ver.


En la ilustraci├│n de arriba,


α = El ángulo central

╬Ş = El ├íngulo inscrito

╬▓ = el arco interceptado.

┬┐Qu├ę es el teorema de los ├íngulos inscritos?

El teorema del ├íngulo inscrito, que tambi├ęn se conoce como el teorema de la flecha o el teorema del ├íngulo central, establece que:

El tama├▒o del ├íngulo central es igual al doble del tama├▒o del ├íngulo inscrito. El teorema del ├íngulo inscrito tambi├ęn se puede establecer como:

  • ╬▒ = 2╬Ş

El tamaño de un ángulo inscrito es igual a la mitad del tamaño del ángulo central.

  • ╬Ş = ┬Ż ╬▒

Donde ╬▒ y ╬Ş son el ├íngulo central y el ├íngulo inscrito, respectivamente.

¿Cómo se prueba el teorema de los ángulos inscritos?

El teorema del ángulo inscrito se puede demostrar considerando tres casos, a saber:

  • Cuando el ├íngulo inscrito est├í entre una cuerda y el di├ímetro de un c├şrculo.
  • El di├ímetro est├í entre los rayos del ├íngulo inscrito.
  • El di├ímetro est├í fuera de los rayos del ├íngulo inscrito.

Caso 1: Cuando el ├íngulo inscrito est├í entre una cuerda y el di├ímetro de un c├şrculo:

Para demostrar ╬▒ = 2╬Ş:

  • Ôľ│ CBD es un tri├íngulo is├│sceles donde CD = CB = el radio del c├şrculo.
  • Por lo tanto, Ôłá CDB = Ôłá DBC = ├íngulo inscrito = ╬Ş
  • El di├ímetro AD es una l├şnea recta, entonces ÔłáBCD = (180 , a) ┬░
  • Por el teorema de la suma de tri├íngulos, ÔłáCDB + ÔłáDBC + ÔłáBCD = 180 ┬░

╬Ş + ╬Ş + (180 , a) = 180 ┬░



Simplificar.

Ôč╣ ╬Ş + ╬Ş + 180 , ╬▒ = 180 ┬░

Ôč╣ 2╬Ş + 180 - ╬▒ = 180 ┬░

Resta 180 en ambos lados.

Ôč╣ 2╬Ş + 180 - ╬▒ = 180 ┬░

Ôč╣ 2╬Ş - ╬▒ = 0

Ôč╣ 2╬Ş = ╬▒. Por lo tanto probado.

Caso 2: cuando el diámetro se encuentra entre los rayos del ángulo inscrito.


Para demostrar 2╬Ş = ╬▒:

  • Primero, dibuja el di├ímetro (en l├şnea de puntos) del c├şrculo.

  • Deje que el di├ímetro biseca ╬Ş en ╬Ş1 y ╬Ş De manera similar, el di├ímetro biseca ╬▒ en ╬▒1 y ╬▒2.

Ôč╣ ╬Ş1 + ╬Ş2 = ╬Ş


Ôč╣ ╬▒1 + ╬▒2 = ╬▒

  • Desde el primer caso anterior, ya sabemos que,

Ôč╣ 2╬Ş1 = ╬▒1

Ôč╣ 2╬Ş2 = ╬▒2

  • Suma los ├íngulos.

Ôč╣ ╬▒1 + ╬▒2 = 2╬Ş1 + 2╬Ş2

Ôč╣ ╬▒1 + ╬▒2 = 2 (╬Ş1 + 2╬Ş2)

Por lo tanto, 2╬Ş = ╬▒:

Caso 3: Cuando el diámetro está fuera de los rayos del ángulo inscrito.

Para demostrar 2╬Ş = ╬▒:

  • Dibuja el di├ímetro (en l├şnea de puntos) del c├şrculo.

  • Dado que 2╬Ş1 = ╬▒1

Ôč╣ 2 (╬Ş1 + ╬Ş) = ╬▒ + ╬▒1

Ôč╣ Pero, 2╬Ş1 = ╬▒1 y 2╬Ş2 = ╬▒2

Ôč╣ Por sustituci├│n, obtenemos,

2╬Ş = ╬▒:

Ejemplos resueltos sobre el teorema del ángulo inscrito

ejemplo 1

Encuentra el ángulo x faltante en el siguiente diagrama.

Soluci├│n

Por el teorema del ángulo inscrito,

El tamaño del ángulo central = 2 x el tamaño del ángulo inscrito.

Dado, 60 ° = ángulo inscrito.

Sustituir.

El tamaño del ángulo central = 2 x 60 °

= 120 ┬░

ejemplo 2

Da, que ÔłáQRP = (2x + 20) ┬░ y ÔłáPSQ = 30 ┬░. Encuentra el valor de x.

Soluci├│n

Por el teorema del ángulo inscrito,

Ángulo central = 2 x ángulo inscrito.

ÔłáQRP = 2ÔłáPSQ

ÔłáQRP = 2 x 30 ┬░.

= 60 ┬░.

Ahora, resuelva para x.

Ôč╣ (2x + 20) ┬░ = 60 ┬░.

Simplificar.

Ôč╣ 2x + 20 ┬░ = 60 ┬░

Resta 20 ┬░ en ambos lados.

Ôč╣ 2x = 40 ┬░

Divide ambos lados entre 2.

Ôč╣ x = 20 ┬░

Entonces, el valor de x es 20 ┬░.

ejemplo 3

Resuelve el ángulo x en el siguiente diagrama.

Soluci├│n

Dado el ángulo central = 56 °

2ÔłáADB =ÔłáACB

2x = 56 ┬░

Divide ambos lados entre 2.

x = 28 ┬░

ejemplo 4

Si Ôłá YMZ = 150 ┬░, encuentre la medida de ÔłáMZY y Ôłá XMY.

Soluci├│n

El triángulo MZY es un triángulo isósceles, por lo tanto,

ÔłáMZY =ÔłáZYM

Suma de los ángulos interiores de un triángulo = 180 °

ÔłáMZY = ÔłáZYM = (180 ┬░ - 150 ┬░) / 2

= 30 ┬░ / 2 = 15 ┬░

Por lo tanto, ÔłáMZY = 15 ┬░

Y por el teorema del ángulo inscrito,

2ÔłáMZY = Ôłá XMY

Ôłá XMY = 2 x 15 ┬░

= 30 ┬░

Preguntas de práctica

1. ┬┐Cu├íl es el v├ęrtice de un ├íngulo central?

A. Extremos de un acorde.

B. Centro de un c├şrculo.

C. Cualquier punto del c├şrculo.

D. Ninguno de estos.

2. La medida en grados de un ángulo central es igual a la medida en grados de su _________.

Un acorde

B. Ángulo inscrito

C. Arco interceptado

D. V├ęrtice

3. Según el teorema del ángulo inscrito, la medida de un ángulo inscrito es ____ la medida de su arco interceptado.

Un medio

B. dos veces

C. Cuatro veces

D. Ninguno de estos

4.

Para el c├şrculo de arriba, XY es el di├ímetro y O es el c├şrculo. El v├ęrtice del ├íngulo est├í en su centro.

Calcule el valor de n.

respuestas

  1. B
  2. C
  3. A
  4. 45



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