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    El teorema del ángulo inscrito: explicación y ejemplos

    Quien soy
    Pau Monfort
    @paumonfort

    Valoraci├│n del art├şculo:

    Advertencia de contenido

    El teorema del ángulo inscrito: explicación y ejemplos

    La geometr├şa circular es realmente vasta. Un c├şrculo consta de muchas partes y ├íngulos. Estas partes y ├íngulos se apoyan mutuamente en ciertos teoremas, por ejemplo, tEl teorema del ├íngulo inscrito, Teorema de Thales y Teorema del segmento alternativo.

    Repasaremos el teorema del ├íngulo inscrito, pero antes de eso, veamos brevemente los c├şrculos y sus partes.

    Los c├şrculos nos rodean en nuestro mundo. Existe una relaci├│n interesante entre los ├íngulos de un c├şrculo. Para recordar, una cuerda de un c├şrculo es la l├şnea recta que une dos puntos en la circunferencia de un c├şrculo. Se forman tres tipos de ├íngulos dentro de un c├şrculo cuando dos cuerdas se encuentran en un punto com├║n conocido como v├ęrtice. Estos ├íngulos son el ├íngulo central, el arco interceptado y el ├íngulo inscrito.



    Para obtener m├ís definiciones relacionadas con los c├şrculos, debe consultar los art├şculos anteriores.

    En este art├şculo, aprender├í:

    • El teorema del ├íngulo inscrito y del ├íngulo inscrito,
    • tambi├ęn aprenderemos c├│mo probar el teorema del ├íngulo inscrito.

     

    ┬┐Qu├ę es el ├íngulo inscrito?

    Un ├íngulo inscrito es un ├íngulo cuyo v├ęrtice se encuentra en un c├şrculo y sus dos lados son cuerdas del mismo c├şrculo.

    Por otro lado, un ├íngulo central es un ├íngulo cuyo v├ęrtice se encuentra en el centro de un c├şrculo y sus dos radios son los lados del ├íngulo.

    El arco interceptado es un ├íngulo formado por los extremos de dos cuerdas en la circunferencia de un c├şrculo.

    Vamos a ver.


    En la ilustraci├│n de arriba,


    α = El ángulo central

    ╬Ş = El ├íngulo inscrito

    ╬▓ = el arco interceptado.

    ┬┐Qu├ę es el teorema de los ├íngulos inscritos?

    El teorema del ├íngulo inscrito, que tambi├ęn se conoce como el teorema de la flecha o el teorema del ├íngulo central, establece que:

    El tama├▒o del ├íngulo central es igual al doble del tama├▒o del ├íngulo inscrito. El teorema del ├íngulo inscrito tambi├ęn se puede establecer como:

    • ╬▒ = 2╬Ş

    El tamaño de un ángulo inscrito es igual a la mitad del tamaño del ángulo central.

    • ╬Ş = ┬Ż ╬▒

    Donde ╬▒ y ╬Ş son el ├íngulo central y el ├íngulo inscrito, respectivamente.

    ¿Cómo se prueba el teorema de los ángulos inscritos?

    El teorema del ángulo inscrito se puede demostrar considerando tres casos, a saber:

    • Cuando el ├íngulo inscrito est├í entre una cuerda y el di├ímetro de un c├şrculo.
    • El di├ímetro est├í entre los rayos del ├íngulo inscrito.
    • El di├ímetro est├í fuera de los rayos del ├íngulo inscrito.

    Caso 1: Cuando el ├íngulo inscrito est├í entre una cuerda y el di├ímetro de un c├şrculo:

    Para demostrar ╬▒ = 2╬Ş:

    • Ôľ│ CBD es un tri├íngulo is├│sceles donde CD = CB = el radio del c├şrculo.
    • Por lo tanto, Ôłá CDB = Ôłá DBC = ├íngulo inscrito = ╬Ş
    • El di├ímetro AD es una l├şnea recta, entonces ÔłáBCD = (180 , a) ┬░
    • Por el teorema de la suma de tri├íngulos, ÔłáCDB + ÔłáDBC + ÔłáBCD = 180 ┬░

    ╬Ş + ╬Ş + (180 , a) = 180 ┬░



    Simplificar.

    Ôč╣ ╬Ş + ╬Ş + 180 , ╬▒ = 180 ┬░

    Ôč╣ 2╬Ş + 180 - ╬▒ = 180 ┬░

    Resta 180 en ambos lados.

    Ôč╣ 2╬Ş + 180 - ╬▒ = 180 ┬░

    Ôč╣ 2╬Ş - ╬▒ = 0

    Ôč╣ 2╬Ş = ╬▒. Por lo tanto probado.

    Caso 2: cuando el diámetro se encuentra entre los rayos del ángulo inscrito.


    Para demostrar 2╬Ş = ╬▒:

    • Primero, dibuja el di├ímetro (en l├şnea de puntos) del c├şrculo.

    • Deje que el di├ímetro biseca ╬Ş en ╬Ş1 y ╬Ş De manera similar, el di├ímetro biseca ╬▒ en ╬▒1 y ╬▒2.

    Ôč╣ ╬Ş1 + ╬Ş2 = ╬Ş


    Ôč╣ ╬▒1 + ╬▒2 = ╬▒

    • Desde el primer caso anterior, ya sabemos que,

    Ôč╣ 2╬Ş1 = ╬▒1

    Ôč╣ 2╬Ş2 = ╬▒2

    • Suma los ├íngulos.

    Ôč╣ ╬▒1 + ╬▒2 = 2╬Ş1 + 2╬Ş2

    Ôč╣ ╬▒1 + ╬▒2 = 2 (╬Ş1 + 2╬Ş2)

    Por lo tanto, 2╬Ş = ╬▒:

    Caso 3: Cuando el diámetro está fuera de los rayos del ángulo inscrito.

    Para demostrar 2╬Ş = ╬▒:

    • Dibuja el di├ímetro (en l├şnea de puntos) del c├şrculo.

    • Dado que 2╬Ş1 = ╬▒1

    Ôč╣ 2 (╬Ş1 + ╬Ş) = ╬▒ + ╬▒1

    Ôč╣ Pero, 2╬Ş1 = ╬▒1 y 2╬Ş2 = ╬▒2

    Ôč╣ Por sustituci├│n, obtenemos,

    2╬Ş = ╬▒:

    Ejemplos resueltos sobre el teorema del ángulo inscrito

    ejemplo 1

    Encuentra el ángulo x faltante en el siguiente diagrama.

    Soluci├│n

    Por el teorema del ángulo inscrito,

    El tamaño del ángulo central = 2 x el tamaño del ángulo inscrito.

    Dado, 60 ° = ángulo inscrito.

    Sustituir.

    El tamaño del ángulo central = 2 x 60 °

    = 120 ┬░

    ejemplo 2

    Da, que ÔłáQRP = (2x + 20) ┬░ y ÔłáPSQ = 30 ┬░. Encuentra el valor de x.

    Soluci├│n

    Por el teorema del ángulo inscrito,

    Ángulo central = 2 x ángulo inscrito.

    ÔłáQRP = 2ÔłáPSQ

    ÔłáQRP = 2 x 30 ┬░.

    = 60 ┬░.

    Ahora, resuelva para x.

    Ôč╣ (2x + 20) ┬░ = 60 ┬░.

    Simplificar.

    Ôč╣ 2x + 20 ┬░ = 60 ┬░

    Resta 20 ┬░ en ambos lados.

    Ôč╣ 2x = 40 ┬░

    Divide ambos lados entre 2.

    Ôč╣ x = 20 ┬░

    Entonces, el valor de x es 20 ┬░.

    ejemplo 3

    Resuelve el ángulo x en el siguiente diagrama.

    Soluci├│n

    Dado el ángulo central = 56 °

    2ÔłáADB =ÔłáACB

    2x = 56 ┬░

    Divide ambos lados entre 2.

    x = 28 ┬░

    ejemplo 4

    Si Ôłá YMZ = 150 ┬░, encuentre la medida de ÔłáMZY y Ôłá XMY.

    Soluci├│n

    El triángulo MZY es un triángulo isósceles, por lo tanto,

    ÔłáMZY =ÔłáZYM

    Suma de los ángulos interiores de un triángulo = 180 °

    ÔłáMZY = ÔłáZYM = (180 ┬░ - 150 ┬░) / 2

    = 30 ┬░ / 2 = 15 ┬░

    Por lo tanto, ÔłáMZY = 15 ┬░

    Y por el teorema del ángulo inscrito,

    2ÔłáMZY = Ôłá XMY

    Ôłá XMY = 2 x 15 ┬░

    = 30 ┬░

    Preguntas de práctica

    1. ┬┐Cu├íl es el v├ęrtice de un ├íngulo central?

    A. Extremos de un acorde.

    B. Centro de un c├şrculo.

    C. Cualquier punto del c├şrculo.

    D. Ninguno de estos.

    2. La medida en grados de un ángulo central es igual a la medida en grados de su _________.

    Un acorde

    B. Ángulo inscrito

    C. Arco interceptado

    D. V├ęrtice

    3. Según el teorema del ángulo inscrito, la medida de un ángulo inscrito es ____ la medida de su arco interceptado.

    Un medio

    B. dos veces

    C. Cuatro veces

    D. Ninguno de estos

    4.

    Para el c├şrculo de arriba, XY es el di├ímetro y O es el c├şrculo. El v├ęrtice del ├íngulo est├í en su centro.

    Calcule el valor de n.

    respuestas

    1. B
    2. C
    3. A
    4. 45



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