Eliminación de Gauss Jordan - Explicación y ejemplos

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Judit Llordes
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Eliminación de Gauss Jordan - Explicación y ejemplos

El Eliminación de Gauss-Jordan El método es un algoritmo para resolver un sistema lineal de ecuaciones. También podemos usarlo para encontrar la inversa de una matriz invertible. Veamos primero la definición:



La eliminación de Gauss Jordan, o eliminación de Gauss, es un algoritmo para resolver un sistema de ecuaciones lineales representándolo como una matriz aumentada, reduciéndolo mediante operaciones de fila y expresando el sistema en forma escalonada de fila reducida para encontrar los valores de las variables. .


En esta lección, veremos los detalles de la eliminación gaussiana y cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de eliminación de Gauss-Jordan. Seguirán ejemplos y preguntas de práctica.

¿Qué es la eliminación gaussiana?

La eliminación gaussiana es un método estructurado para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Por lo tanto, es un algoritmo y se puede programar fácilmente para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El principal objetivo de la eliminación de Gauss-Jordan es:

  • para representar un sistema de ecuaciones lineales en un forma de matriz aumentada
  • luego realizando las operaciones de fila de $ 3 $ en él hasta que forma escalonada de fila reducida (RREF) se consigue
  • Por último, podemos reconocer fácilmente las soluciones del RREF.

Veamos qué es una forma de matriz aumentada, las operaciones de fila de $ 3 $ que podemos hacer en una matriz y la forma escalonada de fila reducida de una matriz.


Matriz aumentada

A continuación se muestra un sistema de ecuaciones lineales:

$ comenzar {alinear *} 2x + 3y & =, 7 x - y & = 4 end {alinear *} $

Escribiremos el matriz aumentada de este sistema utilizando los coeficientes de las ecuaciones y escribiéndolo en el estilo que se muestra a continuación:

$ izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 2 & 3 & 7 1 & -1 & 4 end {array} right] $

A continuación se muestra un ejemplo que utiliza ecuaciones simultáneas de $ 3 $:

$ comenzar {alinear *} 2x + y + z & =, 10 x + 2y + 3z & = 1 - x - y - z & = 2 final {alinear *} $

Representando este sistema como una matriz aumentada:

$ izquierda [comenzar {matriz} {rrr | r} 2 & 1 & 1 & 10 1 & 2 & 3 & 1 - 1 & - 1 & - 1 & 2 end {array} right] $


Operaciones de fila en una matriz

Hay operaciones de fila elementales de $ 3 $ que podemos hacer en matrices. No cambiará la solución del sistema. Ellos son:

  1. Intercambio $ 2 $ filas
  2. Multiplicar una fila por un escalar distinto de cero ($ neq 0 $)
  3. Suma o resta el múltiplo escalar de una fila a otra fila.

Forma escalonada reducida

El objetivo principal de la eliminación de Gauss Jordan es utilizar las operaciones de fila elementales de $ 3 $ en una matriz aumentada para reducirla a la forma escalonada de fila reducida (RREF). Se dice que una matriz está en forma escalonada de fila reducida, también conocido como fila forma canónica, si se cumplen las siguientes condiciones de $ 4 $:


  1. Las filas con cero entradas (todos los elementos de esa fila son $ 0 $ s) están en la parte inferior de la matriz.
  2. El entrada principal (la primera entrada distinta de cero en una fila) de cada fila distinta de cero es para el derecho de la entrada principal de la fila directamente encima de ella.
  3. La entrada principal en cualquier fila distinta de cero es $ 1 $.
  4. Todas las entradas de la columna que contiene la entrada principal ($ 1 $) son ceros.

Cómo hacer la eliminación de Gauss Jordan

No hay definido pasos para el método de eliminación de Gauss Jordan, pero el algoritmo siguiente describe los pasos que realizamos para llegar a la forma escalonada reducida de la matriz aumentada.

  1. Intercambie filas para que todas las filas con cero entradas estén en la parte inferior de la matriz.
  2. Intercambie filas para que la fila con el dígito más grande a la izquierda esté en la parte superior de la matriz.
  3. Multiplique la fila superior por un escalar que convierta la entrada principal de la fila superior en $ 1 $ (si la entrada principal de la fila superior es $ a $, multiplíquela por $ frac {1} {a} $ para obtener $ 1 $ ).
  4. Sume o reste múltiplos de la fila superior a las otras filas para que las entradas en la columna de la entrada principal de la fila superior sean todas ceros.
  5. Realice los pasos $ 2 - 4 $ para la siguiente entrada distinta de cero situada más a la izquierda hasta que todas las entradas principales de cada fila sean $ 1 $.
  6. Intercambie las filas para que la entrada principal de cada fila distinta de cero esté a la derecha de la entrada principal de la fila directamente encima de ella.

A primera vista, no es tan fácil memorizar / recordar los pasos. Es cuestión de resolver varios problemas hasta que domines el proceso. También existe el factor de intuición que juega un papel GRANDE en la realización de la Eliminación de Gauss Jordan.



Tomemos algunos ejemplos para dilucidar el proceso de resolución de un sistema de ecuaciones lineales mediante el método de eliminación de Gauss Jordan.

 

ejemplo 1

Resuelva el sistema que se muestra a continuación utilizando el método de eliminación de Gauss Jordan:

$ begin {align *} {- x} + 2y & =, {- 6} {3x} - 4y & = {14} end {align *} $

Solución

El primer paso es escribir el matriz aumentada del sistema. Mostramos esto a continuación:

$ izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} - 1 & 2 & - 6 3 & -4 & 14 end {array} right] $

Ahora, nuestra tarea es reducir la matriz a la forma escalonada de fila reducida (RREF) realizando las operaciones de fila elementales de $ 3 $.

La matriz aumentada que tenemos es:

$ izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} - 1 & 2 & - 6 3 & - 4 & 14 end {array} right] $

Paso 1:

Podemos multiplicar la primera fila por $ - 1 $ para hacer la entrada principal $ 1 $. Mostrado a continuación:

$ izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 & - 2 & 6 3 & - 4 & 14 end {array} right] $

Paso 2:

Ahora podemos multiplicar la primera fila por $ 3 $ y restarla de la segunda fila. Mostrado a continuación:

$ izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 & -2 & 6 {3 - (1 por 3)} & {-4 - (-2 por 3)} & {14 - (6 por 3)} end {array} right] $

$ = izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 & - 2 & 6 0 & 2 & - 4 end {array} right] $

Tenemos un $ 0 $ como la primera entrada de la segunda fila.

Paso 3:

Para hacer la segunda entrada de la segunda fila $ 1 $, podemos multiplicar la segunda fila por $ frac {1} {2} $. Mostrado a continuación:

$ izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 & - 2 & 6 {frac {1} {2} times 0} & {frac {1} {2} times 2} & {frac {1} {2} times - 4} end {array} right PS

$ = izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 & - 2 & 6 0 & 1 & - 2 end {array} right] $

Paso 4:

Ya casi llegamos! 

La segunda entrada de la primera fila debe ser $ 0 $. Para hacer eso, multiplicamos la segunda fila por $ 2 $ y la sumamos a la primera fila. Mostrado a continuación:

$ izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} {1 + (0 por 2)} & {- 2 + (1 por 2)} & {6 + (- 2 por 2)} 0 & 1 & - 2 end {array} right] $

$ = izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 & 0 & 2 0 & 1 & - 2 end {array} right] $

Este es el escalón de fila reducido formulario . A partir de la matriz aumentada, podemos escribir dos ecuaciones (soluciones):

$ comenzar {alinear *} x + 0y & =, 2 0x + y & = -2 fin {alinear *} $

$ comenzar {alinear *} x & =, 2 y & = - 2 final {alinear *} $

Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones es $ x = 2 $ y $ y = - 2 $.

ejemplo 2

Resuelva el sistema que se muestra a continuación utilizando el método de eliminación de Gauss Jordan:

$ comenzar {alinear *} x + 2y & =, 4 x - 2y & = 6 final {alinear *} $


Solución

Escribamos la matriz aumentada del sistema de ecuaciones:

$ izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 & 2 & 4 1 & - 2 & 6 end {array} right] $

Ahora, hacemos las operaciones de fila elementales en esta matriz hasta que llegamos a la forma escalonada de fila reducida.

Paso 1:

Multiplicamos la primera fila por $ 1 $ y luego la restamos de la segunda fila. Esto es básicamente restar la primera fila de la segunda fila:

$ izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 y 2 y 4 1 - 1 y - 2 - 2 y 6 - 4 final {matriz} derecha] $

$ = izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 & 2 & 4 0 & - 4 & 2 end {array} right] $

Paso 2:

Multiplicamos la segunda fila por $ -frac {1} {4} $ para hacer la segunda entrada de la fila, $ 1 $:

$ izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 y 2 y 4 0 veces -frac {1} {4} & - 4 veces -frac {1} {4} y 2 veces -frac {1} {4} end {array} right] $

$ = izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 & 2 & 4 0 & 1 & -frac {1} {2} end {array} right] $

Paso 3:

Por último, multiplicamos la segunda fila por $ - 2 $ y la sumamos a la primera fila para obtener la forma escalonada de fila reducida de esta matriz:

$ izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 + (- 2 veces 0) y 2+ (- 2 veces 1) y 4 + (- 2 veces -frac {1} {2}) 0 & 1 & -frac {1} {2} end {array } derecha] $

$ = izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 & 0 & 5 0 & 1 & -frac {1} {2} end {array} right] $

Este es el escalón de fila reducido formulario . A partir de la matriz aumentada, podemos escribir dos ecuaciones (soluciones):

$ begin {align *} x + 0y & =, 5 0x + y & = -frac {1} {2} end {align *} $

$ begin {align *} x & =, 5 y & = -frac {1} {2} end {align *} $

Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones es $ x = 5 $ y $ y = -frac {1} {2} $.

Preguntas de práctica

  1. Resuelva el sistema que se muestra a continuación utilizando el método de eliminación de Gauss Jordan:

    $ begin{align*} 2x + y &= , – 3 – x – y  &= 2  end{align*} $

  2. Resuelva el sistema que se muestra a continuación utilizando el método de eliminación de Gauss Jordan:

    $ comenzar {alinear *} x + 5y & =, 15 - x + 5y & = 25 final {alinear *} $

respuestas

  1. Empezamos escribiendo la matriz aumentada del sistema de ecuaciones:

    $ izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 2 & 1 & - 3 - 1 & - 1 & 2 end {array} right] $

    Ahora, hacemos las operaciones de fila elementales para llegar a nuestra solución.

    En primer lugar,
    Invertimos los signos de la segunda fila e intercambiamos las filas. Entonces tenemos:
    $ izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 & 1 & - 2 2 & 1 & - 3 end {array} right] $
    En segundo lugar,
    Restamos dos veces de la primera fila de la segunda fila:
    $ izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 & 1 & - 2 2 - (2 veces 1) & 1 - (2 veces 1) & - 3 - (2 veces - 2) end {array} right] $
    $ = izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 & 1 & - 2 0 & - 1 & 1 end {array} right] $
    En tercer lugar,
    Invertimos la segunda fila para obtener:
    $ = izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 & 1 & - 2 0 & 1 & - 1 end {array} right] $
    Y por último,
    Restamos la segunda fila de la primera fila y obtenemos:
    $ = izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 & 0 & - 1 0 & 1 & - 1 end {array} right] $

    A partir de esta matriz aumentada, podemos escribir dos ecuaciones (soluciones):

    $ comenzar {alinear *} x + 0y & =, - 1 0x + y & = - 1 final {alinear *} $

    $ comenzar {alinear *} x & =, - 1 y & = - 1 final {alinear *} $

    Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones es $ x = - 1 $ y $ y = - 1 $.

  2. La matriz aumentada del sistema es:
    $ izquierda [inicio {matriz} {rr | r} 1 & 5 & 15 - 1 & 5 & 25 final {matriz} derecha] $
    Llevemos esta matriz a la forma escalonada de filas reducida y encontremos la solución del sistema.

    En primer lugar,
    Niega la primera fila y luego réstala de la segunda fila para obtener:
    $ izquierda [inicio {matriz} {rr | r} 1 y 5 y 15 - 1 - (- 1) y 5 - (- 5) y 25 - (- 15) fin {matriz} derecha] $
    $ = izquierda [inicio {matriz} {rr | r} 1 & 5 & 15 0 & 10 & 40 final {matriz} derecha] $
    En segundo lugar,
    Divida la segunda fila por $ 10 $ para obtener:
    $ izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 & 5 & 15 0 & 1 & 4 end {array} right] $
    Entonces,
    Multiplique la segunda fila por $ 5 $ y réstelo de la primera fila para finalmente obtener la solución:
    $ izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 - (5 por 0) y 5 - (5 por 1) y 15 - (5 por 4) 0 & 1 & 4 end {array} right] $
    $ = izquierda [comenzar {matriz} {rr | r} 1 & 0 & - 5 0 & 1 & 4 end {array} right] $
    Esta es la forma escalonada de fila reducida (RREF). A partir de esta matriz aumentada, podemos escribir dos ecuaciones (soluciones):

    $ comenzar {alinear *} x & =, - 5 y & = 4 final {alinear *} $

    Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones es $ x = - 5 $ y $ y = 4 $.



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