Encontrar la inversa de una función de registro es tan fácil como seguir los pasos sugeridos a continuación. Más tarde, después de ver algunos ejemplos, te darás cuenta de que la mayor parte del trabajo se reduce a resolver una ecuación. Los pasos clave involucrados incluyen aislar la expresión logarítmica y luego reescribir la ecuación logarítmica en una ecuación exponencial. Verá lo que quiero decir cuando repase los ejemplos resueltos a continuación.
Pasos para encontrar la inversa de un logaritmo
PASO 1: Reemplace el flete de notación de función (x derecha) por y.
fleft (x derecha) ay
PASO 2: Cambie los roles de x e y.
xay
y hasta x
PASO 3: Aísle la expresión logarítmica en un lado (izquierdo o derecho) de la ecuación.
PASO 4: Convierta o transforme la ecuación logarítmica en su ecuación exponencial equivalente.
- Observe que el subíndice b en forma logarítmica se convierte en la base con exponente N en forma exponencial.
- La variable M permanece en el mismo lugar.
PASO 5: Resuelve la ecuación exponencial para y para obtener la inversa. Luego reemplace y por {f ^ {- 1}} izquierda (x derecha) que es la notación inversa para escribir la respuesta final.
Reescribe el color {azul} y como color {rojo} {f ^ {- 1}} izquierda (x derecha)
Ejemplos de cómo encontrar el inverso de un logaritmo
Ejemplo 1: Encuentra la inversa de la siguiente ecuación logarítmica.
fleft (x right) = {log _2} left ({x + 3} right)
Comience reemplazando el flete de notación de función (x derecha) por y. Luego, intercambie los roles de color {rojo} x y color {rojo} y.
Proceda resolviendo para y y reemplazándolo por {f ^ {- 1}} izquierda (x derecha) para obtener la inversa. Parte de la solución a continuación incluye reescribir la ecuación logarítmica en una ecuación exponencial. Aquí está nuevamente la fórmula que se usa en el proceso de conversión.
Observe cómo la base 2 de la expresión logarítmica se convierte en la base con un exponente de x. El material dentro del paréntesis permanece en su ubicación original.
Una vez que la expresión logarítmica desaparece convirtiéndola en una expresión exponencial, podemos terminar esto restando ambos lados por 3. No olvides reemplazar la variable y por la notación inversa {f ^ {- 1}} left (x derecha) el final.
Una forma de verificar si obtuvimos la inversa correcta es graficar tanto la ecuación logarítmica como la función inversa en un solo eje xy. Si sus gráficas son simétricas a lo largo de la línea grande {color {verde} y = x}, entonces podemos estar seguros de que nuestra respuesta es correcta.
Ejemplo 2: Encuentra la inversa de la función logarítmica
fleft (x right) = {log _5} left ({2x - 1} right) - 7
Sumemos algún nivel de dificultad a este problema. La ecuación tiene una expresión logarítmica que se resta por 7. Espero que pueda evaluar que este problema es extremadamente factible. La solución será un poco complicada pero definitivamente manejable.
Así que empiezo cambiando la flecha (x derecha) en y, e intercambiando los roles de color {rojo} x y color {rojo} y.
Ahora, podemos resolver para y. Suma ambos lados de la ecuación por 7 para aislar la expresión logarítmica en el lado derecho.
Al aislar con éxito la expresión logarítmica de la derecha, estamos listos para convertir esto en una ecuación exponencial. Observe que la base de la expresión logarítmica que es 6 se convierte en la base de la expresión exponencial del lado izquierdo. La expresión 2y-1 dentro del paréntesis de la derecha ahora está sola sin la operación de registro.
Después de hacerlo, proceda resolviendo el color {rojo} y para obtener la función inversa requerida. Haz eso sumando ambos lados por 1, seguido de dividir ambos lados por el coeficiente de color {rojo} y que es 2.
Dibujemos las gráficas de las funciones logarítmica e inversa en el mismo plano cartesiano para verificar que sean simétricas a lo largo de la línea grande {color {verde} y = x}.
Ejemplo 3: Encuentra la inversa de la función logarítmica
Entonces esto es un poco más interesante que los dos primeros problemas. Observe que falta la base de la expresión logarítmica. Si encuentra algo como esto, la suposición es que estamos trabajando con una expresión logarítmica con base 10. Recuerde siempre este concepto para ayudarlo a solucionar problemas con la misma configuración.
Espero que ya se sienta más cómodo con los procedimientos. Comenzamos de nuevo haciendo fleft (x right) como y, luego cambiando las variables color {red} x y color {red} y en la ecuación.
Nuestro próximo objetivo es aislar la expresión logarítmica. Podemos hacer eso restando ambos lados por 1 seguido de dividir ambos lados por -3.
La expresión logarítmica ahora está por sí sola. Recuerda, la base “faltante” en la expresión logarítmica implica una base de 10. Transforma esto en una ecuación exponencial y comienza a resolver para y.
Observe que la expresión completa en el lado izquierdo de la ecuación se convierte en el exponente de 10, que es la base implícita como se señaló anteriormente.
Continúa resolviendo para y restando ambos lados por 1 y dividiendo por -4. Después de que y esté completamente aislado, reemplácelo por la notación inversa grande {color {blue} {f ^ {- 1}} left (x right)}. ¡Hecho!
Graficar la función original y su inversa en el mismo eje xy revela que son simétricas con respecto a la línea grande {color {verde} y = x}.
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