Espacio muestral: explicación y ejemplos

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Espacio muestral: explicación y ejemplos

En su estudio de probabilidad se encontrará con la idea de un espacio muestral. Una comprensión clara de este concepto hará que su viaje sea más esclarecedor, así que comencemos con su definición:

El "espacio muestral" se define como el conjunto que contiene todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Para ayudarlo a comprender este concepto, este artículo explorará las respuestas a las siguientes preguntas:


  • ¿Qué es un espacio muestral?
  • ¿Cómo encontramos un espacio muestral?

Entremos en ello explicando con más detalle qué es un espacio muestral.


 

¿Qué es un espacio muestral?

Puede recordar que la probabilidad es el estudio del azar. Por ejemplo, si lanza un dado, tiene una probabilidad del 50-50 de obtener una cara. También puedes conseguir una cola. El resultado de una cabeza y el resultado de una cola juntos forman el espacio muestral de este experimento. Así, concluimos:

Un espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.

Por lo general, llamamos a este conjunto S. Entonces, de nuestro experimento mencionado anteriormente, tenemos

S = {H, T}

Tenga en cuenta que, dado que es un conjunto, el espacio muestral se escribe utilizando la notación de conjuntos. Los siguientes ejemplos indican el espacio muestral de los experimentos dados.  

Experimento 1: elegir entre los símbolos de una baraja de cartas

S = {♥, ♦, ♠, ♣}

Alternativamente,

S = {Corazón, Diamante, Espada, Trébol}

Experimento 2: Lanzar un dado


 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}


Ahora que entendemos qué es un espacio muestral, necesitamos explorar cómo se encuentra. Es posible que haya obtenido una idea de los ejemplos anteriores, así que siga leyendo para aprender más estrategias útiles para encontrar un espacio muestral.

¿Cómo encontramos un espacio muestral?

Para determinar el espacio muestral de un experimento, enumeramos TODOS los posibles resultados del experimento.

Es posible que haya notado que el espacio muestral se encuentra enumerando todos los resultados posibles del experimento. Veamos ahora algunos casos en los que el espacio muestral no es tan obvio.

Experimento 2: coger una fruta de una canasta con 3 manzanas, 5 peras, 2 plátanos y 1 naranja.

S = {manzana, pera, plátano, naranja}

Observe que la cantidad de frutas individuales no afectó la cantidad total de resultados posibles. Esto se debe a que en este experimento tomamos una sola fruta de la canasta. Aquí podemos elegir una manzana, una pera, un plátano o una naranja. No podemos recoger una fruta que no contenga la canasta, y solo estamos recogiendo una fruta.

¿Y si ahora quisiéramos recoger dos frutas de la canasta?

Experimento 3: recoger dos frutas (al mismo tiempo) de una canasta con 3 manzanas, 5 peras, 2 plátanos y 1 naranja

Para simplificar nuestro espacio muestral, usaremos:

Una manzana  

P - pera

B - Plátano

O - naranja

 S = {(A, A), (A, P), (A, B), (A, O), (P, P), (P, B), (P, O), (B, B) , (B, O)}



Observe que no podemos elegir (O, O) de la canasta ya que solo hay una naranja en la canasta. Además, dado que estamos recogiendo las frutas al mismo tiempo, (A, P) es lo mismo que (P, A). Por lo tanto, el resultado de elegir una manzana y una pera ocurre solo una vez en el espacio muestral.

Estrategias convenientes para determinar un espacio muestral

Hay estrategias que se pueden utilizar para evitar perder algunos de los posibles resultados al escribir el espacio muestral. En esta sección veremos gráficos (o tablas) y diagramas de árbol. 

Gráfico

Un gráfico se configura usando filas y columnas como una tabla. Por lo general, se usa para determinar el espacio muestral de un experimento que combina dos actividades. Observe el siguiente ejemplo.

Experimento 4: Lanzar dos dados simultáneamente

Este gráfico muestra correctamente los 36 resultados en este espacio muestral.

Diagrama de árbol

También podemos usar un diagrama de árbol para encontrar el espacio muestral de un experimento. Las ramas muestran combinaciones de resultados de actividades separadas que conforman un resultado. 

Experimento 5: Lanzar una moneda y lanzar un dado

De este diagrama podemos leer los 12 resultados posibles en el espacio muestral como:


S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}

Tenga en cuenta que el orden aquí no importa. No contamos, por ejemplo, H1 como un resultado diferente de 1H.

Determinación del número de resultados en un espacio muestral (sin enumerarlos)

En los experimentos 14 y 15, mapeamos los posibles resultados de las actividades únicas entre sí de forma individualizada. Como resultado, el número de resultados del experimento fue el producto del número de resultados de las dos actividades. Esta observación es útil cuando no es práctico escribir todos los elementos en un espacio muestral.

Ayudas ejemplo, lanzar una moneda tiene 2 elementos en su espacio muestral. Lanzar un dado tiene 6. Por lo tanto, el espacio muestral del experimento de lanzar simultáneamente una moneda y lanzar un dado consistió en:

2 × 6 = 12 posibles resultados.

Cuando el orden importa 

En el experimento 3 viste que cuando se toman simultáneamente dos frutas de una canasta, elegir una manzana y luego una pera era lo mismo que recolectar una pera y luego una manzana. 

¿Qué pasa si no recolectamos las frutas simultáneamente y el orden en que las recolectamos importa? En tal caso, tendríamos que contar tanto (A, P) como (P, A) como resultados separados. La cantidad de opciones con diferentes frutas ahora se duplicaría y nuestro nuevo espacio muestral se convertiría en: 

S = {(A, A), (A, P), (P, A), (A, B), (B, A), (A, O), (O, A), (P, P) , (P, B), (B, P), (P, O), (O, P), (B, B), (B, O), (O, B)}

Hay 15 resultados en este espacio muestral. Incluye el doble de resultados con diferentes frutos que el experimento original, más los tres resultados con los mismos dos frutos. 

Puede obtener más información sobre esto en nuestros artículos sobre permutaciones y combinaciones. 

Preguntas de práctica

Escriba el espacio muestral para cada uno de los siguientes experimentos.

  1. Elegir una computadora portátil de una tienda con 5 marcas diferentes (B1, B2, B3, B4, B5) con 3 sistemas operativos diferentes (OS1, OS2, OS3).
  2. Elegir una combinación de jeans azules o negros con una blusa amarilla, verde o blanca y una corbata a cuadros o a rayas.

 Â¿Cuántos elementos hay en los siguientes espacios muestrales?

  1. Lanzando 3 dice
  2. Seleccionar una carta de una baraja de cartas Y lanzar una moneda (suponga que hay 52 cartas en la baraja)
  3. Lanzar un dado, lanzar una moneda y seleccionar una carta de una baraja de 52 cartas
  4. Lanzar un solo dado dos veces (el orden importa)

Soluciones

  1. Elegir una computadora portátil de una tienda con 5 marcas diferentes (B1, B2, B3, B4, B5) con 3 sistemas operativos diferentes (OS1, OS2, OS3).

 Para esta solución, puede utilizar un diagrama de árbol o un gráfico para hacer coincidir cada marca con un sistema operativo para obtener el siguiente espacio de muestra que contiene 15 resultados:

S = {B1-OS1, B1-OS2, B1-OS3, B2-OS1, B2-OS2, B2-OS3, B3-OS1, B3-OS2, B3-OS3, B4-OS1, B4-OS2, B4-OS3 , B5-OS1, B5-OS2, B5-OS3}

 

  1. Elegir una combinación de jeans azules o negros con una blusa amarilla, verde o blanca y una corbata a cuadros o a rayas.

 Para esta solución, puede usar un diagrama de árbol para hacer coincidir los jeans con la parte superior y luego combinar esas combinaciones con los lazos para obtener este espacio de muestra que contiene 12 resultados:

S = {Azul-Amarillo-Plaid, Azul-Verde-Plaid, Azul-Blanco-Plaid, Azul-Amarillo-Rayas, Azul-Verde-Rayas, Azul-Rayas Blancas, Negro-Amarillo-Plaid, Negro-Verde-Plaid , Negro-Blanco-Cuadros, Negro-Rayas amarillas, Negro-Rayas verdes, Negro-Rayas blancas}

  1. Lanzando 3 dice

6 × 6 × 6 = 216.

  1. Seleccionar una carta de una baraja de cartas Y lanzar una moneda (suponga que hay 52 cartas en la baraja)

52 × 2 = 124

  1. Lanzar un dado, lanzar una moneda y seleccionar una carta de una baraja de 52 cartas

6 × 2 × 52 = 624.

6. Lanzar un solo dado dos veces (el orden importa)

Este puede verse como el caso de lanzar 2 dados. Vemos el dado 1 como el primer lanzamiento y el dado 2 como el segundo lanzamiento. Por lo tanto, como en el experimento 4, tenemos 36 resultados posibles. 



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