Estiramiento vertical: propiedades, gráficos y ejemplos

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Lluís Enric Mayans
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Estiramiento vertical: propiedades, gráficos y ejemplos

¿Alguna vez ha notado gráficos que se parecen, pero uno está más estirado verticalmente que el otro? Todo esto es gracias a la técnica de transformación que llamamos estiramiento vertical.

            El estiramiento vertical en un gráfico arrastrará el gráfico original hacia afuera en un factor de escala dado.

Cuando una función base se multiplica por un cierto factor, podemos graficar inmediatamente la nueva función aplicando el estiramiento vertical.



Antes de profundizar en esta técnica de transformación, es mejor revisar su conocimiento sobre los siguientes temas:

  • Comprender las funciones principales comunes que podríamos encontrar.
  • Refresque su conocimiento de las transformaciones verticales y horizontales.

No dude en hacer clic en los enlaces para actualizar sus conocimientos sobre estos temas esenciales. Ahora discutiremos la tercera técnica de transformación: estiramiento vertical.

¿Qué es un estiramiento vertical?

El estiramiento vertical ocurre cuando un el gráfico base se multiplica por un factor determinado que es mayor que 1. Esto da como resultado que el gráfico se extraiga hacia afuera pero que se conserven los valores de entrada (ox). Cuando una función se estira verticalmente, esperamos que los valores y de su gráfica estén más lejos del eje x.

El siguiente gráfico muestra el gráfico de f (x) y sus transformaciones. ¿Por qué no observamos cómo se transforma f (x) cuando multiplicamos los valores de salida por un factor de 3 y 6?


Cuando f (x) se multiplica por factores de escala de 3 y 6, su gráfico se estira por los mismos factores de escala. También podemos ver que sus valores de entrada (x para este caso) siguen siendo los mismos; solo los valores de y se vieron afectados cuando estiramos f (x) verticalmente.


¿Cómo generalizamos esta regla? Cuando tenemos | a | > 1, a · f (x) estirará la función base por un factor de escala de a. Los valores de entrada seguirán siendo los mismos, por lo que el gráfico los puntos de coordenadas ahora serán (x, ay).

Esto significa que si f (x) = 5x + 1 se estira verticalmente por un factor de 5, la nueva función será equivalente a 5 · f (x). Por tanto, la función resultante es 5 (5x + 1) = 25 veces + 5.

¿Cómo estirar verticalmente una función?

Cuando se nos da el gráfico de una función, podemos estirarla verticalmente tirando de la curva hacia afuera según el factor de escala dado. Aquí hay algunas cosas para recordar cuando estiramos funciones verticalmente:

  • Asegúrese de que los valores de x sigan siendo los mismos, por lo que la base de la curva no cambiará.
  • Esto significa que al aplicar estiramientos verticales en un gráfico base, su las intersecciones x seguirán siendo las mismas.
  • Toma nota de los nuevos puntos críticos, como el nuevo punto máximo del gráfico.

¿Por qué no intentamos estirar verticalmente la función y = √x por un factor de 2?


Hemos incluido algunos puntos de guía que destacan cómo también cambian cuando graficamos la nueva función y = 2√x. ¿Qué esperamos del nuevo gráfico?


Aún comenzará en el origen, las coordenadas y aumentarán en un factor de 2 y el gráfico se extenderá en un factor de 2.

La gráfica de arriba muestra cómo podemos estirar verticalmente la gráfica de y = √x por un factor de 2 para graficar y = 2√x también.


Podemos aplicar el mismo proceso al estirar verticalmente diferentes tipos de funciones y gráficos. Antes de probar otros ejemplos, ¿por qué no resumimos lo que hemos aprendido hasta ahora sobre el estiramiento vertical?

Resumen de la definición y propiedades del estiramiento vertical

Ahora hemos aprendido sobre el efecto de escalar una función por un factor positivo, a. A continuación, se muestran algunos consejos importantes para recordar cuando se trata de tramos verticales en gráficos:

  • Un estiramiento vertical ocurre solo cuando el factor de escala es mayor que 1.
  • Asegúrate de multiplicar las coordenadas y por el mismo factor de escala.
  • Conserva la posición de las intersecciones con el eje x.
  • La función estirada verticalmente tendrá el mismo dominio y un nuevo rango.

Tengamos en cuenta estos útiles recordatorios cuando resolvamos las preguntas que siguen a esta sección. ¿Listo? ¡Comencemos a aplicar esta técnica de transformación!


ejemplo 1

La función, g (x), se obtiene estirando verticalmente f (x) = x2 + 1 por un factor de escala de 3. ¿Cuál de las siguientes es la expresión correcta para g (x)?

  1.   g (x) = 3x2 + 1
  2. g (x) = x2 + 3
  3. g (x) = 3x2 + 3
  4. g (x) = 3 (x + 1) 2

Solución

 Cuando estiramos una función verticalmente, multiplicamos la función base por su factor de escala. Por tanto, tenemos g (x) = 3 · f (x). Asegurémonos de distribuir 3 a cada uno de los términos en f (x).

g (x) = 3 (x2 + 1)

= 3x2 + 3

Esto significa que la expresión correcta para g (x) es 3x2 + 3.

ejemplo 2

La tabla de valores de f (x) se muestra a continuación. Si g (x) = 4 · f (x), construya una tabla de valores para la función g (x).

Solución

Dado que g (x) = 4· F (x), la función g (x) se estira verticalmente por un factor de escala de 4. ¿Qué significa esto para su tabla de valores? 9 =

Multiplicamos cada valor de f (x) por 4 para encontrar los valores de salida de g (x). Tenga en cuenta que los valores de las coordenadas x seguirán siendo los mismos.

ejemplo 3

Complete los espacios en blanco para que las siguientes afirmaciones sean verdaderas, dado que f (x) = | x |.

  1.   Si g (x) = 4 | x |, la función g (x) se estira verticalmente por un factor de escala de ________.
  2. Si la gráfica de f (x) se estira verticalmente por un factor de 2 para obtener h (x), entonces h (x) = ___ ∙ f (x).
  3. Si la gráfica de f (x) se estira verticalmente por un factor de 3, la expresión para h (x) es ________.

Solución

  • Comparando g (x) y f (x), tenemos g (x) = 4 ∙ f (x). Esto significa que la función g (x) es estirado verticalmente por un factor de 4.
  • Estirar f (x) verticalmente por un factor de 2 resultará en que h (x) sea igual a 2 por f (x).
  • Estirar f (x) verticalmente por un factor de 3 resultará en que h (x) sea igual a 3 veces f (x). Por eso, h (x) = 3 | x |.

ejemplo 4

Observe las dos funciones que se muestran a continuación y relacione h (x) con g (x).

Solución

Solo mediante inspección, podemos ver que h (x) resulta de estirar verticalmente g (x). Para encontrar el factor por el cual h (x) se estiró, inspeccionemos algunos valores correspondientes para g (x) → h (x).

  • (0, 0) → (0, 0)
  • (1, 1) → (1, 3)
  • (2, 4) → (1, 12)

Podemos ver que la coordenada y de h (x) es tres veces la de g (x) para cada par de puntos. Esto significa que h (x) = 3 ∙ g (x), so h (x) es el resultado de que g (x) se estire verticalmente por un factor de escala de 3.

ejemplo 5

La función, A (x), modela la distancia (en km) recorrida por el automóvil A durante un período de tiempo (en horas).

Jack quería comparar este modelo con B (x), cuyo movimiento sigue el mismo patrón, pero el automóvil que se observa puede cubrir dos veces la distancia desde A (x). Usa la gráfica de A (x) para dibujar la gráfica de B (x).

Solución

Dado que B (x) = 2 ∙ A (x), estiramos verticalmente la gráfica de A (x) en un factor de escala de 2.

Para hacer esto, podemos tomar nota de algunos puntos del gráfico y encontrar sus valores correspondientes para B (x). Para encontrar los nuevos pares ordenados, multipliquemos cada coordenada y por 2.

Podemos conectar estos puntos para formar B (x). Tenga en cuenta que la forma de A (x) y su base deben permanecer iguales.

Por lo tanto, tenemos la gráfica final para B (x), como se muestra arriba.

ejemplo 6

Observe las dos funciones que se muestran a continuación y relacione h (x) con g (x). ¿Cuál es la expresión de h (x)?

Solución

Podemos ver que h (x) es el resultado de que g (x) se estira verticalmente por un cierto factor de escala. Sigamos adelante e inspeccionemos algunos de los puntos correspondientes.

  • (-3, 3) → (-3, 9)
  • (-1, 1) → (-1, 3)
  • (0, 0) → (0, 0)
  • (1, 1) → (1, 3)
  • (3, 3) → (3, 9)

A partir de esto, podemos ver que cuando g (x) se estira verticalmente por un factor de escala de 3, la gráfica resultante será la de h (x). Por eso, tenemos h (x) = 3 ∙ g (x).

La función g (x) representa la función madre de todas las funciones de valor absoluto. Esto significa que g (x) = | x |. Para encontrar la expresión de h (x), multiplicamos la expresión de g (x) por 3. Por lo tanto, tenemos h (x) = 3 | x |.

ejemplo 7

Encuentre las transformaciones realizadas en f (x) para obtener h (x).

  1. f (x) = x2 → h (x) = 3x2 + 24x + 48
  2. f (x) = √x → h (x) = 2√ (x + 2)
  3. f (x) = ex → h (x) = 5 (ex - 2) - 1

Solución

  • Intentemos factorizar la expresión para h (x) primero para ver si podemos encontrar las transformaciones aplicadas en f (x). Comience factorizando h (x):
    • h (x) = 3 (x2 + 8x + 16) = 3 (x + 4) 2 = 3 ∙ f (x + 4)
    • De esta forma factorizada, podemos ver que h (x) es el resultado cuando f (x) es trasladado 4 unidades a la izquierda y estirado verticalmente por 3.
  • Tome nota del factor multiplicado por √x y la unidad restada del valor de entrada.
    • Esto resulta en h (x) = 2 ∙ f (x + 2).
    • Por tanto, f (x) tiene que ser trasladado 2 unidades a la izquierda y estirado verticalmente en 2.
  • Observemos la diferencia entre ex y h (x).
    • h (x) = 5 ∙ ex - 2 -1 , por lo tanto, tenemos h (x) = 5 ∙ f (x - 2) - 1.
    • Esto significa que f (x) es trasladado 2 unidades a la derecha, estirado verticalmente en 5 y trasladado una unidad hacia abajo.

ejemplo 8

¿Cuáles son las transformaciones hechas en f (x) para que resulte en h (x) = 2x2 - 4x + 2? Utilice la gráfica de f (x) que se muestra a continuación como guía. Aplica las transformaciones a la gráfica h (x).

Solución

Intentemos factorizar la expresión para h (x) primero para ver si podemos encontrar las transformaciones aplicadas en f (x).

Comience factorizando el factor común compartido por los tres términos.

2x2 - 4x + 2 = 2 (x2 - 2x + 1)

Factorizar la expresión usando (a - b) 2 = a2 - 2ab + b2.

2 (x2 - 2x + 1) = 2 (x - 1) 2

Por tanto, tenemos h (x) = 2 (x - 1) 2. Desde este formulario, podemos ver lo siguiente:

  • De (x - 1) 2, podemos ver que f (x) se tradujo una unidad a la derecha.
  • El gráfico resultante fue entonces estirado verticalmente por un factor de 2.

Usemos estas transformaciones y la gráfica de f (x) para representar h (x). Entonces, comience traduciendo la función padre y = x2 una unidad a la derecha.

Ahora, estiremos el gráfico verticalmente en un factor de escala de dos.

Saquemos la función de referencia y devolvamos la gráfica final de h (x).

Este ejemplo muestra cómo las transformaciones pueden ahorrar tiempo al graficar familias de funciones.

Preguntas de práctica

1. La función, g (x), se obtiene estirando verticalmente f (x) = 3x3 + 2 por un factor de escala de 4. ¿Cuál de las siguientes es la expresión correcta para g (x)?
una. g (x) = 3x3 + 8
B. g (x) = 3x3 + 6
C. g (x) = 12x3 + 2
D. g (x) = 12x3 + 8

2. La tabla de valores de f (x) se muestra a continuación. Si g (x) = 3 · f (x), construya una tabla de valores para la función g (x).

3. Complete los espacios en blanco para que las siguientes afirmaciones sean verdaderas, dado que f (x) = √x.
una. Si g (x) = 5√x, la función g (x) se estira verticalmente por un factor de escala de ________.
B. Si la gráfica de f (x) se estira verticalmente por un factor de 4 para obtener h (x), entonces h (x) = ___ ∙ f (x).
C. Si la gráfica de f (x) se estira verticalmente por un factor de 2, la expresión para h (x) es ________.

4. Observe las dos funciones que se muestran a continuación y relacione h (x) con g (x). Si g (x) = √ (4 - x2), ¿cuál es la expresión para h (x)?

5. La función, A (x), modela la distancia (en km) recorrida por el automóvil A a lo largo del tiempo (en horas).

Mary quería comparar este modelo con B (x), cuyo movimiento sigue el mismo patrón, pero el automóvil que se observa puede cubrir tres veces la distancia desde A (x). Usa la gráfica de A (x) para dibujar la gráfica de B (x).

6. ¿Cuáles son las transformaciones hechas en f (x) para que resulte en h (x) = 5x + 6? Utilice el hecho de que f (x) es la función madre de todas las funciones lineales. Aplica las transformaciones a la gráfica h (x).

7. Encuentre las transformaciones realizadas para cada par de funciones y grafique h (x) para cada caso.

    una. g (x) = x2 → h (x) = 5x2 - 20x + 20

B. g (x) = √x → h (x) = 3√ (x - 1)

c. g (x) = 2x → h (x) = 3 (2x - 2) + 6

Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.



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