EUCLID OF ALEXANDRIA - El padre de la geometría

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Judit Llordes
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EUCLID OF ALEXANDRIA - El padre de la geometría

Quien es euclid

El matemático griego Euclides vivió y floreció en Alejandría en Egipto alrededor del año 300 a. C., durante el reinado de Ptolomeo I.Casi nada se sabe de su vida, y ninguna semejanza o descripción de primera mano de su apariencia física ha sobrevivido a la antigüedad, por lo que las representaciones de él (con una barba larga y suelta y un gorro de tela) en las obras de arte son necesariamente productos de la imaginación del artista.



Probablemente estudió durante un tiempo en la Academia de Platón en Atenas pero, en la época de Euclides, Alejandría, bajo el patrocinio de los Ptolomeos y con su prestigiosa y completa Biblioteca, ya se había convertido en un digno rival de la gran Academia.

Euclides a menudo se conoce como el "Padre de la geometría”, Y escribió quizás el libro de texto matemático más importante y exitoso de todos los tiempos, el“Stoicheion"O"Elementos”, Que representa la culminación de la revolución matemática que había tenido lugar en Grecia hasta ese momento. También escribió trabajos sobre la división de figuras geométricas en partes en proporciones dadas, sobre catóptricos (la teoría matemática de los espejos y la reflexión) y sobre astronomía esférica (la determinación de la ubicación de los objetos en la "esfera celeste"), como así como importantes textos sobre óptica y música.


Los elementos" fue una compilación y explicación lúcida y completa de todas las matemáticas conocidas de su tiempo, incluida la obra de Pitágoras, Hipócrates, Teudio, Teteto y Eudoxo. En total, contiene 465 teoremas y demostraciones, descritos en un estilo claro, lógico y elegante, y usando solo una brújula y una regla. Euclides reelaboró ​​los conceptos matemáticos de sus predecesores en un todo coherente, que más tarde se conocería como geometría euclidiana, que sigue siendo tan válida hoy como hace 2,300 años, incluso en las matemáticas superiores que tratan con espacios de dimensiones superiores. Fue solo con el trabajo de Bolyai, Lobachevski y Riemann en la primera mitad del siglo XIX que se consideró incluso cualquier tipo de geometría no euclidiana.


Los "Elementos" siguieron siendo el libro de texto definitivo sobre geometría y matemáticas durante más de dos milenios, sobreviviendo al eclipse en el aprendizaje clásico en Europa durante la Edad Media a través de traducciones al árabe. Estableció, para siempre, el modelo para la argumentación matemática, siguiendo deducciones lógicas de supuestos iniciales (que Euclides denominó “axiomas” y “postulados”) para establecer teoremas probados.

Los cinco axiomas generales de Euclides fueron:

  1. Las cosas que son iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
  2. Si se suman iguales a iguales, los totales (sumas) son iguales.
  3. Si se restan iguales de iguales, los restos (diferencias) son iguales.
  4. Las cosas que coinciden son iguales entre sí.
  5. El todo es más grande que la parte.

Sus cinco postulados geométricos fueron:

  1. Es posible trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto.
  2. Es posible extender una línea recta finita continuamente en una línea recta (es decir, un segmento de línea puede extenderse más allá de cualquiera de sus extremos para formar un segmento de línea arbitrariamente grande).
  3. Es posible crear un círculo con cualquier centro y distancia (radio).
  4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí (es decir, "la mitad" de un ángulo recto).
  5. Si una línea recta que cruza dos líneas rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se producen indefinidamente, se encuentran en el lado en el que los ángulos son menores que los dos ángulos rectos.

Entre muchas otras gemas matemáticas, los trece volúmenes de los "Elementos" contienen fórmulas para calcular los volúmenes de sólidos como conos, pirámides y cilindros; pruebas sobre series geométricas, números perfectos y primos; algoritmos para encontrar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números; una prueba y generalización del Teorema de Pitágoras, y una prueba de que hay un número infinito de Triples de Pitágoras; y una prueba definitiva definitiva de que sólo puede haber cinco posibles sólidos platónicos regulares.



Sin embargo, los "Elementos" también incluyen una serie de teoremas sobre las propiedades de los números y los enteros, que marcan los primeros comienzos reales de la teoría de números. Por ejemplo, Euclides demostró lo que se conoce como el Teorema fundamental de la aritmética (o el Teorema de factorización único), que todo entero positivo mayor que 1 puede escribirse como un producto de números primos (o es en sí mismo un número primo). Así, por ejemplo: 21 = 3 x 7; 113 = 1 x 113; 1,200 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5; 6,936 = 2 x 2 x 2 x 3 x 17 x 17; etc. Su prueba fue el primer ejemplo conocido de una prueba por contradicción (donde cualquier contraejemplo, que de otro modo probaría una idea falsa, no tiene sentido lógico en sí mismo).

Fue el primero en darse cuenta, y demostrar, que hay una infinidad de números primos. La base de su demostración, a menudo conocida como Teorema de Euclides, es que, para cualquier conjunto de números primos (finito) dado, si los multiplica todos y luego agrega uno, entonces se ha agregado un nuevo primo al conjunto (por ejemplo , 2 x 3 x 5 = 30, y 30 + 1 = 31, un número primo) un proceso que puede repetirse indefinidamente.


Euclides también identificó los primeros cuatro "números perfectos", números que son la suma de todos sus divisores (excluyendo el número en sí):
6 = 1 + 2 + 3;
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14;
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248; y
8,128 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1,016 + 2,032 + 4,064.
Señaló que estos números también tienen muchas otras propiedades interesantes. Por ejemplo:


  • Son números triangulares y, por lo tanto, la suma de todos los números consecutivos hasta su factor primo más grande: 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7; 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +…. + 30 + 31; 8,128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + 126 + 127.
  • Su factor primo más grande es una potencia de 2 menos uno, y el número es siempre un producto de este número por la potencia anterior de dos: 6 = 21 (22 - 1); 28 = 22 (23 - 1); 496 = 24 (25 - 1); 8,128 = 26 (27 - 1).

Aunque los pitagóricos pudieron haber sido conscientes de la Proporción Áurea (φ, aproximadamente igual a 1.618), Euclides fue el primero en definirla en términos de proporciones (AB: AC = AC: CB) y demostró su apariencia dentro de muchas formas geométricas.



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