El método de factorización prima se usa para "descomponer”O expresar un número dado como producto de números primos. Más aún, si un número primo aparece más de una vez en la factorización, generalmente se expresa en forma exponencial para que parezca más compacto.
De lo contrario, tendremos una larga lista de números primos que se multiplicarán. En esta lección, he preparado ocho (8) ejemplos prácticos para explicar el proceso de factorización utilizando números primos.
Nota: Cuando menciono "números" aquí, quiero decir enteros positivos.
Definición de un número primo y ejemplos y no ejemplos de números primos
Comencemos definiendo primero qué es un número primo. Estudie cuidadosamente tanto los ejemplos como los contraejemplos de números primos.
¿Qué es un número primo?
Un número primo p es un número entero mayor que 1 que solo es divisible por 1 y por sí mismo. Otra forma de decirlo, un número primo tiene exactamente dos factores, a saber: 1 y sí mismo.
Ejemplos de números primos:
- El número 2 es un número primo porque es divisible solo por 1 y 2 (él mismo)
- El número 17 es un número primo porque tiene exactamente dos factores que son 1 y 17 (él mismo)
- El número 31 es un número primo porque solo se puede dividir entre dos números, a saber, 1 y 31 (él mismo)
Ejemplos de números que no son primos:
- El número 10 no es un número primo porque es divisible por 1, 5 y 10 (él mismo), por lo tanto, tiene más de dos factores
- El número 27 no es un número primo porque es divisible por más de dos factores distintos de 1 y en sí mismo que incluye 3 y 9
- El número 49 no es un número primo porque también se puede dividir por 7 que no sea 1 y 49 (él mismo), por lo que tiene más de dos factores
Ahora, explicaré los pasos generales involucrados en la factorización prima de un entero positivo dado.
Cómo realizar la factorización prima
Paso 1:: Enumere al menos los primeros números primos en orden creciente. Me detendré en 19 porque es lo suficientemente grande para los números de este tutorial que factorizaremos.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 …
Paso 2:: Para cualquier número dado, prueba si es divisible por el número primo más pequeño que es 2. Si el número primo 2 divide el número dado de manera uniforme, entonces exprésalo como factores:
Paso 3:: Verifique nuevamente si el otro número que sale es divisible por 2. Si lo es, continúe hasta que el nuevo número ya no sea divisible por 2. Aquí pueden suceder dos cosas:
- Después de la división repetida de 2, terminas obteniendo un número primo. Continúe con el paso final. ¡Ya casi terminas!
- Después de la división repetida de 2, terminas teniendo un número compuesto (no primo) pero no se puede dividir por 2. Pasa al paso 4.
Paso 4:: Pase a los siguientes números primos más grandes, como 3, 5, 7, etc., según sea necesario para verificar si el número que dejamos en el paso anterior se puede dividir uniformemente más. Este proceso repetitivo de dividir por números primos en orden creciente finalmente nos dará el último factor primo.
Último paso: En este punto, deberíamos tener una lista larga de números primos que se multiplican juntos. Solo necesitamos presentar nuestra respuesta final como un producto de expresiones exponenciales con bases primarias. ¡Eso es! Un ejemplo rápido puede verse así ...
El exponente de cada número primo indica cuántas veces ese primo aparece como factores.
Ejemplos de cómo realizar la factorización prima utilizando el árbol de factores primos y la división al revés
Ejemplo 1: Encuentra la factorización prima de 40 y expresarlo en notación exponencial.
Empiezo por enumerar los primeros números primos en orden creciente. El objetivo es seguir dividiendo el número dado por un número primo apropiado comenzando desde el más bajo hasta que el último cociente también se convierta en primo.
Hay dos formas comunes de realizar la factorización prima. El primero se llama Árbol de factores primos, y el segundo se conoce como el División al revés. Con esto, también te mostraré dos formas de factorizar el número 40 en factores primos.
Árbol de factores primos
- Empiece por dividir el número dado por el primo más pequeño que es 2.
- Los factores del número anterior se dividen en "ramas" como lo indican los segmentos de línea.
- Podemos dividir 40 y su cociente por el número primo 2 tres veces, lo que significa que este número primo tendrá un exponente de 3 en la factorización.
- El último cociente después de la división repetida de 2 es un número primo que es 5.
- Al llegar a un número primo como su último cociente en el proceso, ¡esto muestra que hemos terminado!
División al revés
- Ahora sabes por qué se llama División al revés porque el símbolo de división está literalmente al revés.
- Empiezo a dividir el número dado por el número primo más pequeño, que es 2. Si ese número primo divide uniformemente el número, coloco el cociente debajo. Continúe el proceso según sea necesario.
- Observe que podemos realizar la división repetida del número primo 2, hasta llegar al número primo 5 como su cociente final de números enteros (el más abajo).
- Presente la factorización final como un producto de números exponenciales que tienen una base de números primos en la notación exponencial.
Ejemplo 2: Encuentra la factorización prima de 32 y expresarlo en notación exponencial.
Este es un número par y, por lo tanto, divisible por el número primo 2. Entonces, sin dudarlo, empiezo a usarlo como el divisor inicial de elección.
Árbol de factores primos
- Empiece por dividir el número dado por el primo más pequeño que es 2.
- Los factores del número anterior se dividen en "ramas" como lo indican los segmentos de línea.
- Después de la división repetida de 2, también llegamos al factor final de 2. ¡Esto está hecho!
- Dado que el número primo 2 aparece cinco veces como factores, la respuesta final será 32 = {2 ^ 5}.
División al revés
- Empiezo a dividir el número dado por el número primo más pequeño, que es 2. Si ese número primo divide uniformemente el número, coloco el cociente debajo. Continúe el proceso según sea necesario.
- ¡Esto es genial! Solo usamos un número primo para resolver esto hasta el final.
- El número primo 2 aparece cinco veces como factores. Por tanto, nuestra respuesta es simplemente 32 = {2 ^ 5}.
Ejemplo 3: Encuentra la factorización prima de 147 y expresarlo en notación exponencial.
Primero reconozco que 147 es un número impar, por lo tanto, no es divisible por 2. Pasar al siguiente número primo más grande, que en el caso 3.
No estoy seguro de si se ha encontrado con la regla de divisibilidad "agradable" para el número 3. Establece que si la suma de los dígitos de un número es divisible por 3, entonces el número original también es divisible por 3.
Tenemos 147, la suma de sus dígitos es 147 = 1 + 4 + 7 = 12 que es divisible por 3. Esto implica que 147 también debe ser divisible por 3.
No es necesario que muestre cada vez la factorización prima de un número utilizando los dos métodos. Simplemente elija el que le resulte más fácil o conveniente. Para este ejercicio, utilizaré el método del árbol de factores.
Árbol de factores primos
- Dado que el número primo 2 no puede dividir 147 de manera uniforme, verifique el siguiente primo más grande, que es 3. ¡Sí! Esto debería funcionar.
- Después de dividir 147 entre 3, obtengo 49, que obviamente es un cuadrado perfecto ya que 49 = {7 ^ 2}
- El siguiente número primo lógico para usar como divisor es 7.
Ejemplo 4: Encuentra la factorización prima de 540 y expresarlo en notación exponencial.
Sabemos que cualquier número par siempre es divisible por 2. Así que empezaría a dividir 540 por el número primo 2. Permítanme usar la división al revés para factorizar este número en factores primos.
División al revés
- El número dado 540 es par, por lo que 2 lo pueden dividir. Aquí, realizamos dos divisiones sucesivas utilizando el número primo 2 como divisor.
- Llegamos a 135 como el factor parcial que es divisible por el siguiente primo mayor, es decir, ¡3!
- Haz una división repetida entre 3 y deberías terminar con el último factor de 5, que es un número primo. ¡Eso es! Simplemente recopile los números primos distintos y asigne potencias o exponentes apropiados para presentar su respuesta final.
Ejemplo 5: Encuentra la factorización prima de 945 y expresarlo en notación exponencial.
También puede hacer la factorización prima de la forma más sencilla, es decir, factorizar el número horizontalmente y hacia abajo de la línea. Solo asegúrese de comenzar siempre con el número primo más bajo y vaya al siguiente más grande según sea necesario para desglosarlo hasta que termine con el factor primo final. Algunos libros de texto lo hacen de esta manera para ahorrar espacio. Es bueno agregar este método a su “caja de herramientas” matemática.
Solución:
Tiene cinco factores primos donde tres (3) de ellos son distinto, a saber: 3, 5 y 7.
Ejemplo 6: Encuentra la factorización prima de 1320 y expresarlo en notación exponencial.
Solución:
Ejemplo 7: Encuentra la factorización prima de 2025 y expresarlo en notación exponencial.
SUGERENCIA: El número dado es impar, por lo que el número primo 2 no puede dividirlo uniformemente. Empiece con 3.
Solución:
Ejemplo 8: Encuentra la factorización prima de 432 y expresarlo en notación exponencial.
NOTA: Usé un método ligeramente diferente aquí. Yo lo llamo "El compuesto permanece adentro, Prime permanece afuera“. Me refiero al paréntesis en referencia a dónde permanece el número compuesto o primo.
Solución:
El objetivo es mantener los números primos factorizados fuera del paréntesis mientras se obliga a los números compuestos a permanecer dentro. ¡Al final, deberíamos tener todos los números primos y los paréntesis desaparecerán!
Practica con hojas de trabajo
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