close
    search Buscar

    Factorizar ecuaciones cuadráticas: métodos y ejemplos

    Quien soy
    Aina Prat
    @ainaprat

    Valoración del artículo:

    Advertencia de contenido


    Factorizar ecuaciones cuadráticas: métodos y ejemplos

    ¿Tiene alguna idea sobre el factorización de polinomios? Dado que ahora tiene información básica sobre polinomios, aprenderemos cómo resolver polinomios cuadráticos por factorización.



    Primero que nada, tomemos un revisión rápida de la ecuación cuadrática. Una ecuación cuadrática es un polinomio de segundo grado, generalmente en la forma de f (x) = ax2 + bx + c donde a, b, c, ∈ R y a ≠ 0. El término 'a' se conoce como el coeficiente principal, mientras que 'c' es el término absoluto de f (x).


    Cada ecuación cuadrática tiene dos valores de la variable desconocida, generalmente conocido como las raíces de la ecuación (α, β). Podemos obtener las raíces de una ecuación cuadrática factorizando la ecuación.

    Por esta razón, la factorización es un paso fundamental hacia la resolución de cualquier ecuación en matemáticas. Vamos a averiguar.

    ¿Cómo factorizar una ecuación cuadrática?

    Factorizar una ecuación cuadrática se puede definir como el proceso de descomponer la ecuación en el producto de sus factores. En otras palabras, también podemos decir que la factorización es lo contrario de multiplicar.

    Para resolver la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 por factorización, el se utilizan los siguientes pasos:

    • Expande la expresión y borra todas las fracciones si es necesario.
    • Mover todos los términos al lado izquierdo del signo igual.
    • Factoriza la ecuación desglosando el término medio.
    • Iguale cada factor a cero y resuelva las ecuaciones lineales

    ejemplo 1


    Resolver: 2 (x 2 + 1) = 5x

    Solución

    Expande la ecuación y mueve todos los términos a la izquierda del signo igual.

    ⟹ 2x 2 - 5x + 2 = 0

    ⟹ 2x 2 - 4x - x + 2 = 0

    ⟹ 2x (x - 2) - 1 (x - 2) = 0

    ⟹ (x - 2) (2x - 1) = 0

    Iguala cada factor a cero y resuelve

    ⟹ x - 2 = 0 o 2x - 1 = 0

    ⟹ x = 2 o x = 1212

    Por lo tanto, las soluciones son x = 2, 1/2.


    ejemplo 2

    Resolver 3x 2 - 8x - 3 = 0

    Solución

    3x 2 - 9x + x - 3 = 0

    ⟹ 3x (x - 3) + 1 (x - 3) = 0

    ⟹ (x - 3) (3x + 1) = 0

    ⟹ x = 3 o x = -13

    ejemplo 3

    Resuelve la siguiente ecuación cuadrática (2x - 3) 2 = 25

    Solución

    Expanda la ecuación (2x - 3) 2 = 25 para obtener;

    ⟹ 4x 2 - 12x + 9 - 25 = 0

    ⟹ 4x 2 - 12x - 16 = 0

    Divida cada término por 4 para obtener;

    ⟹ x 2 - 3x - 4 = 0

    ⟹ (x - 4) (x + 1) = 0


    ⟹ x = 4 o x = -1

    Hay muchos métodos para factorizar ecuaciones cuadráticas. En este artículo, nuestro énfasis se basará en cómo factorizar ecuaciones cuadráticas, en las que el coeficiente de x2 es 1 o mayor que 1.

    Por lo tanto, usaremos el método de prueba y error para obtener los factores correctos para la ecuación cuadrática dada.

    Factorizar cuando el coeficiente de x 2 es 1

    Para factorizar una ecuación cuadrática de la forma x 2 + bx + c, el coeficiente principal es 1. Necesitas identificar dos números cuyo producto y suma sean c y b, respectivamente.

    CASO 1: Cuando byc son ambos positivos

    ejemplo 4

    Resuelve la ecuación cuadrática: x2 + 7x + 10 = 0

    Enumere los factores de 10:

    1 × 10, 2 × 5


    Identifica dos factores con un producto de 10 y una suma de 7:

    1 + 10 ≠ 7
    2 + 5 = 7.

    Verifica los factores usando la propiedad distributiva de la multiplicación.

    (x + 2) (x + 5) = x2 + 5x + 2x + 10 = x2 + 7x + 10

    Los factores de la ecuación cuadrática son: (x + 2) (x + 5)

    Al equiparar cada factor con cero se obtiene;

    x + 2 = 0 ⟹x = -2

    x + 5 = 0 ⟹ x = -5

    Por lo tanto, la solución es x = - 2, x = - 5


    ejemplo 5

    x 2 + 10x + 25.

    Solución

    Identifica dos factores con el producto de 25 y la suma de 10.

    5 × 5 = 25 y 5 + 5 = 10

    Verifique los factores.

    x 2 + 10x + 25 = x 2 + 5x + 5x + 25

    = x (x + 5) + 5x + 25

    = x (x + 5) + 5 (x + 5)

    = (x + 5) (x + 5)

    Por lo tanto, x = -5 es la respuesta.

    CASO 2: Cuando b es positivo y c es negativo

    ejemplo 6

    Resolver x2 + 4x - 5 = 0

    Solución

    Escribe los factores de -5.

    1 × –5, –1 × 5

    Identifica los factores cuyo producto es - 5 y la suma es 4.

    1 - 5 ≠ 4
    –1 + 5 = 4

    Verifica los factores usando la propiedad distributiva.

    (x - 1) (x + 5) = x2 + 5x - x - 5 = x2 + 4x - 5
    (x - 1) (x + 5) = 0

    x - 1 = 0 ⇒ x = 1, o
    x + 5 = 0 ⇒ x = -5

    Por lo tanto, x = 1, x = -5 son las soluciones.

    CASO 3: Cuando byc son ambos negativos

    ejemplo 7

    x2 - 5x - 6

    Solución

    Anote los factores de - 6:

    1 × -6, -1 × 6, 2 × -3, -2 × 3

    Ahora identifique los factores cuyo producto es -6 y la suma es -5:

    1 + (-6) = -5

    Verifica los factores usando la propiedad distributiva.

    (x + 1) (x - 6) = x2 - 6 x + x - 6 = x2 - 5x - 6

    Iguala cada factor a cero y resuelve para obtener;
    (x + 1) (x - 6) = 0

    x + 1 = 0 ⇒ x = -1, o
    x - 6 = 0 ⇒ x = 6

    Por lo tanto, la solución es x = 6, x = -1

    CASO 4: Cuando b es negativo y c es positivo

    ejemplo 8

    x2 - 6x + 8 = 0

    Solución

    Anote todos los factores de 8.

    -1 x -8, -2 x -4

    Identificar factores cuyo producto es 8 y suma -6
    –1 + (–8) ≠ –6
    –2 + (–4) = –6

    Verifica los factores usando la propiedad distributiva.

    (x - 2) (x - 4) = x2 - 4 x - 2x + 8 = x2 - 6x + 8

    Ahora iguale cada factor a cero y resuelva la expresión para obtener;

    (x - 2) (x - 4) = 0

    x - 2 = 0 ⇒ x = 2, o
    x - 4 = 0 ⇒ x = 4

    ejemplo 9

    Factoriza x2 + 8x + 12.

    Solución

    Anote los factores de 12;

    12 = 2 × 6 o = 4 × 3
    Encuentra factores cuya suma sea 8:

    2 + = 6 8
    2 × 6 ≠ 8

    Utilice la propiedad distributiva para verificar los factores;

    = x2 + 6x + 2x + 12 = (x2 + 6x) + (2x + 12) = x (x + 6) +2 (x + 6)

    = x (x + 6) +2 (x + 6) = (x + 6) (x + 2)

    Iguale cada factor a cero para obtener;

    (x + 6) (x + 2)

    x = -6, -2

    Factorizar cuando el coeficiente de x 2 es mayor que 1

    A veces, el coeficiente principal de una ecuación cuadrática puede ser mayor que 1. En este caso, no podemos resolver la ecuación cuadrática mediante el uso de factores comunes.

    Por lo tanto, necesitamos considerar el coeficiente de x2 y los factores de c para encontrar números cuya suma sea b.

    ejemplo 10

    Resolver 2x2 - 14x + 20 = 0

    Solución

    Determina los factores comunes de la ecuación.

    2x2 - 14x + 20 ⇒ 2 (x2 - 7x + 10)

    Ahora podemos encontrar los factores de (x2 - 7x + 10). Por lo tanto, anote los factores de 10:

    –1 × –10, –2 × –5

    Identifica los factores cuya suma es - 7:

    1 + (-10) ≠ -7
    –2 + (–5) = –7

    Verifique los factores aplicando la propiedad distributiva.

    2 (x - 2) (x - 5) = 2 (x2 - 5 x - 2x + 10)
    = 2 (x2 - 7x + 10) = 2x2 - 14x + 20

    Iguala cada factor a cero y resuelve;
    2 (x - 2) (x - 5) = 0

    x - 2 = 0 ⇒ x = 2, o
    x - 5 = 0 ⇒ x = 5

    ejemplo 11

    Resolver 7x2 + 18x + 11 = 0

    Solución

    Escribe los factores de 7 y 11.

    7 = 1 x 7

    11 = 1 x 11

    Aplique la propiedad distributiva para verificar los factores como se muestra a continuación:

    (7x + 1) (x + 11) ≠ 7x2 + 18x + 11

    (7x + 11) (x + 1) = 7x2 + 7x + 11x + 11 = 7x2 + 18x + 11

    Ahora equipare cada factor a cero y resuelva para obtener;

    7x2 + 18x + 11 = 0
    (7x + 11) (x + 1) = 0

    x = -1, -11/7

    ejemplo 12

    Resolver 2x2 - 7x + 6 = 3

    Solución

    2x2 - 7x + 3 = 0

    (2x - 1) (x - 3) = 0

    x = 1/2 o x = 3

    ejemplo 13

    Resolver 9x 2 + 6x + 1 = 0

    Solución

    Factorizar para dar:

    (3x + 1) (3x + 1) = 0

    (3x + 1) = 0,

    Por lo tanto, x = −1 / 3

    ejemplo 14

    Factorizar 6x2– 7x + 2 = 0

    Solución

    6x2 - 4x - 3x + 2 = 0

    Factoriza la expresión;

    ⟹ 2x (3x - 2) - 1 (3x - 2) = 0

    ⟹ (3x - 2) (2x - 1) = 0

    ⟹ 3x - 2 = 0 o 2x - 1 = 0

    ⟹ 3x = 2 o 2x = 1

    ⟹ x = 2/3 o x = ½

    ejemplo 15

    Factorizar x2 + (4 - 3y) x - 12y = 0

    Solución

    Expande la ecuación;

    x2 + 4x - 3xy - 12y = 0

    Factorizar;

    ⟹ x (x + 4) - 3y (x + 4) = 0

    x + 4) (x - 3y) = 0

    ⟹ x + 4 = 0 o x - 3y = 0

    ⟹ x = -4 o x = 3y

    Por lo tanto, x = -4 o x = 3y

    Preguntas de práctica

    Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización:

    1. 3x 2–20 = 160 - 2x 2
    2. (2x - 3) 2 = 49
    3. 16 x 2 = 25
    4. (2x + 1) 2 + (x + 1) 2 = 6x + 47
    5. 2x 2+ x - 6 = 0
    6. 3 x 2 = x + 4
    7. (x - 7) (x - 9) = 195
    8. x 2– (a + b) x + ab = 0
    9. x2 + 5x + 6 = 0
    10. x2− 2x - 15 = 0

    respuestas

    1. 6,-6
    2. -2, 5
    3. - 5/4, 5/4
    4. -3, 3
    5. -2, 3/2
    6. -1, 4/3
    7. -6, 22
    8. a, b
    9. -3, -2
    10. 5, - 3



    Añade un comentario de Factorizar ecuaciones cuadráticas: métodos y ejemplos
    ¡Comentario enviado con éxito! Lo revisaremos en las próximas horas.