Factorizar la diferencia de dos cuadrados perfectos

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Factorizar la diferencia de dos cuadrados perfectos

En algún momento de tu estudio de álgebra, se te pedirá que factorices expresiones reconociendo algunos patrones especiales. La diferencia de dos cuadrados es uno de los más comunes. La buena noticia es que este formulario es muy fácil de identificar.

Siempre que tenga un binomio con cada término al cuadrado (con un exponente de 2), y tengan la resta como el signo del medio, se le garantiza que tendrá el caso de la diferencia de dos cuadrados.



El siguiente diagrama debería proporcionar una comprensión intuitiva de este concepto.

Después de verificar que tiene una diferencia de dos cuadrados, ahora puede factorizarlo como un producto de dos binomios con signos alternos en el medio, positivo y negativo.


Fórmula para la diferencia de dos cuadrados

Aquí están otras maneras escribir la fórmula de la diferencia de dos cuadrados usando variables. Aprenda a reconocerlos en diversas apariencias para que sepa exactamente cómo manejarlos.


Ejemplos de cómo factorizar la diferencia de dos cuadrados perfectos

¡Repasemos algunos ejemplos!


Ejemplo 1: Factoriza el binomio siguiente usando el método de la diferencia de dos cuadrados.

El primer término del binomio es definitivamente un cuadrado perfecto porque la variable x se eleva a la segunda potencia. Sin embargo, el segundo término del binomio no se escribe como un cuadrado. Así que necesitamos reescribirlo de tal manera que 9 se exprese como un número con una potencia de 2. Espero que puedas ver que 9 = {izquierda (3 derecha) ^ 2}. Claramente, tenemos una diferencia de dos cuadrados porque el signo entre los dos términos al cuadrado es la resta.



Para este ejemplo, la solución se desglosa en solo unos pocos pasos para resaltar el procedimiento. Una vez que se sienta cómodo con el proceso, puede omitir muchos pasos. De hecho, puede pasar directamente de la diferencia de dos cuadrados a sus factores.

Ejemplo 2: Factoriza el binomio siguiente.

Al principio, parece que esta no es una diferencia de dos cuadrados. Lo que necesitamos es intentar reescribirlo en una forma que sea fácilmente reconocible.


Para el primer término del binomio, ¿qué término multiplicado por sí mismo da 4 {x ^ 2}? Eso debería ser 2x desde

Para el segundo término, el número cuando se multiplica por sí mismo da 49 es 7 porque

La solución a este problema se ve así,

Ejemplo 3: Factoriza el binomio siguiente.

Este problema es un poco diferente porque ambos términos del binomio contienen variables. Si podemos demostrar que son cuadrados perfectos, ¡deberíamos estar bien!

  • El primer término es un cuadrado perfecto ya que
  • Más aún, el segundo también es un cuadrado perfecto porque

Aplicando la fórmula para la diferencia de dos cuadrados obtenemos,

Ejemplo 4: Factoriza el binomio siguiente.

He aquí un problema interesante. Quizás ya reconoces que los números puros, 16 y 81, son cuadrados perfectos. Eso es bueno. Sin embargo, la variable y no tiene un exponente de 2, sino que tiene un exponente de 4. ¿Califica esto como un cuadrado?

No se apresure a concluir que no lo es. ¿Puedes pensar en un término que cuando se multiplica por sí mismo da {y ^ 4}? Puede hacer una prueba y error en esto. Pero si aplica su conocimiento previo de la regla de exponentes del producto, tiene sentido que

De hecho, siempre que el exponente de una variable sea un número par, esa expresión se puede expresar como un cuadrado perfecto. ¿Por qué? Porque todos los números pares son factorizables por el número 2.

Ahora, realmente podemos reescribir este binomio como la diferencia de dos cuadrados con términos distintos que se elevan a la segunda potencia; donde 16 {y ^ 4} = {izquierda ({4 {y ^ 2}} derecha) ^ 2} y 81 = {izquierda (9 derecha) ^ 2}

Poniendo esto juntos, obtenemos

Ahora puede dividir esto en dos factores binomiales con signos alternos,

¿Ya terminamos? Bueno, examine cuidadosamente los binomios que factorizó. El segundo paréntesis es posiblemente un caso de diferencia de dos cuadrados también, ya que 4 {y ^ 2} = izquierda ({2y} derecha) izquierda ({2y} derecha) y claramente, 9 = izquierda (3 derecha) izquierda (3 derecha ).

Esto significa que debe aplicar la fórmula para la diferencia de dos cuadrados una vez más.

Aquí está la solución completa a este problema.

Ejemplo 5: Factoriza el binomio siguiente.

Observe que el binomio tiene solo un tipo de variable que es "x". La estrategia básica cuando ve algo similar a esto es factorizar el máximo factor común (MCD) entre las variables.

Entre {x ^ 4} y {x ^ {12}}, el MCD es {x ^ 4}. Si factorizas esto, obtienes

Ahora podemos ocuparnos del binomio dentro del paréntesis. En realidad, es una diferencia de dos cuadrados porque podemos expresar cada término del binomio como una expresión con una potencia de 2.

Luego aplicamos la fórmula para la diferencia de dos cuadrados,

¿Terminamos? ¡No! El segundo paréntesis sigue siendo un caso de diferencia de dos cuadrados. No tenemos más remedio que descartarlo una vez más.

Examine los binomios nuevamente para ver si todavía hay un caso de diferencia de dos cuadrados. El último binomio definitivamente se ajusta a los criterios.

¡Resolvamos esto por última vez y terminamos!

Ejemplo 6: Factoriza el binomio siguiente.

Quiero incluir este tipo de problema porque puede encontrar algo similar a esto en sus estudios. Primero, reconozca que es un binomio donde el primer término es {left ({x - 3} right) ^ 2} y el segundo término es 4. Dado que ambos son términos al cuadrado y están separados por resta, este es realmente un caso de diferencia de dos cuadrados.

Puede mantenerlo en esa forma como su respuesta final. Pero la mejor respuesta es combinar términos semejantes sumando o restando las constantes. Esto también simplifica la respuesta al eliminar el paréntesis interno.

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