Factorizar por agrupación: métodos y ejemplos
Ahora que ha aprendido a factorizar polinomios utilizando diferentes métodos como; Máximo factor común (MCD, suma o diferencia en dos cubos; método de diferencia en dos cuadrados; y método trinomial).
¿Qué método encuentras más simple entre estos?
Todos estos métodos de factorización de polinomios son tan fáciles como ABC, solo si se aplican correctamente.
En este artículo, aprenderemos otro método más simple conocido como factorización por agrupación, pero antes de entrar en este tema de factorización por agrupación, analicemos qué es factorizar un polinomio.
Un polinomio es una expresión algebraica con uno o más términos en los que un signo de suma o resta separa una constante y una variable.
La forma general de un polinomio es axn + bxn-1 + cxn-2 +…. + kx + l, donde cada variable tiene una constante que la acompaña como su coeficiente. Los diferentes tipos de polinomios incluyen; binomios, trinomios y cuadrinomios.
Ejemplos de polinomios son; 12x + 15, 6x2 + 3xy - 2ax - ay, 6x2 + 3x + 20x + 10 etc.
¿Cómo factorizar por agrupación?
Factorizar por agrupación es útil cuando no hay un factor común entre los términos, y usted divide la expresión en dos pares y factoriza cada uno de ellos por separado.
Factorizando polinomios es la operación inversa de la multiplicación porque expresa un producto polinomial de dos o más factores. Puedes factorizar polinomios para encontrar las raíces o soluciones de una expresión.
¿Cómo factorizar trinomios agrupando?
Para factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c agrupando, llevamos a cabo el procedimiento como se muestra a continuación:
- Encuentre el producto del coeficiente principal "a" y la constante "c".
⟹ a * c = ac
- Busque los factores de "ac" que se suman al coeficiente "b".
- Reescribe bx como una suma o diferencia de los factores de ac que se suman a b.
⟹ ax2 + bx + c = ax2 + (a + c) x + c
⟹ ax2 + ax + cx + c
- Ahora factorice por agrupación.
⟹ eje (x + 1) + c (x + 1)
⟹ (hacha + c) (x + 1)
ejemplo 1
Factorizar x2 - 15x + 50
Solución
Encuentra los dos números cuya suma es -15 y el producto es 50.
⟹ (-5) + (-10) = -15
⟹ (-5) x (-10) = 50
Reescribe el polinomio dado como;
x2-15x + 50⟹ x2-5x - 10x + 50
Factoriza cada conjunto de grupos;
⟹ x (x - 5) - 10 (x - 5)
⟹ (x - 5) (x - 10)
ejemplo 2
Factoriza el trinomio 6y2 + 11y + 4 agrupando.
Solución
6y2 + 11y + 4 ⟹ 6y2 + 3y + y + 4
⟹ (6y2 + 3y) + (8y + 4)
⟹ 3 años (2 años + 1) + 4 (2 años + 1)
= (2y + 1) (3y + 4)
ejemplo 3
Factoriza 2x2 - 5x - 12.
Solución
2x2 - 5x - 12
= 2x2 + 3x - 8x - 12
= x (2x + 3) - 4 (2x + 3)
= (2x + 3) (x - 4)
ejemplo 4
Factorizar 3y2 + 14y + 8
Solución
3y2 + 14y + 8 ⟹ 3y2 + 12y + 2y + 8
⟹ (3y2 + 12y) + (2y + 8)
= 3y (y + 4) + 2 (y + 4)
Por lo tanto,
3y2 + 14y + 8 = (y + 4) (3y + 2)
ejemplo 5
Factorizar 6x2– 26x + 28
Solución
Multiplica el coeficiente principal por el último término.
⟹ 6 * 28 = 168
Encuentra dos números cuya suma es el producto 168 y la suma es -26
⟹ -14 + -12 = -26 y -14 * -12 = 168
Escribe la expresión reemplazando bx con los dos números.
⟹ 6x2– 26x + 28 = 6x2 + -14x + -12x + 28
6x2 + -14x + -12x + 28 = (6x2 + -14x) + (-12x + 28)
= 2x (3x + -7) + -4 (3x + -7)
Por lo tanto, 6x2– 26x + 28 = (3x -7) (2x - 4)
¿Cómo factorizar binomios agrupando?
Un binomio es una expresión con dos términos combinados mediante el signo de suma o resta. Para factorizar un binomio, se aplican las siguientes cuatro reglas:
- ab + ac = a (b + c)
- a2– b2 = (a - b) (a + b)
- a3– b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
- a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
ejemplo 6
Factor xyz - x2z
Solución
xyz - x2z = xz (y - x)
ejemplo 7
Factorizar 6a2b + 4bc
Solución
6a2b + 4bc = 2b (3a2 + 2c)
ejemplo 8
Factorizar completamente: x6 - 64
Solución
x6 - 64 = (x3) 2 - 82
= (x3 + 8) (x3 - 8) = (x + 2) (x2 - 2x + 4) (x - 2) (x2 + 2x + 4)
ejemplo 9
Factoriza: x6 - y6.
Solución
x6 - y6 = (x + y) (x2 - xy + y2) (x - y) (x2 + xy + y2)
¿Cómo factorizar polinomios agrupando?
Como sugiere el nombre, factorizar por agrupación es simplemente el proceso de agrupar términos con factores comunes antes de factorizar.
Para factorizar un polinomio por agrupación, estos son los pasos:
- Verifica si los términos del polinomio tienen el máximo común divisor (MCD). Si es así, descárgalo y recuerda incluirlo en tu respuesta final.
- Divide el polinomio en conjuntos de dos.
- Factoriza el MCD de cada conjunto.
- Finalmente, determine si las expresiones restantes se pueden factorizar más.
ejemplo 10
Factorizar 2ax + ay + 2bx + por
Solución
2ax + ay + 2bx + por
= a (2x + y) + b (2x + y)
= (2x + y) (a + b)
ejemplo 11
Factorizar ax2 - bx2 + ay2 - by2 + az2 - bz2
Solución
ax2 - bx2 + ay2 - by2 + az2 - bz2
= x2 (a - b) + y2 (a - b) + z2 (a - b)
= (a - b) (x2 + y2 + z2)
ejemplo 12
Factor 6x2 + 3xy - 2ax - ay
Solución
6x2 + 3xy - 2ax - ay
= 3x (2x + y) – a (2x + y)
= (2x + y) (3x – a)
ejemplo 13
x3 + 3x2 + x + 3
Solución
x3 + 3x2 + x + 3
= (x3 + 3x2) + (x + 3)
= x2 (x + 3) + 1 (x + 3)
= (x + 3) (x2 + 1)
ejemplo 14
6x + 3xy + y + 2
Solución
6x + 3xy + y + 2
= (6x + 3xy) + (y + 2)
= 3x (2 + y) + 1(2 + y)
= 3x (y + 2) + 1(y + 2)
= (y + 2) (3x + 1)
= (3x + 1) (y + 2)
ejemplo 15
ax2 - bx2 + ay2 - by2 + az2 - bz2
Solución
ax2 - bx2 + ay2 - by2 + az2 - bz2
Factoriza GCF en cada grupo de los dos términos
⟹ x2 (a - b) + y2 (a - b) + z2 (a - b)
= (a - b) (x2 + y2 + z2)
ejemplo 16
Factoriza 6x2 + 3x + 20x + 10.
Solución
Factoriza el MCD en cada conjunto de dos términos.
⟹ 3 veces (2x + 1) + 10 (2x + 1)
= (3x + 10) (2x + 1)
Preguntas de práctica
Factoriza agrupando los siguientes polinomios:
- 15ab2– 20a2b
- 9n - 12n2
- 24x3 - 36x2y
- 10x3– 15x2
- 36x3y – 60x2y3z
- 9x3 – 6x2 + 12x
- 18a3b3– 27a2b3 + 36a3b2
- 14x3+ 21x4y – 28x2y2
- 6ab - b2 + 12ac - 2bc
- x3– 3x2 + x - 3
- ab (x2 + y2) - xy (a2 + b2)
respuestas
- 5ab (3b - 4a)
- 3n (3 - 4n)
- 12x2 (2x - 3 años)
- 5x2 (2x - 3)
- 12x2y (3x - 5y2z)
- 3x (3x2– 2x + 4)
- 9a2b2 (2ab - 3b + 4a)
- 7x2 (2x + 3xy - 4y2)
- (b + 2c) (6a - b)
- (x2 + 1) (x - 3)
- (bx - ay) (ax - by)
