close
    search Buscar

    Factorizar por agrupación: métodos y ejemplos

    Quien soy
    Alejandra Rangel
    @alejandrarangel

    Valoración del artículo:

    Advertencia de contenido


    Factorizar por agrupación: métodos y ejemplos

    Ahora que ha aprendido a factorizar polinomios utilizando diferentes métodos como; Máximo factor común (MCD, suma o diferencia en dos cubos; método de diferencia en dos cuadrados; y método trinomial).



    ¿Qué método encuentras más simple entre estos?

    Todos estos métodos de factorización de polinomios son tan fáciles como ABC, solo si se aplican correctamente.

    En este artículo, aprenderemos otro método más simple conocido como factorización por agrupación, pero antes de entrar en este tema de factorización por agrupación, analicemos qué es factorizar un polinomio.


    Un polinomio es una expresión algebraica con uno o más términos en los que un signo de suma o resta separa una constante y una variable.

    La forma general de un polinomio es axn + bxn-1 + cxn-2 +…. + kx + l, donde cada variable tiene una constante que la acompaña como su coeficiente. Los diferentes tipos de polinomios incluyen; binomios, trinomios y cuadrinomios.

    Ejemplos de polinomios son; 12x + 15, 6x2 + 3xy - 2ax - ay, 6x2 + 3x + 20x + 10 etc.

    ¿Cómo factorizar por agrupación?

    Factorizar por agrupación es útil cuando no hay un factor común entre los términos, y usted divide la expresión en dos pares y factoriza cada uno de ellos por separado.


    Factorizando polinomios es la operación inversa de la multiplicación porque expresa un producto polinomial de dos o más factores. Puedes factorizar polinomios para encontrar las raíces o soluciones de una expresión.

    ¿Cómo factorizar trinomios agrupando?

    Para factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c agrupando, llevamos a cabo el procedimiento como se muestra a continuación:

    • Encuentre el producto del coeficiente principal "a" y la constante "c".

    ⟹ a * c = ac

    • Busque los factores de "ac" que se suman al coeficiente "b".
    • Reescribe bx como una suma o diferencia de los factores de ac que se suman a b.

    ⟹ ax2 + bx + c = ax2 + (a + c) x + c

    ⟹ ax2 + ax + cx + c

    • Ahora factorice por agrupación.

    ⟹ eje (x + 1) + c (x + 1)

    ⟹ (hacha + c) (x + 1)


    ejemplo 1

    Factorizar x2 - 15x + 50

    Solución

    Encuentra los dos números cuya suma es -15 y el producto es 50.

    ⟹ (-5) + (-10) = -15

    ⟹ (-5) x (-10) = 50

    Reescribe el polinomio dado como;

    x2-15x + 50⟹ x2-5x - 10x + 50

    Factoriza cada conjunto de grupos;

    ⟹ x (x - 5) - 10 (x - 5)

    ⟹ (x - 5) (x - 10)


    ejemplo 2

    Factoriza el trinomio 6y2 + 11y + 4 agrupando.

    Solución

    6y2 + 11y + 4 ⟹ 6y2 + 3y + y + 4

    ⟹ (6y2 + 3y) + (8y + 4)

    ⟹ 3 años (2 años + 1) + 4 (2 años + 1)

    = (2y + 1) (3y + 4)

    ejemplo 3

    Factoriza 2x2 - 5x - 12.

    Solución

    2x2 - 5x - 12

    = 2x2 + 3x - 8x - 12

    = x (2x + 3) - 4 (2x + 3)

    = (2x + 3) (x - 4)

    ejemplo 4

    Factorizar 3y2 + 14y + 8

    Solución
    3y2 + 14y + 8 ⟹ 3y2 + 12y + 2y + 8

    ⟹ (3y2 + 12y) + (2y + 8)

    = 3y (y + 4) + 2 (y + 4)
    Por lo tanto,

    3y2 + 14y + 8 = (y + 4) (3y + 2)

    ejemplo 5

    Factorizar 6x2– 26x + 28

    Solución

    Multiplica el coeficiente principal por el último término.
    ⟹ 6 * 28 = 168

    Encuentra dos números cuya suma es el producto 168 y la suma es -26
    ⟹ -14 + -12 = -26 y -14 * -12 = 168


    Escribe la expresión reemplazando bx con los dos números.
    ⟹ 6x2– 26x + 28 = 6x2 + -14x + -12x + 28
    6x2 + -14x + -12x + 28 = (6x2 + -14x) + (-12x + 28)


    = 2x (3x + -7) + -4 (3x + -7)
    Por lo tanto, 6x2– 26x + 28 = (3x -7) (2x - 4)

    ¿Cómo factorizar binomios agrupando?

    Un binomio es una expresión con dos términos combinados mediante el signo de suma o resta. Para factorizar un binomio, se aplican las siguientes cuatro reglas:

    • ab + ac = a (b + c)
    • a2– b2 = (a - b) (a + b)
    • a3– b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
    • a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

    ejemplo 6

    Factor xyz - x2z

    Solución

    xyz - x2z = xz (y - x)

    ejemplo 7

    Factorizar 6a2b + 4bc

    Solución

    6a2b + 4bc = 2b (3a2 + 2c)

    ejemplo 8

    Factorizar completamente: x6 - 64

    Solución

    x6 - 64 = (x3) 2 - 82

    = (x3 + 8) (x3 - 8) = (x + 2) (x2 - 2x + 4) (x - 2) (x2 + 2x + 4)

    ejemplo 9

    Factoriza: x6 - y6.

    Solución

    x6 - y6 = (x + y) (x2 - xy + y2) (x - y) (x2 + xy + y2)

    ¿Cómo factorizar polinomios agrupando?

    Como sugiere el nombre, factorizar por agrupación es simplemente el proceso de agrupar términos con factores comunes antes de factorizar.

    Para factorizar un polinomio por agrupación, estos son los pasos:

    • Verifica si los términos del polinomio tienen el máximo común divisor (MCD). Si es así, descárgalo y recuerda incluirlo en tu respuesta final.
    • Divide el polinomio en conjuntos de dos.
    • Factoriza el MCD de cada conjunto.
    • Finalmente, determine si las expresiones restantes se pueden factorizar más.

    ejemplo 10

    Factorizar 2ax + ay + 2bx + por

    Solución

    2ax + ay + 2bx + por
    = a (2x + y) + b (2x + y)
    = (2x + y) (a + b)

    ejemplo 11

    Factorizar ax2 - bx2 + ay2 - by2 + az2 - bz2

    Solución

    ax2 - bx2 + ay2 - by2 + az2 - bz2
    = x2 (a - b) + y2 (a - b) + z2 (a - b)
    = (a - b) (x2 + y2 + z2)

    ejemplo 12

    Factor 6x2 + 3xy - 2ax - ay

    Solución

    6x2 + 3xy - 2ax - ay
    = 3x (2x + y) – a (2x + y)
    = (2x + y) (3x – a)

    ejemplo 13

    x3 + 3x2 + x + 3

    Solución

    x3 + 3x2 + x + 3
    = (x3 + 3x2) + (x + 3)
    = x2 (x + 3) + 1 (x + 3)
    = (x + 3) (x2 + 1)

    ejemplo 14

    6x + 3xy + y + 2

    Solución

    6x + 3xy + y + 2

    = (6x + 3xy) + (y + 2)

    = 3x (2 + y) + 1(2 + y)

    = 3x (y + 2) + 1(y + 2)

    = (y + 2) (3x + 1)

    = (3x + 1) (y + 2)

    ejemplo 15

    ax2 - bx2 + ay2 - by2 + az2 - bz2
    Solución
    ax2 - bx2 + ay2 - by2 + az2 - bz2

    Factoriza GCF en cada grupo de los dos términos
    ⟹ x2 (a - b) + y2 (a - b) + z2 (a - b)
    = (a - b) (x2 + y2 + z2)

    ejemplo 16

    Factoriza 6x2 + 3x + 20x + 10.

    Solución

    Factoriza el MCD en cada conjunto de dos términos.

    ⟹ 3 veces (2x + 1) + 10 (2x + 1)

    = (3x + 10) (2x + 1)

    Preguntas de práctica

    Factoriza agrupando los siguientes polinomios:

    1. 15ab2– 20a2b
    2. 9n - 12n2
    3. 24x3 - 36x2y
    4. 10x3– 15x2
    5. 36x3y – 60x2y3z
    6. 9x3 â€“ 6x2 + 12x
    7. 18a3b3– 27a2b3 + 36a3b2
    8. 14x3+ 21x4y – 28x2y2
    9. 6ab - b2 + 12ac - 2bc
    10. x3– 3x2 + x - 3
    11. ab (x2 + y2) - xy (a2 + b2)

    respuestas

    1. 5ab (3b - 4a)
    2. 3n (3 - 4n)
    3. 12x2 (2x - 3 años)
    4. 5x2 (2x - 3)
    5. 12x2y (3x - 5y2z)
    6. 3x (3x2– 2x + 4)
    7. 9a2b2 (2ab - 3b + 4a)
    8. 7x2 (2x + 3xy - 4y2)
    9. (b + 2c) (6a - b)
    10. (x2 + 1) (x - 3)
    11. (bx - ay) (ax - by)



    Añade un comentario de Factorizar por agrupación: métodos y ejemplos
    ¡Comentario enviado con éxito! Lo revisaremos en las próximas horas.