Básicamente, la forma punto-pendiente se deriva del concepto de encontrar la pendiente de una línea cuando se dan dos puntos. En otras palabras, si puede recordar la fórmula de la pendiente, entonces la forma punto-pendiente debería venirle naturalmente.
Comencemos revisando la fórmula de la pendiente.
Fórmula de pendiente
La pendiente, m, de una línea que pasa por dos puntos arbitrarios a la izquierda ({{x_1}, {y_1}} derecha) e izquierda ({{x_2}, {y_2}} derecha) se calcula de la siguiente manera ...
Si modificamos ligeramente el "aspecto" de los dos puntos, digamos, por ejemplo
- Deje que la izquierda ({{x_1}, {y_1}} derecha) sea un punto específico en una linea
- Sea left ({x, y} right) cualquier otro punto en la línea
Luego sustituimos esos puntos en la fórmula de la pendiente, obtenemos algo como esto
Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador x - {x_1}
y cancelar factores comunes.
Finalmente, vuelva a escribir la ecuación de manera que las variables y estén en el lado izquierdo para obtener la forma deseada.
¡Sí! Acabamos de derivar la forma punto-pendiente de una línea, usando la fórmula de la pendiente como nuestro punto de partida.
Resumamos el concepto.
Forma punto-pendiente de una línea
La ecuación de la línea con una pendiente, my que pasa por un punto específico a la izquierda ({{x_1}, {y_1}} a la derecha) es
Ejemplos de aplicación del concepto de forma punto-pendiente de una línea
ejemplo 1: Escribe la forma punto-pendiente de la recta con un pendiente de 3 que pasa por el punto a la izquierda ({2,5} a la derecha).
Esta es una pregunta estándar de un libro de texto que prácticamente se puede resolver en segundos. Sin embargo, analicemos el proceso paso a paso para que tengamos una comprensión sólida del procedimiento.
La pendiente se da como m = 3, y el punto a la izquierda ({2,5} derecha) tiene coordenadas de {x_1} = 2 y {y_1} = 5. Ahora sustituya los valores conocidos en la forma pendiente-intersección para obtener el respuesta final.
ejemplo 2: Escribe la forma punto-pendiente de la recta con un pendiente de -, 5 que pasa por el punto izquierdo ({-, 1, -, 7} derecha).
Esto es muy similar al ejemplo n. ° 1, pero la razón para repasarlo es para enfatizar lo que sucede cuando las coordenadas del punto tienen signos negativos. Tendremos un caso aquí en el que restamos números negativos. El resultado de eso es tener dobles signos negativos que requieren que lo hagamos positivo. Recuerde la regla de que dos signos negativos se vuelven positivos. ¿Derecha?
La pendiente dada es solo m = -, 5, y el punto a la izquierda ({-, 1, -, 7} derecha) tiene coordenadas de {x_1} = -, 1 y {y_1} = -, 7. Sustituyendo estos valores conocidos en la fórmula pendiente-intersección, obtenemos ...
ejemplo 3: Determine la forma punto-pendiente de la línea que pasa por los puntos izquierdo ({2,10} derecho) e izquierdo ({5,1} derecho).
Para escribir la ecuación de una línea en forma de punto-pendiente, necesitaremos dos cosas esenciales aquí, que son la pendiente de los dos puntos dados y cualquier punto que se encuentre en la línea. Aunque la pendiente no se nos proporciona directamente, podemos resolver absolutamente la pendiente usando la fórmula de pendiente porque hay al menos dos puntos que conocemos que se encuentran en la línea.
- Empiece por asignar las coordenadas de los puntos.
- Evalúe los valores de las coordenadas que se encuentran arriba en la fórmula de la pendiente.
- El valor de la pendiente se convierte en m = -, 3.
El siguiente paso es elegir CUALQUIER de los dos puntos dados, izquierda ({2,10} derecha) o izquierda ({5,1} derecha). Utilice el punto elegido junto con la pendiente m = -, 3 para escribir la pendiente punto-pendiente de la recta.
Tenga en cuenta que en realidad se puede escribir de dos maneras porque tenemos dos puntos aquí. Como ejercicio, demostraré que aunque las ecuaciones punto-pendiente "lucen" diferentes, ¡en realidad son equivalentes o iguales!
Consejo: Resuelve ambas ecuaciones para y en términos de x, ¡y compara los resultados!
- Usando el patrón de velas del primer punto izquierda ({2,10} derecha) y pendiente m = -, 3:
- Usando el patrón de velas del segundo punto izquierda ({5,1} derecha) y pendiente m = -, 3:
Por lo tanto, no importa qué punto elija para construir la ecuación siempre que la pendiente sea la misma y el punto seleccionado debe estar en la línea.
ejemplo 4: Determine la forma punto-pendiente de la línea que pasa por los puntos izquierdo ({-, 3, -, 5} derecho) e izquierdo ({2, -, 15} derecho).
- Comience resolviendo la pendiente ya que se dan dos puntos. Deje que la izquierda ({-, 3, -, 5} derecha) y la izquierda ({2, -, 15} derecha) sean los primeras y segunda punto, respectivamente. Esto implica que sus coordenadas son las siguientes:
- Reemplaza los valores en la fórmula de la pendiente y luego simplifica.
- El valor de la pendiente es m = -, 2.
Escribe el punto-pendiente de dos formas y demuestra que son ecuaciones equivalentes.
Consejo: Resuelve ambas ecuaciones para y en términos de x, ¡y compara los resultados!
- Usando el patrón de velas del primer punto izquierda ({-, 3, -, 5} derecha) y pendiente m = -, 2:
- Usando el patrón de velas del segundo punto izquierda ({2, -, 15} derecha) y pendiente m = -, 2:
Nuevamente, no es necesario que escriba el punto-pendiente utilizando ambos puntos. ¡El propósito de esto es ilustrar que cualquiera de los dos puntos debería funcionar!
ejemplo 5: Encuentra la forma punto-pendiente de la línea en el gráfico de abajo.
Solución:
Identifica cualquier punto de la línea. Creo que lo más conveniente es la intersección con el eje y de la línea.
Luego, encuentre la pendiente gráficamente usando el concepto de "subida sobre carrera", es decir, m = {{subida} sobre {carrera}}.
Esto nos da una pendiente de m = {{subida} sobre {carrera}} = {2 sobre 3}.
Ahora, tenemos un punto a la izquierda ({0,2} derecha) y una pendiente de m = {2 sobre 3} que debería permitirnos escribir la forma punto-pendiente de la línea.
ejemplo 6: Encuentra la forma punto-pendiente de la línea en el gráfico de abajo.
Solución:
Seleccione cualquier punto de la línea. Aunque está bien elegir la intersección con el eje y a la izquierda ({0, -, 1} derecha), esta vez, elijamos un punto que no se encuentre en el eje y.
Luego, encuentre la pendiente gráficamente usando el concepto de "subida sobre carrera", es decir, m = {{subida} sobre {carrera}}.
Al moverse hacia abajo en el eje y, el valor de "aumento" debe ser negativo. Entonces la pendiente se convierte en m = {{subida} sobre {carrera}} = {{-, 5} sobre 2}.
Tenemos un punto a la izquierda ({-, 2,4} derecha) y la pendiente de m = {{-, 5} sobre 2}. Escribir la forma punto-pendiente de la recta
Usted también puede estar interesado en:
Tipos de pendientes de una línea
Fórmula de pendiente de una línea
Forma pendiente-intersección de una línea
