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    Fórmula cuadrática: explicación y ejemplos

    Quien soy
    Lluís Enric Mayans
    @lluísenricmayans

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    Fórmula cuadrática: explicación y ejemplos

    A estas alturas, ya sabes cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante métodos como completar el cuadrado, la diferencia de un cuadrado y la fórmula del trinomio del cuadrado perfecto.


    En este artículo, aprenderemos cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando dos métodos, a saber, el Fórmula cuadrática y el método gráfico. Antes de que podamos sumergirnos en este tema, recordemos qué es una ecuación cuadrática.

    ¿Qué es una ecuación cuadrática?

    Una ecuación cuadrática en matemáticas se define como un polinomio de segundo grado cuya forma estándar es ax2 + bx + c = 0, donde a, byc son coeficientes numéricos y a ≠ 0.


    El término segundo grado significa que al menos un término en la ecuación se eleva a la potencia de dos. En una ecuación cuadrática, la variable x es un valor desconocido, para lo cual necesitamos encontrar la solución.

    Ejemplos de ecuaciones cuadráticas son: 6x² + 11x - 35 = 0, 2x² - 4x - 2 = 0, 2x² - 64 = 0, x² - 16 = 0, x² - 7x = 0, 2x² + 8x = 0 etc. De estos ejemplos , puede observar que algunas ecuaciones cuadráticas carecen del término "c" y "bx".


    ¿Cómo usar la fórmula cuadrática?

    Suponga que ax2 + bx + c = 0 es nuestra ecuación cuadrática estándar. Podemos derivar la fórmula cuadrática completando el cuadrado como se muestra a continuación.

    Aislar el término c al lado derecho de la ecuación

    ax2 + bx = -c

    Dividir cada término por a.

    x2 + bx / a = -c / a

    Expresar como un cuadrado perfecto
    x 2 + segundo x / a + (segundo / 2a) 2 = - c / a + (segundo / 2a) 2


    (x + b / 2a) 2 = (-4ac + b2) / 4a2

    (x + b / 2a) = ± √ (-4ac + b2) / 2a

    x = - b / 2a ± √ (b2 - 4ac) / 2a

    x = [- b ± √ (b2 - 4ac)] / 2a ………. (Esta es la fórmula cuadrática)

    La presencia de más (+) y menos (-) en la fórmula cuadrática implica que hay dos soluciones, como por ejemplo:

    x1 = (-b + √b2 - 4ac) / 2a

    Y,

    x2 = (-b - √b2 - 4ac) / 2a

    Los dos valores anteriores de x se conocen como raíces de la ecuación cuadrática. Las raíces de una ecuación cuadrática dependen de la naturaleza del discriminante. El discriminante es parte de la fórmula cuadrática en forma de b 2 - 4 ac. Una ecuación cuadrática tiene dos raíces reales diferentes del discriminante.

    Cuando el valor discriminante es cero, la ecuación tendrá solo una raíz o solución. Y, si el discriminante es negativo, entonces la ecuación cuadrática no tiene raíz real.


    ¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas?

    Resolvamos algunos ejemplos de problemas usando la fórmula cuadrática.

    ejemplo 1

    Usa la fórmula cuadrática para encontrar las raíces de x2-5x + 6 = 0.

    Solución

    Comparando la ecuación con la forma general ax2 + bx + c = 0 da,

    a = 1, b = -5 y c = 6

    b2 - 4ac = (-5) 2-4 × 1 × 6 = 1

    Sustituye los valores en la fórmula cuadrática.

    x1 = (-b + √b2-4ac) / 2a

    ⇒ (5 + 1) / 2

    = 3

    x2 = (-b - √b2-4ac) / 2a

    ⇒ (5 - 1) / 2

    = 2

    ejemplo 2


    Resuelve la siguiente ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática:

    3x2 + 6x + 2 = 0

    Solución

    Comparando el problema con la forma general de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 da,

    a = 3, b = 6 y c = 2

    x = [- b ± √ (b2– 4ac)] / 2a

    ⇒ [- 6 ± √ (62 - 4 * 3 * 2)] / 2 * 3

    ⇒ [- 6 ± √ (36-24)] / 6

    ⇒ [- 6 ± √ (12)] / 6

    x1 = (-6 + 2√3) / 6

    ⇒ - (2/3) √3

    x2 = (-6– 2√3) / 6

    ⇒ - (4/3) √3


    ejemplo 3

    Resolver 5x2 + 6x + 1 = 0

    Solución

    Comparando con la ecuación cuadrática, obtenemos,

    a = 5, b = 6, c = 1

    Ahora aplique la fórmula cuadrática:

    x = −b ± √ (b2 - 4ac) 2a

    Sustituye los valores de a, b y c

    ⇒ x = −6 ± √ (62 - 4 × 5 × 1) 2 × 5

    ⇒ x = −6 ± √ (36-20) 10

    ⇒ x = −6 ± √ (16) 10

    ⇒ x = −6 ± 410

    ⇒ x = - 0.2, −1

    ejemplo 4

    Resolver 5x2 + 2x + 1 = 0

    Solución

    Los coeficientes son;

    a = 5, b = 2, c = 1

    En este caso, el discriminante es negativo:

    b2 - 4ac = 22 - 4 × 5 × 1

    = −16

    Ahora aplique la fórmula cuadrática;

    x = (−2 ± √ −16) / 10

    ⇒√ (−16) = 4


    Donde i es el número imaginario √ − ​​1

    ⇒x = (−2 ± 4i) / 10

    Por lo tanto, x = −0.2 ± 0.4i

    ejemplo 5

    Resolver x2 - 4x + 6.25 = 0

    Solución

    Según la forma estándar de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, podemos observar que;

    a = 1, b = −4, c = 6.25

    Determine los discriminantes.

    b2 - 4ac = (−4) 2 - 4 × 1 × 6.25

    = −9 ………………. (discriminante negativo)

    ⇒ x = - (- 4) ± √ (−9) / 2

    ⇒ √ (−9) = 3i; donde i es el número imaginario √ − ​​1

    ⇒ x = (4 ± 3i) / 2

    Por lo tanto, x = 2 ± 1.5i

    ¿Cómo graficar una ecuación cuadrática?

    Para graficar una ecuación cuadrática, estos son los pasos a seguir:

    • Dada una ecuación cuadrática, reescribe la ecuación equiparándola con yo f (x)
    • Elija valores arbitrarios de xey para trazar la curva
    • Ahora grafica la función.
    • Lea las raíces donde la curva cruza o toca el eje x.

    Resolver ecuaciones cuadráticas graficando

    Graficar es otro método para resolver ecuaciones cuadráticas. La solución de la ecuación se obtiene leyendo las intersecciones con el eje x de la gráfica.

    Hay tres posibilidades al resolver ecuaciones cuadráticas por método gráfico:

    • Una ecuación tiene una raíz o solución si la intersección con el eje x de la gráfica es 1.
    • Una ecuación con dos raíces tiene 2 intersecciones con x
    • Si no hay intersecciones en x, entonces una ecuación no tiene soluciones reales.

    Grafiquemos algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas. En estos ejemplos, hemos dibujado nuestros gráficos utilizando un software de gráficos, pero para que comprenda muy bien esta lección, dibuje sus gráficos manualmente.

    ejemplo 1

    Resolver la ecuación x2 + x - 3 = 0 por método gráfico

    Solución

    Nuestros valores arbitrarios se muestran en la siguiente tabla:

    Las intersecciones en x son x = 1.3 y x = –2.3. Por lo tanto, las raíces de la ecuación cuadrática son x = 1.3 yx = –2.3

    ejemplo 2

    Resuelve la ecuación 6x - 9 - x2 = 0.

    Solución

    Elija valores arbitrarios de x.

    La curva toca el eje x en x = 3. Por lo tanto, 6x - 9 - x2 = 0 tiene una solución (x = 3).

    ejemplo 3

    Resuelve la ecuación x2 + 4x + 8 = 0 por el método gráfico.

    Solución

    Elija valores arbitrarios de x.

    En este ejemplo, la curva no toca ni cruza el eje x. Por lo tanto, la ecuación cuadrática x2 + 4x + 8 = 0 no tiene raíces reales.

    Preguntas de práctica

    Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando tanto la fórmula cuadrática como el método gráfico:

    1. x2 - 3x −10 = 0
    2. x2 + 3x + 4 = 0
    3. x2−7x + 12 = 0
    4. x2 + 14x + 45 = 0
    5. 9 + 7x = 7x2
    6. x2 + 4x + 4 = 0
    7. x2– 9x + 14 = 0
    8. 2x2– 3x = 0
    9. 4? 2 - 4? + 5 = 0
    10. 4? 2 - 8? + 1 = 0
    11. x 2 + 4x - 12 = 0
    12. 10x2 + 7x - 12 = 0
    13. 10 + 6x - x2 = 0
    14. 2x2 + 8x - 25 = 0
    15. x 2 + 5x - 6 = 0
    16. 3x2 - 27x + 9
    17. 15 - 10x - x2
    18. 5x2 + 10x + 15
    19. 24 + 12x - 2x2
    20. x2−12x + 35 = 0



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