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    Fórmula de punto medio: explicación y ejemplos

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    Pau Monfort
    @paumonfort

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    Fórmula de punto medio: explicación y ejemplos

    La fórmula del punto medio es un método para encontrar el centro exacto de un segmento de línea.

    Dado que un segmento de línea, por definición, es finito, tiene dos puntos finales. Por lo tanto, otra forma de pensar en la fórmula del punto medio es pensar en ella como una forma de encontrar el punto exactamente entre otros dos puntos.

    La fórmula del punto medio requiere que grabemos puntos y un conocimiento profundo de las fracciones.



    En esta sección, repasaremos:

    • ¬ŅQu√© es la f√≥rmula del punto medio?
    • C√≥mo encontrar el punto medio de una l√≠nea

       

    ¬ŅQu√© es la f√≥rmula del punto medio?

    Dados dos puntos (x1, y1) y (x2, y2), la fórmula del punto medio es ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2).

    Si estamos tratando de encontrar el centro de un segmento de línea, los puntos (x1, y1) y (x2, y2) son los puntos finales del segmento de línea.

    Observe que la salida de la f√≥rmula del punto medio no es un n√ļmero. Es un conjunto de coordenadas, (x, y). Es decir, la f√≥rmula del punto medio nos da las coordenadas de un punto que est√° exactamente entre los dos puntos dados. Esta es la mitad exacta de un segmento de l√≠nea que conecta los dos puntos.

    La distancia desde cualquier punto hasta el punto medio ser√° exactamente la mitad de la distancia entre los dos puntos iniciales.

    Cómo encontrar el punto medio de una línea

    Primero, elija un punto para que sea (x1, y1) y un punto para ser (x2, y2). No importa mucho cu√°l es cu√°l, pero en algunos casos, es posible que tengamos que determinar las coordenadas de los dos puntos a partir de un gr√°fico.



    Luego, podemos reemplazar los valores x1, y1, x2 e y2 en la fórmula ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2).

    ¬ŅRecuerda haber aprendido sobre promedios y medias? Para encontrar el promedio o la media de dos n√ļmeros, sumamos los dos n√ļmeros y dividimos por dos. ¬°Eso es exactamente lo que estamos haciendo en la f√≥rmula!

    Por lo tanto, podemos pensar en la fórmula del punto medio como encontrar el punto que es el promedio de los términos xy los términos y.

    Ejemplos

    En esta sección, repasaremos algunos ejemplos de cómo usar la fórmula del punto medio y sus soluciones paso a paso.

    ejemplo 1

    Considere un segmento de l√≠nea que comienza en el origen y termina en el punto (0, 4). ¬ŅCu√°l es el punto medio de esta l√≠nea?

    Ejemplo 1 Solución

    Es fácil ver que esta línea tiene 4 unidades de longitud y su punto medio es (2, 0). Esto facilita ilustrar cómo funciona la fórmula del punto medio.

    Primero, designemos el origen, (0, 0) como (x1, y1) y el punto (4, 0) como (x2, y2). Luego, podemos conectarlos a la fórmula del punto medio:

    ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2).

    ((4+0)/2, (0+0)/2).

    (4/2, 0)

    (2, 0).

    Esto coincide con nuestra intuición. Después de todo, el punto medio de 0 y 4 es 2.

    ejemplo 2

    Considere un segmento de l√≠nea que comienza en (0, 2) y termina en (0, 4). ¬ŅCu√°l es el punto medio de este segmento de recta?


    Ejemplo 2 Solución

    Nuevamente, podemos ver que este es un segmento de línea de 2 unidades de longitud. Su punto medio es una unidad de cada punto final en (0, 3). Una vez más, esto facilita la demostración de cómo funciona la fórmula del punto medio.


    Dejemos que (0, 2) sea (x1, y1) y (0, 4) sea (x2, y2). Luego, conectar los valores en la fórmula del punto medio nos da:

    ((0+0)/2, (4+2)/2)

    (0, 6/2)

    (0, 3).

    Por lo tanto, el punto medio es (0, 3) y, como antes, coincide con nuestra intuición.

    ejemplo 3

    Encuentre el punto medio de un segmento de línea que se extiende desde (-9, -3) a (18, 2).

    Ejemplo 3 Solución

    No es tan obvio de inmediato dónde está el punto medio de esta línea. Pero, todavía podemos asignar un punto (digamos (-9, -3) como (x1, y1)) y el otro punto como (x2, y2). Luego, podemos insertar los valores en la fórmula de medianoche:

    ((-9+18)/2, (-3+2)/2)

    (9/2, -1/2).

    En este caso, podemos dejar los dos n√ļmeros como fracciones para nuestra respuesta. Los tres puntos se representan a continuaci√≥n.


    ejemplo 4

    El siguiente gr√°fico presenta un segmento de l√≠nea k. ¬ŅCu√°l es el punto medio del segmento de recta?


    Ejemplo 4 Solución

    Antes de que podamos determinar el punto medio de este segmento de línea, necesitamos encontrar las coordenadas de sus extremos. El punto final en el segundo cuadrante está cuatro unidades a la izquierda del origen y una unidad por encima de él. El punto final en el cuarto cuadrante está tres unidades a la derecha del origen y tres unidades debajo. Esto significa que los puntos finales son (-4, 1) y (3, -3) respectivamente. Hagamos que también sean (x1, y1) y (x2, y2) respectivamente.

    Cuando insertamos estos valores en la fórmula del punto medio, obtenemos:

    ((-4+3)/2, (3+1)/2)

    (-1/2, -2/2)

    (-1/2, -1).

    Por lo tanto, el centro exacto de este segmento de línea es el punto (-1/2, -1).

    ejemplo 5

    Un cient√≠fico encuentra dos nidos para un p√°jaro en peligro de extinci√≥n en una isla. Un nido est√° a 1.2 millas al norte y 1.4 millas al este de las instalaciones de investigaci√≥n del cient√≠fico. El segundo nido est√° a 2.1 millas al sur y 0.4 millas al este de la instalaci√≥n. El cient√≠fico quiere instalar una c√°mara en un lugar lo m√°s cerca posible de ambos nidos con la esperanza de capturar algunas im√°genes de las aves. ¬ŅD√≥nde deber√≠a poner esta c√°mara?

    Ejemplo 5 Solución

    El lugar que minimizar√° la distancia a cada nido es el punto medio entre las coordenadas de los dos nidos.

    Dejemos que el norte y el este sean las direcciones positivas. Dado que el primer nido est√° a 1.2 millas al norte y 1.4 millas al este, podemos trazar sus coordenadas en (1.4, 1.2). De manera similar, las coordenadas del segundo nido est√°n en (0.4, -2.1).

    Si las coordenadas del primer nido son (x1, y1) y las coordenadas del segundo nido son (x2, y2), entonces el punto medio es:

    ((1.4+0.4)/2, (1.2-2.1)/2)

    (1.8 / 2, -0.9 / 2)

    (0.9; -0.9 / 2)

    Es decir, el científico debe configurar su cámara en las coordenadas (0.9, -0.9 / 2). Dado que -0.9 / 2 es -0.45, la cámara debe estar en un lugar a 0.45 millas al norte de la instalación y a 0.9 millas al este.

    ejemplo 6

    El punto medio de un segmento de l√≠nea es (9, 4). Uno de los extremos del segmento de l√≠nea es (-8, -2). ¬ŅCu√°l es el otro punto final de este segmento de l√≠nea?

    Ejemplo 6 Solución

    Podemos insertar los valores que conocemos en la fórmula del punto medio y trabajar hacia atrás. Sabemos que el punto medio es (9, 4) y que un punto final es (-8, -2). Dejemos que esto sea (x1, y1). Entonces nosotros tenemos:

    (-8+x2)/2=9 and (-2+y2)/2=4.

    Ahora, podemos multiplicar ambos lados de ambas ecuaciones por 2, lo que nos da:

    -8+x2=18 and -2+y2=8.

    Finalmente, sumar 8 a ambos lados de la ecuación a la izquierda y 2 a ambos lados de la ecuación a la derecha nos da x2 = 26 e y2 = 10.

    Por lo tanto, el otro punto final es (26, 10).

    Problemas de pr√°ctica

    1. Un segmento de l√≠nea conecta los puntos (9, 1) y (8, 7). ¬ŅCu√°l es el punto medio de este segmento de recta?
    2. Un segmento de l√≠nea conecta los puntos (-3, -6) y (-7, 1). ¬ŅCu√°l es el punto medio de este segmento de recta?
    3. Un segmento de l√≠nea conecta los puntos (-105, 207) y (819, 759). ¬ŅCu√°l es el punto medio de este segmento de recta?
    4. Un artista planea crear un mural. Planea pintar una estrella en un punto a 10 pies a la derecha y 5 pies por encima de la esquina inferior izquierda de la pared. Tambi√©n planea pintar una estrella en la esquina superior izquierda. El artista tambi√©n planea pintar la luna exactamente entre las dos estrellas. Si la pared mide 12 pies de alto, ¬Ņd√≥nde deber√≠a pintar el artista la luna?
    5. Un segmento de l√≠nea tiene un punto medio en (-1, -2). Si uno de los extremos es (16, 8), ¬Ņcu√°l es el otro extremo del segmento de l√≠nea?

    Clave de respuestas de problemas de pr√°ctica

    1. El punto medio es (17/2, 4)
    2. Este punto medio es (-5, -5/2)
    3. El punto medio es (357, 483)
    4. En este caso, las coordenadas de las estrellas son (10, 5) y (0, 12). El punto medio es (5, 17/2).
    5. El otro punto final es (-18, -12).



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