Fórmula de punto medio: explicación y ejemplos

Fórmula de punto medio: explicación y ejemplos

La fórmula del punto medio es un método para encontrar el centro exacto de un segmento de línea.

Dado que un segmento de línea, por definición, es finito, tiene dos puntos finales. Por lo tanto, otra forma de pensar en la fórmula del punto medio es pensar en ella como una forma de encontrar el punto exactamente entre otros dos puntos.


La fórmula del punto medio requiere que grabemos puntos y un conocimiento profundo de las fracciones.


En esta sección, repasaremos:

  • name="-qu--es-la-f-rmula-del-punto-medio-">¿Qué es la fórmula del punto medio?
  • name="c-mo-encontrar-el-punto-medio-de-una-l-nea">Cómo encontrar el punto medio de una línea

     


name="-qu--es-la-f-rmula-del-punto-medio-">¿Qué es la fórmula del punto medio?

Dados dos puntos (x1, y1) y (x2, y2), la fórmula del punto medio es ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2).

Si estamos tratando de encontrar el centro de un segmento de línea, los puntos (x1, y1) y (x2, y2) son los puntos finales del segmento de línea.

Observe que la salida de la fórmula del punto medio no es un número. Es un conjunto de coordenadas, (x, y). Es decir, la fórmula del punto medio nos da las coordenadas de un punto que está exactamente entre los dos puntos dados. Esta es la mitad exacta de un segmento de línea que conecta los dos puntos.


La distancia desde cualquier punto hasta el punto medio será exactamente la mitad de la distancia entre los dos puntos iniciales.

name="c-mo-encontrar-el-punto-medio-de-una-l-nea">Cómo encontrar el punto medio de una línea

Primero, elija un punto para que sea (x1, y1) y un punto para ser (x2, y2). No importa mucho cuál es cuál, pero en algunos casos, es posible que tengamos que determinar las coordenadas de los dos puntos a partir de un gráfico.


Luego, podemos reemplazar los valores x1, y1, x2 e y2 en la fórmula ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2).


¿Recuerda haber aprendido sobre promedios y medias? Para encontrar el promedio o la media de dos números, sumamos los dos números y dividimos por dos. ¡Eso es exactamente lo que estamos haciendo en la fórmula!

Por lo tanto, podemos pensar en la fórmula del punto medio como encontrar el punto que es el promedio de los términos xy los términos y.

name="ejemplos">Ejemplos

En esta sección, repasaremos algunos ejemplos de cómo usar la fórmula del punto medio y sus soluciones paso a paso.

name="ejemplo-1">ejemplo 1

Considere un segmento de línea que comienza en el origen y termina en el punto (0, 4). ¿Cuál es el punto medio de esta línea?

name="ejemplo-1-soluci-n">Ejemplo 1 Solución

Es fácil ver que esta línea tiene 4 unidades de longitud y su punto medio es (2, 0). Esto facilita ilustrar cómo funciona la fórmula del punto medio.

Primero, designemos el origen, (0, 0) como (x1, y1) y el punto (4, 0) como (x2, y2). Luego, podemos conectarlos a la fórmula del punto medio:

((x1+x2)/2, (y1+y2)/2).

((4+0)/2, (0+0)/2).

(4/2, 0)

(2, 0).

Esto coincide con nuestra intuición. Después de todo, el punto medio de 0 y 4 es 2.

name="ejemplo-2">ejemplo 2

Considere un segmento de línea que comienza en (0, 2) y termina en (0, 4). ¿Cuál es el punto medio de este segmento de recta?

name="ejemplo-2-soluci-n">Ejemplo 2 Solución

Nuevamente, podemos ver que este es un segmento de línea de 2 unidades de longitud. Su punto medio es una unidad de cada punto final en (0, 3). Una vez más, esto facilita la demostración de cómo funciona la fórmula del punto medio.


Dejemos que (0, 2) sea (x1, y1) y (0, 4) sea (x2, y2). Luego, conectar los valores en la fórmula del punto medio nos da:

((0+0)/2, (4+2)/2)

(0, 6/2)

(0, 3).

Por lo tanto, el punto medio es (0, 3) y, como antes, coincide con nuestra intuición.

name="ejemplo-3">ejemplo 3

Encuentre el punto medio de un segmento de línea que se extiende desde (-9, -3) a (18, 2).

name="ejemplo-3-soluci-n">Ejemplo 3 Solución

No es tan obvio de inmediato dónde está el punto medio de esta línea. Pero, todavía podemos asignar un punto (digamos (-9, -3) como (x1, y1)) y el otro punto como (x2, y2). Luego, podemos insertar los valores en la fórmula de medianoche:

((-9+18)/2, (-3+2)/2)

(9/2, -1/2).

En este caso, podemos dejar los dos números como fracciones para nuestra respuesta. Los tres puntos se representan a continuación.

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name="ejemplo-4">ejemplo 4

El siguiente gráfico presenta un segmento de línea k. ¿Cuál es el punto medio del segmento de recta?

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name="ejemplo-4-soluci-n">Ejemplo 4 Solución

Antes de que podamos determinar el punto medio de este segmento de línea, necesitamos encontrar las coordenadas de sus extremos. El punto final en el segundo cuadrante está cuatro unidades a la izquierda del origen y una unidad por encima de él. El punto final en el cuarto cuadrante está tres unidades a la derecha del origen y tres unidades debajo. Esto significa que los puntos finales son (-4, 1) y (3, -3) respectivamente. Hagamos que también sean (x1, y1) y (x2, y2) respectivamente.

Cuando insertamos estos valores en la fórmula del punto medio, obtenemos:

((-4+3)/2, (3+1)/2)

(-1/2, -2/2)

(-1/2, -1).

Por lo tanto, el centro exacto de este segmento de línea es el punto (-1/2, -1).

name="ejemplo-5">ejemplo 5

Un científico encuentra dos nidos para un pájaro en peligro de extinción en una isla. Un nido está a 1.2 millas al norte y 1.4 millas al este de las instalaciones de investigación del científico. El segundo nido está a 2.1 millas al sur y 0.4 millas al este de la instalación. El científico quiere instalar una cámara en un lugar lo más cerca posible de ambos nidos con la esperanza de capturar algunas imágenes de las aves. ¿Dónde debería poner esta cámara?

name="ejemplo-5-soluci-n">Ejemplo 5 Solución

El lugar que minimizará la distancia a cada nido es el punto medio entre las coordenadas de los dos nidos.

Dejemos que el norte y el este sean las direcciones positivas. Dado que el primer nido está a 1.2 millas al norte y 1.4 millas al este, podemos trazar sus coordenadas en (1.4, 1.2). De manera similar, las coordenadas del segundo nido están en (0.4, -2.1).

Si las coordenadas del primer nido son (x1, y1) y las coordenadas del segundo nido son (x2, y2), entonces el punto medio es:

((1.4+0.4)/2, (1.2-2.1)/2)

(1.8 / 2, -0.9 / 2)

(0.9; -0.9 / 2)

Es decir, el científico debe configurar su cámara en las coordenadas (0.9, -0.9 / 2). Dado que -0.9 / 2 es -0.45, la cámara debe estar en un lugar a 0.45 millas al norte de la instalación y a 0.9 millas al este.

name="ejemplo-6">ejemplo 6

El punto medio de un segmento de línea es (9, 4). Uno de los extremos del segmento de línea es (-8, -2). ¿Cuál es el otro punto final de este segmento de línea?

name="ejemplo-6-soluci-n">Ejemplo 6 Solución

Podemos insertar los valores que conocemos en la fórmula del punto medio y trabajar hacia atrás. Sabemos que el punto medio es (9, 4) y que un punto final es (-8, -2). Dejemos que esto sea (x1, y1). Entonces nosotros tenemos:

(-8+x2)/2=9 and (-2+y2)/2=4.

Ahora, podemos multiplicar ambos lados de ambas ecuaciones por 2, lo que nos da:

-8+x2=18 and -2+y2=8.

Finalmente, sumar 8 a ambos lados de la ecuación a la izquierda y 2 a ambos lados de la ecuación a la derecha nos da x2 = 26 e y2 = 10.

Por lo tanto, el otro punto final es (26, 10).

name="problemas-de-pr-ctica">Problemas de práctica

  1. Un segmento de línea conecta los puntos (9, 1) y (8, 7). ¿Cuál es el punto medio de este segmento de recta?
  2. Un segmento de línea conecta los puntos (-3, -6) y (-7, 1). ¿Cuál es el punto medio de este segmento de recta?
  3. Un segmento de línea conecta los puntos (-105, 207) y (819, 759). ¿Cuál es el punto medio de este segmento de recta?
  4. Un artista planea crear un mural. Planea pintar una estrella en un punto a 10 pies a la derecha y 5 pies por encima de la esquina inferior izquierda de la pared. También planea pintar una estrella en la esquina superior izquierda. El artista también planea pintar la luna exactamente entre las dos estrellas. Si la pared mide 12 pies de alto, ¿dónde debería pintar el artista la luna?
  5. Un segmento de línea tiene un punto medio en (-1, -2). Si uno de los extremos es (16, 8), ¿cuál es el otro extremo del segmento de línea?

name="clave-de-respuestas-de-problemas-de-pr-ctica">Clave de respuestas de problemas de práctica

  1. El punto medio es (17/2, 4)
  2. Este punto medio es (-5, -5/2)
  3. El punto medio es (357, 483)
  4. En este caso, las coordenadas de las estrellas son (10, 5) y (0, 12). El punto medio es (5, 17/2).
  5. El otro punto final es (-18, -12).



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