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    Función continua: condiciones, discontinuidades y ejemplos

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    Alejandra Rangel
    @alejandrarangel

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    Función continua: condiciones, discontinuidades y ejemplos

    ¿Has oído hablar de una función que se describa como continua en el pasado? Estas son las funciones con gráficos que no contienen huecos, asíntotas y espacios entre curvas. Estos gráficos "agradables" que hemos encontrado en el pasado se denominan funciones continuas.

    Las funciones continuas son funciones que se ven suaves en todas partes, y podemos graficarlos sin levantar nuestros propios bolígrafos.

    También podemos evaluar la continuidad de una función a través de límites y matemáticas superiores, y ese es nuestro enfoque en este artículo.



    • Conoceremos las condiciones de las funciones continuas.
    • Aplicaremos nuestras técnicas en la evaluación de límites para confirmar si una función es continua.
    • Aplique también técnicas gráficas para identificar si un gráfico es continuo o no.

    En cálculo, también volveremos a encontrar funciones continuas, por lo que aprender sobre ellas ahora puede ser útil, especialmente para aquellos que están a punto de progresar pronto al cálculo diferencial. ¿Por qué no seguimos adelante y entendemos qué representan estas funciones?

    ¿Qué es una función continua?

    Las funciones continuas son funciones que no tienen restricciones en todo su dominio o un intervalo dado. Sus gráficos tampoco contendrán asíntotas ni signos de discontinuidades.

    La gráfica de $ f (x) = x ^ 3 - 4x ^ 2 - x + 10 $ como se muestra a continuación es un gran ejemplo de la gráfica de una función continua. Como puede verse, el gráfico se extiende a lo largo de los lados positivo y negativo del eje $ x $.


    Dato curioso: todas las funciones polinomiales se consideran continuas en todo su dominio, ya que no tienen restricciones en su dominio.


    También podemos definir funciones continuas en función de las propiedades de sus funciones. Aprenderemos más sobre la identificación de funciones continuas en la sección posterior y también aprenderemos cómo identificar funciones que no son continuas.

    ¿Cómo determinar si una función es continua?

    En esta sección, discutiremos las condiciones más formales que debe satisfacer una función antes de poder establecer que es continua en todo su dominio o en un intervalo dado.

    Esto también nos ayudará en el proceso de confirmar si una función determinada es continua o no.

    Definición de función continua

    Una función también es continua en $ x = a $ cuando satisface todas tres condiciones que se muestran a continuación:

    • La función se define en $ a $ o, en otras palabras, $ a $ es parte del dominio de $ f (x) $.
    • Debe existir el límite de la función cuando $ x $ se acerca a $ a $.
    • Por último, el valor de $ f (a) $ y $ lim_ {x flecha derecha a} f (x) $ debe ser igual.

    Esta definición también nos guiará para identificar si una función es continua.

    ¿Recuerda que mencionamos que todas las funciones polinomiales son continuas en todo su dominio?

    Podemos verificar esto usando las tres condiciones:

    • Digamos que tenemos $ P (x) $, una función polinomial, el valor de $ P (x) $ en $ x = a $ se define en $ P (a) $.
    • Existe el límite para todos los polinomios en $ x = a $.
    • De nuestra discusión anterior sobre leyes de límites y evaluación de límites, podemos demostrar que $ lim_ {x flecha derecha a} P (x) = P (a) $.

    Echemos un vistazo a la gráfica de $ f (x) = x ^ 2 + 1 $, una función polinomial - función cuadrática, para ser exactos.



    Solo mediante inspección, podemos ver que en los puntos seleccionados, el valor de $ f (x) $ será igual al límite de $ f (x) $.

    • Por ejemplo, en $ x = 2 $ y $ x = -2 $, ambos valores están definidos y son parte del dominio de $ f (x) $.
    • El límite de $ f (x) $ cuando $ x $ se acerca a $ -2 $ o $ 2 $ también se define desde ambos extremos.
    • También podemos ver que $ lim_ {x flecha derecha -2} f (x) = f (-2) = 5 $ y $ lim_ {x flecha derecha 2} f (x) = f (2) = 5 $.

    Esto también confirma lo que sabemos: $ f (x) $ es continuo en $ x = -2 $ y $ x = -2 $. También podemos observar un comportamiento similar en $ x = {-6, -4, 4, 6} $. De hecho, a lo largo de $ x en (-infty, infty) $, $ f (x) = x ^ 2 + 1 $ será continuo.


    Ahora bien, ¿qué sucede si la función en $ x = a $ no cumple las tres condiciones? La siguiente sección discutirá a fondo las discontinuidades. También aprenderemos cómo podemos identificar funciones que, esta vez, no son continuas y veremos cómo podemos reescribir la función para que se vuelva continua.


    Entendiendo la discontinuidad

    Cuando queremos comprender la continuidad, también es importante que comprendamos las circunstancias y condiciones en las que se cumple una función determinada. no es continuo en $ x = a $.

    Cuando esto sucede, consideramos $ x = a $ una discontinuidad de una función.

    Hay tres razones comunes por las que una función puede no ser continua en $ x = a $: contiene un agujero, una asíntota o una inconsistencia en $ x = a $.

    Saltar discontinuidad

    Esta discontinuidad ocurre cuando los límites unilaterales de la función cuando se acerca a $ a ^ {-} $ y $ a ^ {+} $ son diferentes.

    El gráfico anterior ilustra cómo una función puede no ser continua porque sus límites unilaterales en $ x = a $ no son iguales. ¿Ves cómo cuando $ x $ se acerca a $ -1 $ y $ 1 $, el valor de $ f (x) $ “salta”? De ahí su nombre.

    Para el caso de este gráfico, podemos ver que cuando $ x $ se acerca por la izquierda de $ -1 $, tenemos $ lim_ {x flecha derecha -1 ^ {- 1}} f (x) = -2 $ y $ lim_ { x flecha derecha -1 ^ {+ 1}} f (x) = 4 $. A partir de esto, podemos ver que dado que el límite regular no existirá, la segunda condición de funciones continuas no se aplicará.

    Las discontinuidades de salto se encuentran a menudo en funciones por partes, así que siempre verifique los límites unilaterales para este tipo de funciones.

    Discontinuidad removible

    Este tipo de discontinuidad se encuentra a menudo en funciones racionales; de hecho, los huecos de las funciones racionales se consideran discontinuidades removibles. Las discontinuidades removibles ocurren cuando la función no está definida en $ x = a $.

    Este gráfico muestra una discontinuidad removible en $ x = 3 $. Esto significa que la función se define a través del resto de su dominio, excepto cuando $ x = 3 $.

    El límite de la función será $ 3 $ en ambos lados, entonces, ¿qué condición no cumple para que se vuelva continua? Es el primero: la función debe definirse en $ x = a $.

    Esta gráfica es, de hecho, la mitad de $ f (x) = dfrac {x ^ 2 -3x} {x ^ 2 - 9} $, y podemos verificar el límite de $ f (x) $ algebraicamente como se muestra a continuación.

    $ comenzar {alineado} lim_ {x flecha derecha 3} dfrac {x ^ 2 -3x} {x ^ 2 - 9} & = lim_ {x flecha derecha 3} dfrac {x (x - 3)} {(x - 3) ( x + 3)} & = lim_ {x flecha derecha 3} dfrac {x} {x + 3} & = dfrac {1} {2} final {alineado} $

    ¿Qué pasa si queremos que esta función sea continua? En su lugar, podemos redefinir la función en una función por partes y destacar el agujero.

    $ f (x) = left {begin {matrix} dfrac {x ^ 2 -3x} {x ^ 2-9}, & text {where} x neq 3 dfrac {1} {2}, & text {where} x = 3end {matrix} a la derecha. $

    ¡Ahora tenemos una función continua después de tener en cuenta el agujero!

    Discontinuidad de las asíntotas verticales

    Cuando una función contiene una asíntota vertical en $ x = a $, la función también tiene una discontinuidad en $ x = a $.

    El gráfico anterior es un ejemplo de una función que no es continua debido a una discontinuidad en $ x = 3 $. Observe cómo cuando $ x $ se acerca por la izquierda de $ 3 $, la función se acerca a $ -infty $? De manera similar, cuando $ x $ se aproxima por la derecha de $ 3 $, la función se aproxima a $ infty $.

    Esto significa que el límite de la función no existe y, en consecuencia, no la hace continua. Esta es también la razón por la otro nombre para esta discontinuidad es discontinuidad infinita.

    Tenga en cuenta que una función puede contener más de una discontinuidad, por lo que es mejor verificar bien el gráfico o los límites de su función.

    Ahora que nos hemos ocupado de las posibles condiciones en las que una función puede no ser continua, ¿por qué no seguimos adelante y aprendemos más sobre otras propiedades importantes de las funciones continuas?

    ¿Cuáles son otras propiedades importantes de las funciones continuas?

    Ahora hemos aprendido a identificar funciones continuas y a ser capaces de evaluar funciones en busca de discontinuidades. Estas propiedades a continuación nos ayudarán a confirmar y probar si una función es continua mediante el uso de funciones más simples.

    Propiedad 1: $ símbolo en negrita {k cdot f (x)} $

    Cuando $ k $ es una constante y $ f (x) $ es una función continua cuando $ x = a $, entonces $ kcdot f (x) $ también es continuo en $ x = a $.

    Propiedad 2: $ símbolo en negrita {f (x) + g (x)} $

    Cuando $ f (x) $ y $ g (x) $ son funciones continuas cuando $ x = a $, entonces la función resultante cuando sumamos $ f (x) $ y $ g (x) $ también será continua en $ x = un $.

    Propiedad 3: $ símbolo en negrita {f (x) - g (x)} $

    Cuando $ f (x) $ y $ g (x) $ son funciones continuas cuando $ x = a $, entonces la diferencia entre las funciones también será una función que es continua cuando $ x = a $.

    Propiedad 4: $ símbolo en negrita {f (x) cdot g (x)} $

    Si las funciones $ f (x) $ y $ g (x) $ son funciones continuas en $ x = a $, el producto de las dos funciones también es continuo en $ x = a $.

    Propiedad 5: $ símbolo en negrita {dfrac {f (x)} {g (x)}} $

    Si las funciones $ f (x) $ y $ g (x) $ son continuas cuando $ x = a $ y $ g (a) neq 0 $, la razón de $ f (x) $ y $ g (x) $ , también es continua en $ x = a $.

    Propiedad 6: $ símbolo en negrita {f (g (x))} $

    Cuando $ g (x) $ es continuo en $ x = a $ y $ f (x) $ es continuo en $ x = g (a) $, entonces $ f (g (x)) $ también será continuo en $ x = un $.

    Funciones comunes que son continuas

    Estas son algunas de las funciones que puede haber encontrado en el pasado y que se sabe que son continuas dentro de su dominio.

    • Sine function: $y = sin x$
    • Cosine function: $y = cos x$
    • Función tangente: $ y = tan x $
    • Función radical: $ y = sqrt {x} $
    • Función exponencial: $ y = a ^ x $, donde $ a> 0 $ y $ y = e ^ x $
    • Función logarítmica natural: $ y = ln x $

    Quizás se pregunte, las funciones tangentes y radicales tienen restricciones, entonces, ¿cómo son continuas? Aquí es cuando es importante resaltar que estas funciones son solo continuas dentro de su dominio.

    Por ejemplo, $ sqrt {x - 1} $ tiene un dominio de $ [0, infty) $, por lo que se espera que sea continuo dentro del intervalo, $ [0, infty) $. Es decir, si se pregunta si $ sqrt {x - 1} $ es continuo en $ x = -2 $, por supuesto, no lo será ya que la función no está definida en $ x = -2 $.

    Esto puede ayudarlo a identificar funciones continuas (junto con las propiedades discutidas anteriormente), especialmente cuando tiene expresiones complejas.

    Sigamos adelante y probemos más ejemplos para comprender mejor las funciones continuas y discontinuas.

    ejemplo 1

    Complete los espacios en blanco para que las siguientes afirmaciones sean verdaderas.

    una. Si $ f (2) = -24 $ y $ f (x) $ es una función continua, $ lim_ {x flecha derecha 2} f (x) $ es igual a ____________.
    B. Si $ g (x) $ tiene un agujero en $ (5, 4) $, la función no es continua en ____________.
    C. Si h (x) contiene una asíntota vertical en $ x = -1 $, la función no es continua cuando _________.

    Solución

    Recuerde que cuando la función y su límite se definen en $ x = a $, la tercera condición requerirá que los valores de los dos sean iguales.

    una. Esto significa que para que $ f (x) $ sea continuo, $ lim_ {x flecha derecha 2} f (x) $ también debe ser igual a $ boldsymbol {-24} $.
    Cuando una función tiene un agujero en $ (a, b) $, hay discontinuidad removible en $ x = a $.
    B. Dado que $ g (x) $ tiene un agujero en $ (5, 4) $, tiene una discontinuidad removible en la coordenada $ x $ del agujero. Es decir, $ g (x) $ no es continuo en $ boldsymbol {x = 5} $.
    Cuando una función contiene una asíntota vertical, su valor y límite serán indefinidos en el valor de la asíntota vertical.
    C. Con esta información, $ h (x) $ es continuo en todo su dominio, excepto que es igual a $ -1 $. Por tanto, la función es continua cuando $ boldsymbol {x = -1} $.

    ejemplo 2

    Analice la continuidad de la siguiente función en los puntos correspondientes dados.

    una. $ f (x) = -4x ^ 2 + 8 $, cuando $ x = 4 $
    B. $ g (x) = dfrac {5x + 1} {2x - 3} $, cuando $ x = 3 $
    C. $ h (x) = sqrt {x ^ 2 + 2} $, cuando $ x = -2 $

    Solución

    Al confirmar si una función es continua, asegúrese de verificar tres cosas:

    1. La función se define en $ x = a $.
    2. El límite existe cuando la función se acerca a $ a $.
    3. Por último, si tenemos $ f (x) $, $ lim_ {x flecha derecha a} f (x) = f (a) $.

    Comencemos con $ f (x) = -4x ^ 2 + 8 $ y veamos si esta función satisface las tres condiciones.

    • Dado que $ f (x) $ es un polinomio, todos los valores de $ x $, incluido $ 4 $, se definen en $ f (x) $. De hecho, $ f (4) $ es igual a $ -4 (4) ^ 2 + 8 = -56 $.
    • Para funciones polinomiales, $ lim_ {x flecha derecha a} f (x) = f (a) $, entonces $ lim_ {x flecha derecha 4} f (4) = -56 $.
    • Esto también significa que $ lim_ {x flecha derecha 4} f (x) = f (4) $.

    Como hemos comentado en las secciones anteriores, todos los polinomios son continuos.

    una. Todos estos confirman que $ boldsymbol {f (x)} $ es una función continua.

     Podemos inspeccionar la segunda función, $ g (x) = dfrac {5x + 1} {2x - 3} $, usando el mismo proceso. Comencemos evaluando $ g (3) $ como se muestra a continuación.

    $begin{aligned}g(3)&=dfrac{5(3) + 1}{2(3)  – 3}&=dfrac{16}{0}end{aligned}$

    A partir de esto, podemos ver que $ g (3) $ no está definido. No es necesario que verifiquemos las condiciones restantes cuando esto sucede.

    B. Como $ g (3) $ no está definido, $ boldsymbol {g (x)} $ no es una función continua.

    Pasemos a la tercera función: $ h (x) = sqrt {x ^ 2 + 2} $.

    • Sustituya $ x = -2 $ en la expresión de $ h (x) $. Por lo tanto, tenemos $ h (-2) = sqrt {((- 2) ^ 2 + 2} = sqrt {6} $. Esto significa que $ h (x) $ se define en $ x = -2 $.
    • A continuación, evaluemos el límite de $ h (x) $ a medida que se acerca a $ x = -2 $: $ lim_ {x flecha derecha -2} sqrt {x ^ 2 + 2} = sqrt {(- 2) ^ 2 + 2 } = raíz cuadrada {6} $.
    • Comparando el límite y el valor de $ h (x) $ cuando $ x = -2 $, tenemos $ h (-2) = lim_ {x flecha derecha -2} h (x) = sqrt {6} $.

    C. Viendo que $ h (x) $ satisface las tres condiciones cuando $ x = -2 $, $ boldsymbol {h (x)} $ es una función continua.

    ejemplo 3

    ¿Es la función $ f (x) = left {begin {matrix} -3x + 1, & x <4 2x - 5, & xgeq4end {matrix} right. $, Continua en $ x = 4 $?

    Solución

    Como hicimos en el ejemplo anterior, podemos verificar la continuidad revisando las tres condiciones.

    Comenzando por verificar si $ f (a) $ está definido. Cuando $ x geq 4 $, tenemos $ f (x) $ = 2x - 5. Esto significa que $ f (4) = 2 (4) - 5 = 3 $.

    Sigamos adelante y observemos el límite de $ f (x) $ cuando se acerca a $ 4 $. Estamos trabajando con una función por partes, por lo que es mejor verificar los límites unilaterales de $ f (x) $.

    De esto, podemos ver que $ lim_ {x rightarrow 4 ^ {-}} f (x) neq lim_ {x rightarrow 4 ^ {+}} f (x) $, por lo que el límite para $ f (x) $ es no definida.

    En este punto, dado que $ f (x) $ no cumple la segunda condición, $ f (x) $ no es continuo.

    ejemplo 4

    Identifique cuáles de las siguientes funciones son discontinuas. Si trabaja con una función discontinua, identifique el tipo de discontinuidad que tiene.

    a. $ f (x) = -2x ^ 3 + 5x - 9 $
    B. $ f (x) = dfrac {1} {4x ^ 2 + 4} $
    C. $ f (x) = dfrac {2x ^ 2 - 2x} {4x} $
    D. $ f (x) = dfrac {x - 4} {x ^ 2 - 6x + 8} $

    Solución

    una. Dado que la función $ f (x) = -2x ^ 3 + 5x - 9 $, es una función polinomial, es continuo en todo su dominio, $ (- infty, infty) $.

    Aunque la función es racional y puede contener asíntotas, el denominador de $ f (x) $ es $ 4x ^ 2 + 4 $, que nunca puede ser negativo.

    B. Esto significa que $ f (x) = dfrac {1} {4x ^ 2 + 4} $ no tiene restricciones y cuando esto sucede, esta función racional es continuo.

    Para $ f (x) = dfrac {2x ^ 2 - 2x} {4x} $, factoricemos el numerador primero y veamos si el numerador y el denominador comparten un factor común.

    $ comenzar {alineado} dfrac {2x ^ 2 - 2x} {4x} & = dfrac {2x (x - 2)} {2 (2x)} & = dfrac {cancelar {2x} (x - 2)} {2cancel {(2x)}} & = dfrac {x-2} {2} final {alineado} $

    Dado que el numerador y el denominador de $ f (x) $ comparten un factor común de $ 2x $, tiene un hueco en $ x = 0 $.

    Para encontrar la coordenada $ y $ del agujero, podemos sustituir $ x = 0 $ en la forma simplificada de $ f (x) $.

    $ comenzar {alineado} f (x) & = dfrac {x-2} {2} f (0) & = dfrac {0-2} {2} & = - 1end {alineado} $

    C. Dado que $ f (x) $ tiene un agujero y, en consecuencia, una discontinuidad en $ x = 0 $. Como tenemos una discontinuidad en un agujero, $ f (x) $ no es continuo y podemos considerarlo un discontinuidad removible.

    Sigamos adelante y expresemos el denominador de $ f (x) $ en forma factorizada: $ dfrac {x - 4} {x ^ 2 - 6x + 8} = dfrac {x - 4} {(x -2) (x - 4)} $.

    Dado que $ x - 4 $ es un factor común compartido por el numerador y denominador de $ f (x) $, hay un hueco en $ x = 4 $. Encuentre la coordenada $ y $ sustituyendo $ x = 4 $ en la forma simplificada de $ f (x) $.

    $ comenzar {alineado} f (x) & = dfrac {cancelar {x - 4}} {(x -2) cancelar {(x - 4)}} & = dfrac {1} {x -2} \ f (4) & = dfrac {1} {4 -2} & = dfrac {1} {2} final {alineado} $

    De la forma simplificada de $ f (x) $, $ dfrac {1} {x - 2} $, podemos ver que $ f (x) $ también tendrá una asíntota vertical en $ x = 2 $.

    D. Esto significa que $ f (x) $ no es continuo y $ x = 4 $ es un discontinuidad removible mientras que $ x = 2 $ es un discontinuidad infinita.

    ejemplo 5

    Dado que la función, $ f (x) = left {begin {matrix} Mx + N, & xleq -1 3x ^ 2 - 5Mx -N, & - 1 1end {matriz} a la derecha. $, Es continuo para todos los valores de $ x $, encuentre los valores de $ M $ y $ N $.

    Solución

    Inspeccionemos la continuidad de $ f (x) $ en cada uno de los componentes de la función por partes.

    • Cuando $ x leq -1 $, $ f (x) = Mx + N $, y dado que esta es una función polinomial, podemos decir que $ Mx + N $ siempre será continuo independientemente de $ M $ y $ N $ ' s valores.
    • El mismo razonamiento se aplica cuando $ f (x) = 3x ^ 2 - 5x - N $ y $ f (x) = -6 $ para los intervalos, $ -1 -1 $, respectivamente.

    Para asegurarnos de que $ f (x) $ sea continuo, necesitaremos inspeccionar cómo se comporta en $ x = -1 $ y $ x = 1 $.

    Comenzando con la primera condición de funciones continuas, se deben definir $ f (-1) $ y $ f (1) $.

    Esto significa que $ f (-1) = N -M $ y $ f (1) = 3 - 5M - N $ deben definirse para que $ f (x) $ sea continuo.

    Evaluemos los límites unilaterales de $ f (x) $ cuando $ x $ se acercan tanto a $ 1 $ como a $ -1 $. Comenzando con $ lim_ {x flecha derecha -1 ^ {-}} f (x) $ y $ lim_ {x flecha derecha -1 ^ {+}} f (x) $:

    Para que exista y se defina el límite de $ f (x) $, ambos límites unilaterales deben ser iguales entre sí. Equiparar las expresiones de los dos límites unilaterales entre sí.

    $ comenzar {alineado} lim_ {x flecha derecha -1 ^ {-}} f (x) & = lim_ {x flecha derecha -1 ^ {+}} f (x) N -M & = 3 + 5M -N 2N - 6M & = 3end {alineado} $

    Aplicamos el mismo proceso para observar los límites unilaterales de $ f (x) $ cuando se acerca a $ x = 1 $.

    Igualando los dos límites, tenemos la ecuación que se muestra a continuación.

    $ comenzar {alineado} lim_ {x flecha derecha 1 ^ {-}} f (x) & = lim_ {x flecha derecha 1 ^ {+}} f (x) 3 - 5M - N & = -6 -5M - N & = -9 5M + N & = 9end {alineado} $

    Esto significa que $ M $ y $ N $ deben satisfacer las ecuaciones simultáneas, $ 2N - 6M = 3 $ y $ 5M + N = 9 $. Apliquemos lo que hemos aprendido al resolver sistemas de ecuaciones lineales para encontrar $ M $ y $ N $.

    • Aísle $ N $ de la segunda ecuación.
    • Sustituye esta expresión en la primera ecuación para encontrar $ M $.
    • Utilice el valor de $ M $ para encontrar $ N $.

    $ inicio {alineado} 5M + N & = 9 N & = 9- 5M \ 2N - 6M & = 3 2 (9 - 5M) - 6M & = 3 18 - 10M- 6M & = 3 18 - 16M & = 3 -16M & = -15 M & = dfrac {15} {16} final {alineado} $

    Usando $ M = dfrac {15} {16} $, ahora podemos encontrar $ N $ usando $ N = 9-5M $.

    $ comenzar {alineado} N & = 9- 5izquierda (dfrac {15} {16} derecha) & = 9 - dfrac {75} {16} & = dfrac {69} {16} final {alineado} $

    Esto significa que para que $ f (x) $ sea continuo, necesitamos que $ M $ y $ N $ sean iguales a $ dfrac {15} {16} $ y $ dfrac {69} {16} $, respectivamente.

    Preguntas de práctica

    1. Complete los espacios en blanco para que las siguientes afirmaciones sean verdaderas.

    una. Si $ f (4) = -dfrac {1} {2} $ y $ f (x) $ es una función continua, $ lim_ {x flecha derecha 4} f (x) $ es igual a ____________.
    B. Si $ g (x) $ tiene un agujero en $ (- 2, -1) $, la función no es continua en ____________.
    C. Si $ h (x) $ contiene una asíntota vertical en $ x = sqrt {3} $, la función no es continua cuando _________.

    2. Analice la continuidad de la siguiente función en los puntos correspondientes dados.
    una. $ f (x) = 2x ^ 2 - 3x + 14 $, cuando $ x = -1 $
    B. $ g (x) = dfrac {-2x + 3} {4x - 1} $, cuando $ x = dfrac {1} {4} $
    C. $ h (x) = sqrt {4x ^ 2 + 1} $, cuando $ x = -dfrac {1} {2} $

    3. ¿La función $ f (x) = left {begin {matrix} -5x + 3, & x <5 3x + 7, & xgeq5end {matrix} right. $, Continua en $ x = 5 $?
    4. Identifique cuáles de las siguientes funciones son discontinuas. Si trabaja con una función discontinua, identifique el tipo de discontinuidad que tiene.
    una. $ f (x) = 4x ^ 3 - 12x ^ 2 + 6x - 20 $
    B. $ f (x) = dfrac {1} {2x ^ 2 + 1} $
    C. $ f (x) = dfrac {x} {3x ^ 2 - 6x} $
    D. $ f (x) = dfrac {x + 5} {x ^ 2 + 10x + 25} $
    5. Dado que la función, $ f (x) = left {begin {matrix} Mx + N, & xleq -1 -2x ^ 2 +6 Mx -N, & - 1 1end {matriz} a la derecha. $, Es continuo para todos los valores de $ x $, encuentre los valores de $ M $ y $ N $.

    clave de respuestas

    1.

    una. $ -dfrac {1} {2} $

    B. $ x = -2 $

    C. $ x = raíz {3} $

    2.

    una. Continuo

    B. No continuo

    C. Continuo

    3. No continuo

    4.

    una. $ f (x) $ es continuo.

    B. $ f (x) $ es continuo.

    C. $ f (x) $ no es continuo; discontinuidad removible en $ x = 0 $ y una discontinuidad infinita en $ x = 2 $.

    D. $ f (x) $ no es continuo; discontinuidad infinita en $ x = -5 $.

    5. $M=dfrac{18}{7},N=dfrac{38}{7}$

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