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    Función de número entero más grande: explicación y ejemplos

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    Valery Aloyants
    @valeryaloyants

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    Función de número entero más grande: explicación y ejemplos

    Al estudiar gráficos y funciones, se le presentará una función única llamada mayor función entera. Aquí hay un recordatorio rápido de la definición de las funciones enteras más grandes:

    Las funciones de números enteros más grandes (o funciones escalonadas) devuelven el redondeo hacia abajo valor entero de un número dado.

    Si lo ha visto en sus lecciones anteriores o en sus libros de texto, ¿se ha preguntado alguna vez por qué estas funciones se denominan funciones de pasos? La respuesta a esa pregunta se encuentra en este artículo. Aprenderemos sobre la definición, las propiedades y el gráfico de esta función.



    ¿Cuál es la función entera más grande?

    La función de número entero mayor es una función que devuelve un valor constante para cada intervalo específico. Estas funciones están normalmente representadas por un corchete abierto y cerrado, []. Estos valores son los valores enteros redondeados hacia abajo de la expresión que se encuentran entre corchetes. A continuación se muestran algunos ejemplos de las funciones de números enteros más grandes:

    • $ f (x) = [-5.678] $
    • $ g (x) = [-x + 1] $
    • $ h (x) = [-4x2 - 5] $

    Cuando la expresión dentro de los corchetes es solo una constante, encontraremos los números mayor valor entero.

    ¿Cómo encontrar el mayor valor entero?

    Primero entendamos cómo podemos encontrar el mayor valor entero de un número dado. Aquí hay dos reglas para recordar al encontrar los mayores valores enteros:

    • Si el número entre paréntesis no es un número entero, devolvemos el número entero más pequeño cerca del número dado.
      • Por ejemplo, si tenemos $ f (x) = [-15.698] $, los dos enteros más cercanos son $ -16 $ y $ -15 $. Para los valores enteros más grandes, siempre elegimos el número entero más pequeño. Esto significa que $ [- 15.698] = -16 $.



    • Si el número entre corchetes es un entero, devolvemos el número original.
      • Esto significa que si tenemos $ g (x) = [48] $, el mayor valor entero es igual a $ 48 $.

    A continuación, se muestran algunos ejemplos más de los valores enteros más grandes:

    Una vez que dominemos nuestras habilidades para encontrar los mayores valores enteros, podemos usar esto para graficar las mayores funciones enteras. En la sección de este artículo, aprenderemos por qué esta función también se denomina función escalonada.


    ¿Cómo graficar la función de número entero más grande?

    Es hora de que aprendamos cómo se presenta la función de entero más grande en un sistema de coordenadas $ xy $. Aplicamos el mismo proceso al graficar cualquier otra función:


    • Construya una tabla de valores que satisfaga las condiciones de la función.
    • Trace estos puntos en la gráfica.
    • Conecta los puntos con una línea o una curva para construir la función.

    Pero, ¿qué hace que la función de número entero mayor o la función de paso sea única? Trabajamos con intervalos y puntos finales como puntos abiertos y cerrados.

    • Cada intervalo tendrá un punto sombreado en el número entero más pequeño y un punto sin relleno en el número entero más grande.
    • Luego, cada uno de ellos estará conectado por líneas verticales.
    • Se aplicará el mismo proceso para cada intervalo.

    Trabajemos en graficar $ f (x) = [x] $ primero y podemos hacer esto creando primero una tabla de valores.

    Ahora que tenemos los valores para cada intervalo, podemos trazar cada punto abierto y cerrado. Conecte cada par de puntos con una línea a continuación. A continuación se muestra cómo se trazará el intervalo, $ [0, 1) $:


    Haga lo mismo para el resto de los intervalos y podrá obtener el gráfico que se muestra a continuación.


    Como puede ver, el gráfico de arriba parece un escalón de escalera y, por lo tanto, su nombre: función de paso. También podemos aplicar la misma técnica al graficar para diferentes funciones escalonadas.

    ¿Cómo traducir $ boldsymbol {f (x) = [x]} $?

    Ahora hemos aprendido cómo graficar $ f (x) = [x] $. Para ahorrar tiempo y también practicar nuestro conocimiento sobre funciones gráficas, también podemos graficar funciones escalonadas traduciendo $ f (x) = [x] $.

    • Si la función escalonada tiene la forma $ f (x) = [x - h] $ o $ f (x) = [x + h] $, traduzca la gráfica de $ y = [x] $ por $ h $ unidades a la izquierda o derecha.
    • Si la función escalonada tiene la forma $ f (x) = [x] + k $ o $ f (x) = [x] - k $, traduzca la gráfica de $ y = [x] $ por $ k $ unidades hacia arriba o hacia abajo, respectivamente.
    • Si la función de paso tiene la forma $ f (x) = b [x] $ o $ f (x) = dfrac {1} {b [x]} $, encoger o estirar verticalmente la gráfica de $ y = [x] $ por un factor de $ b $.
    • Si la función de paso tiene la forma $ f (x) = [bx] $ o $ f (x) = left [dfrac {x} {b} right] $, encoger o estirar horizontalmente la gráfica de $ y = [x] $ por un factor de $ b $.
    • Si la función escalonada tiene un coeficiente negativo, refleje $ y = [x] $ sobre el eje $ x $.

    También puede graficar funciones escalonadas construyendo una tabla de valores, pero conocer estas traducciones también puede ayudar a verificar la gráfica que construimos.

    Resumen de la mayor definición de función entera

    Ahora hemos aprendido sobre la función de número entero más grande y eso incluye su definición fundamental, propiedades e incluso su gráfico.

    Ahora podemos comenzar a trabajar en problemas más complejos en la siguiente sección, pero antes de hacerlo, resumamos lo que hemos aprendido hasta ahora:

    • Las funciones de números enteros más grandes (o funciones de pasos) pueden ayudarnos a encontrar el valor entero más pequeño cercano a un número dado.
    • La gráfica de la función escalonada se puede determinar encontrando los valores de $ y $ en ciertos intervalos de $ x $.
    • El gráfico de las funciones enteras más grandes parece un escalón de escalera.
    • Podemos traducir la gráfica de $ f (x) = [x] $ para representar gráficamente otras funciones.

    ejemplo 1

    Encuentre los valores enteros más grandes de lo siguiente:

    una. $ [- 12.01] $

    B. $ [45.99] $

    C. $ [- 54] $

    D. $ izquierda [12 dfrac {3} {4} derecha] $

    Solución

    una. Dado que $ -12.01 $ es un número decimal negativo, encontramos el número entero más pequeño entre $ -13 $ y $ -12 $. Usando la recta numérica como guía, podemos ver que el número entero más pequeño es $ -13 $.

    B. Dado que $ 45.99 $ es un número decimal positivo, encontramos el número entero más pequeño entre $ 45 $ y $ 46 $. Usando la recta numérica como guía, podemos ver que el número entero más pequeño es $ 45 $.

    C. Como $ -54 $ es un número entero negativo, seleccionamos el número entero en sí.

    D. Dado que $ -12 dfrac {3} {4} $ es un número mixto negativo, encontramos el entero más pequeño entre $ -13 $ y $ 12 $. Usando la recta numérica como guía, podemos ver que el número entero más pequeño es $ -13 $.

    ejemplo 2

    Si $ f (x) = [2x + 1] $, ¿cuál es el valor de $ f (-3.2) $?

    Solución

    Sustituimos $ -3.2 $ en la expresión de $ f (x) $ y simplificamos el valor dentro del corchete.

    $ comenzar {alineado} f (-3.2) & = [2 (-3.2) + 1] & = [-6.4 + 1] & = [- 5.4] final {alineado} $

    Para encontrar $ [- 5.4] $, seleccione el siguiente entero más pequeño, por lo que es $ -6 $. Por tanto, $ f (-3.2) = -6 $.

    ejemplo 3

    Si $ g (x) = [-27x ^ 2 + 1] $, ¿cuál es el valor de $ gleft (-dfrac {1} {3} right) $?

    Solución

    Sustituimos $ -dfrac {1} {3} $ en la expresión de $ g (x) $ y simplificamos el valor dentro del corchete.

    $ comenzar {alineado} gleft (-dfrac {1} {3} derecha) & = [-27 (-1/3) 2 + 1] & = [-27 (1/9) + 1] & = [ -3 + 1] & = [-2] final {alineado} $

    Dado que $ [- 2] $ contiene un número entero negativo, devolvemos el mismo valor. Por tanto, $ fleft (-dfrac {1} {3} right) = -2 $.

    ejemplo 4

    Construya la tabla de valores de $ f (x) = [x] + 1 $ para los intervalos $ -3 $ a $ 3 $.

    Solución

    Sustituya cada número entero entre $ -3 $ y $ 3 $ en la función. Probemos $ f (-3) $.

    $ inicio {alineado} g (-3) & = [-3] + 1 & = [-3] + 1 final {alineado} $

    Dado que $ [- 3] $ contiene un número entero negativo, devolvemos el mismo valor. Por tanto, $ f (-3) = -2 $.

    Aplique el mismo proceso para encontrar los mayores valores enteros del resto y resuma los resultados usando una tabla.

    También es útil tomar nota de los pares ordenados que están llenos y sin completar. La tabla anterior resume los valores de $ f (x) $ para los intervalos $ -3 $ a $ 3 $.

    ejemplo 5

    Use la tabla de valores del Ejemplo 4 para representar gráficamente $ f (x) = [x] + 1 $.

    Solución

    Utilizando la tabla de valores, trace primero los puntos rellenos y sin rellenar en el gráfico. Conecte cada par de puntos con una línea vertical para cubrir todos los demás valores entre los dos números enteros.

    El gráfico de arriba muestra la función paso, $ f (x) = [x] + 1 $. Observe que su función es en realidad solo la gráfica de $ y = [x] $ pero trasladada una unidad hacia arriba.

    ejemplo 5

    Grafica $ g (x) = left [dfrac {x} {2} right] + dfrac {1} {2} $ usando cualquier método. Compare las gráficas con la gráfica de $ y = [x] $.

    Solución

    Aunque podemos graficar $ g (x) $ construyendo tablas, intentemos comparar la función con $ y = [x] $ para ver las traducciones realizadas.

    Dado que $ dfrac {1} {2} $ es un coeficiente de $ x $ en $ [x] $, podemos ver que la gráfica se estiraría verticalmente por un factor de $ 2 $.

    Después de estirar la gráfica de $ y = [x] $, traslade la gráfica $ dfrac {1} {2} $ unidad hacia arriba. El gráfico en naranja muestra el gráfico de $ y = left [dfrac {x} {2} right] + dfrac {1} {2} $.

    También puede intentar graficar la función escalonada construyendo una tabla de valores.

    Preguntas de práctica

    1. Encuentre los valores enteros más grandes de lo siguiente:
    una. $ [- 13.01] $
    B. $ [123.99] $
    C. $ [- 99] $
    D. $ izquierda [-14 dfrac {1} {2} derecha] $
    2. Si $ g (x) = [-8 × 2 + 2] $, ¿cuál es el valor de $ g (-0.5) $?
    3. Si $ h (x) = [-81x ^ 4 + 4] $, ¿cuál es el valor de $ hleft (-dfrac {1} {3} right) $?
    5. Construya una tabla de valores y grafique las siguientes funciones:
    a. $ f (x) = 2 [x] $
    B. $ g (x) = [x - 1] $
    C. $ h (x) = 3 [x] + 4 $
    6. Grafique las siguientes funciones usando cualquier método. Compare las gráficas con la gráfica de $ y = [x] $.
    una. $ f (x) = 3 [x] $
    B. $ g (x) = [x / 2] - 2 $
    C. $ h (x) = 4 [x] - 2 $



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