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    Función de potencia: propiedades, gráficos y aplicaciones

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    Aina Prat
    @ainaprat

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    Función de potencia: propiedades, gráficos y aplicaciones

    ¿Alguna vez ha trabajado con una función que contiene un solo término? Lo más probable es que haya estado trabajando con una función de potencia. Este tipo de función es tan diverso que si está estudiando funciones, estamos 100% seguros de que ya ha encontrado un tipo de función de potencia sin saber que es una.

    ¿Por qué no comenzamos con la definición de funciones de poder?

    Una función de potencia es una función de un solo término que contiene una variable en su base y una constante para su exponente.



    Esto significa que hay muchas funciones principales que también son funciones de potencia. En este artículo, aprenderemos:

    • El concepto detrás de las funciones de potencia.
    • Propiedades especiales que puede presentar una función de potencia.
    • Aplique estas propiedades al graficar e identificar funciones de potencia.

    Asegúrese de tener un bloc de notas a mano, ya que será una discusión detallada de las funciones de energía. Incluso aprenderemos a aplicar funciones de potencia en problemas verbales.

    ¿Por qué no seguimos adelante y comenzamos con su definición y algunos ejemplos de funciones de poder?

    ¿Qué es una función de potencia?

    Antes de profundizar en las propiedades importantes de la función de potencia, debemos comprender la definición fundamental de funciones de potencia. Aquí está la forma general de funciones de potencia:

    Sigamos adelante y analicemos esta forma general y busquemos ejemplos de funciones de potencia usando esta definición.

    Asegúrese de familiarizarse con este formulario, ya que lo usaremos repetidamente a lo largo del artículo.

    Definición y ejemplos de funciones de potencia

    Como se muestra en la sección anterior, las funciones de potencia son funciones en forma de f (x) = kxa or y = kxa, Donde k es un coeficiente distinto de cero, y a es un número real.



    A continuación se muestran algunos ejemplos de funciones de potencia:

    • y = -5x2
    • y = 2 √x
    • f (x) = 3 / x2
    • g (x) = 2x3

    Date cuenta cómo cada función solo contiene un solo término para cada ejemplo, un identificador importante de funciones de poder. Los exponentes de las funciones de potencia también deben ser números reales, así que inspeccionemos cada exponente de los ejemplos para confirmarlo.

    • La función y = -5x2 y g (x) = 2x3 son funciones con números enteros como exponentes, por lo que son funciones de potencia.
    • La función de raíz cuadrada, y = 2 √x, se puede reescribir como y = 2x1/2, por lo que su exponente es un número real, por lo que también es una función de potencia.
    • Aplicamos el mismo proceso con f (x) = 3 / x2 y tenemos f (x) = 3x-2 confirmando que es una función de potencia ya que -2 es un número real.

    A continuación se muestran solo algunas funciones principales, y veamos por qué también se consideran funciones de potencia.

    Dado que estas funciones madre contienen un término cada una y números reales para sus exponentes, todas son funciones de potencia.


     Â¿Cómo graficar funciones de potencia?                

    Al graficar funciones de potencia, debemos tener en cuenta estas dos propiedades importantes de las funciones de potencia: su simetría y comportamiento final.


    Aquí hay una guía rápida sobre cómo graficamos las funciones de potencia para mostrarle por qué estas dos pueden ayudarlo a ahorrar tiempo:

    • Determina si la función de potencia es par o impar.
    • Aplica transformaciones siempre que puedas.
    • Encuentra algunos puntos que te ayuden a graficar la mitad de la función de potencia.
    • Aplicar la propiedad de simetría de la función de potencia dada.
    • Vuelva a verificar sus comportamientos finales.

    ¿Por qué no refrescamos nuestro conocimiento sobre funciones pares e impares y vemos cómo afectan un gráfico de función de potencia?

    Incluso la simetría y el comportamiento final de las funciones de potencia

    Las funciones de potencia son pares o impares, por lo que también son ya sea simétrico sobre el eje y y el origen. También podemos predecir el comportamiento final de las funciones de potencia en función de su coeficiente y potencia.

    Observemos la gráfica de estas funciones de potencia pares: y = 2x2 e y = -4x4. Para graficar cada función, trace algunos puntos que se encuentran en el lado derecho y refleje esta curva sobre el eje y.

    Para ambas gráficas, dado que los exponentes son pares, las funciones también lo son y, en consecuencia, sus gráficas son simétricas a lo largo del eje y.

    Empecemos con incluso funciones de potencia donde el coeficiente es positivo como y = 2x2.

    • Dado que el coeficiente, 2, es positivo, el el gráfico se abre hacia arriba.
    • Podemos ver que cuando x <0, la función es decreciente y cuando x> 0, la función es decreciente.
    • En consecuencia, tanto el lado izquierdo como el derecho de la curva subirían (↑).

    Ahora, observemos incluso funciones de potencia donde el coeficiente es negativo como y = -4x4.



    • Dado que el coeficiente, -4, es negativo, el el gráfico se abre hacia abajo.
    • Aquí, podemos ver que cuando x <0, la función aumenta, y cuando x> 0, la función disminuye.
    • Esto significa que para ambos lados, esperamos que la curva baje (↓).

    Simetría de funciones de potencia impares y comportamiento final

    ¿Qué hay de las funciones de potencia extrañas? Sigamos adelante y observemos estas dos funciones: y = 3x3 e y = -x5.

    Para graficar las dos funciones, podemos graficar algunos valores en el lado izquierdo o derecho del plano de coordenadas. Refleja el gráfico sobre el origen.

    De la definición de funciones impares, podemos ver que ambas funciones de potencia son simétrico sobre el origen.

    Aquí hay algunas cosas que podemos observar con base en la gráfica de y = 3x3, donde el el coeficiente es positivo:

    • Podemos ver que cuando x <0, la función aumenta, y cuando x> 0, la función aumenta.
    • En consecuencia, el el lado izquierdo va hacia abajo (↓) mientras que el el lado derecho está subiendo (↑).

    Observemos ahora el comportamiento de funciones impares cuando el coeficiente es negativo.

    • Podemos ver que cuando x <0 y x> 0, la función es decreciente
    • En consecuencia, el el lado izquierdo está subiendo (↑) mientras que el el lado derecho va hacia abajo (↓).

    Entendiendo el efecto del exponente, un

    Hemos analizado a fondo los efectos en la gráfica de una función de potencia en función de su paridad y el valor de k. Ahora, intentemos observar la diferencia cuando a es una fracción y cuando a es un número entero.

    Caso 1: Cuándo a = 0 y a = 1, esperaban la gráfica para reducir a una función constante y una función lineal, respectivamente.

    Las gráficas de y = 2 y y = 2x pueden confirmar esto. El mismo comportamiento se aplica a todos los valores de k.

    El dominio para este caso serán todos los números reales, o en notación de intervalo, eso es (-∞, ∞).

    Caso 2: Cuándo a <0. Observemos las gráficas de y = x-1 e y = x-2:

    Cuando a es negativo y la función de potencia devuelve una expresión racional, podemos ver que el los gráficos se acercan pero nunca son iguales a 0. Esto significa que el dominio de estas funciones de potencia será cualquier número real excepto 0, entonces el dominio es (-∞, 0) U (0, ∞).

    Los dos gráficos son también cóncava hacia arriba en ambos lados.

    Caso 3: Cuándo 1 <a <0. Observemos las gráficas de y = x1 / 2 e y = x1 / 3:

    Cuando a es una fracción y la función de potencia devuelve una expresión radical. Podemos ver que el dominio dependerá de si el denominador es par o impar:

    • Si el denominador es par, solo los valores positivos de x serán parte del dominio o [0, ∞).
    • Si el denominador es impar, su dominio puede ser todos números reales o (-∞, ∞).

    Los dos gráficos son también cóncava hacia abajo en ambos lados.

    Caso 4: Cuándo a> 1, observemos las gráficas de y = x5 y y = x6.

    Cuando el exponente es positivo, esperamos que los gráficos sean cóncavos hacia arriba. El dominio para este tipo de función de potencia serán todos los números reales o notaciones de intervalo, (-∞, ∞).

    ¿Cómo encontrar la función de potencia?                

    A veces, se nos da el gráfico de la función de potencia o algunos puntos que pasan por su gráfico. Aún podemos encontrar la expresión que representa la función de potencia usando dos puntos.

    • Sustituya estos dos puntos en la forma general de funciones de potencia, y = kxa.
    • Encuentre una manera de retener k or a en una de las ecuaciones.
    • Determine los valores para k y a y sustituirlos de nuevo en la forma general de funciones de poder.

    Digamos que queremos encontrar la función de potencia que pasa por (2, 16) y (3, 54). Sustituya estos valores en la forma general:

    Igualemos ambas expresiones del lado derecho y tengamos:

    16 / 2a = 54 / 3a

    8 / 2a = 27 / 3a

    23 / 2a = 33 / 3a

    2 3 - a = 3 3 - a

    Esta ecuación solo será verdadera cuando ambos lados sean iguales a 1. Esto significa que 3 - a debe ser igual a 0. Por lo tanto, a = 3.

    Sustituye esto por cualquiera de las expresiones de k:

    k = 16/23

    = 16 / 8

    = 2

    Ahora que tenemos a = 3 y k = 2, podemos escribir la expresión de la función de potencia: y = 2x3.

    ¿Qué pasa si queremos encontrar la expresión de la función de potencia en función de su gráfica? Solo asegúrate de buscar dos puntos por los que pasa el gráfico de la función, luego aplica el mismo proceso.

    Antes de probar algunas preguntas más sobre las funciones de potencia, ¿por qué no seguimos adelante y resumimos todo lo que sabemos hasta ahora sobre las funciones de potencia?

    Resumen de fórmulas de funciones de potencia y sus propiedades

    A continuación, se incluyen algunos recordatorios útiles cuando se trabaja con funciones eléctricas y sus aplicaciones:

    • Al identificar si una función es una función de potencia, asegúrese de que el la expresión es un solo término, k es una constante, a es un número real.
    • Las gráficas de las funciones de potencia dependerán del valor de kya.
    • Aplique las propiedades de las funciones pares e impares cuando corresponda.
    • Al encontrar la expresión para una función de potencia, siempre utilice la forma general, y = kxa.
    • Utilice la tabla que se muestra a continuación para predecir el comportamiento final de las funciones de potencia.

    Asegúrese de comprender el concepto de funciones de poder y familiarizarse con los diferentes comportamientos finales. Cuando esté listo, ¡probemos algunos problemas!

    ejemplo 1

    ¿Cuáles de las siguientes funciones se consideran funciones de potencia?

    una. f (x) = -2x2 · 3x
    B. g (x) = 2√x + 5

    C. h (x) = 0.5xπ
    D. m (x) = - (x + 1) 2
    mi. n (x) = 1 / x3

    Solución

    Inspeccione cada una de las funciones dadas y simplifique las expresiones siempre que sea posible.

    una. La función aún se puede simplificar af (x) = -6x3. Podemos ver que solo contiene un término y tiene un número real para su coeficiente y exponente, por lo que f (x) es una función de potencia.

    Los siguientes dos elementos (byd) contienen más de un término y no se pueden simplificar, por lo que las funciones g (x) y m (x) no se consideran funciones de potencia.

    C. Siempre volvemos a la definición fundamental de funciones de potencia: contienen un solo término, mientras que el coeficiente y los exponentes son reales. Tanto 0.5 como π son números reales, entonces h (x) también es una función de potencia.

    mi. Dado que 1 / x3 = 1 · x-3, podemos ver mediante inspección que satisface las condiciones de las funciones de potencia, por lo que n (x) también es una función de potencia.

    Por lo tanto, la funciones en a, c y e son funciones de potencia.

    ejemplo 2

    Llena los espacios con Siempre hay , a veces, nunca para que las siguientes afirmaciones sean verdaderas.

    una. Las funciones cúbicas son funciones de potencia ______________.
    B. Las funciones constantes son _____________ funciones de potencia.
    C. Las funciones de potencia ___________ tendrán exponentes negativos.

    Solución

    Sigamos adelante e inspeccionemos cada declaración:

    una. Algunos ejemplos de funciones cúbicas son 2x3 y x3 - x2 + x - 1. Podemos ver que el primer ejemplo es una función de potencia, pero el segundo no lo es. Esto significa que las funciones cúbicas pueden a veces Ser funciones de poder.

    B. La forma general de las funciones constantes es y = c, donde c es cualquier constante distinta de cero. Podemos ver en la forma general que independientemente del valor de c, las funciones constantes siempre tendrán un solo término con números reales para su coeficiente y exponente. Por tanto, las funciones constantes Siempre hay Ser funciones de poder.

    C. Siempre que la función contenga un solo término y un exponente numérico real, se considerará una función de potencia. Esto significa que es posible tener exponentes positivos y negativos en una función de potencia. Entonces, ellos pueden a veces tienen exponentes negativos.

    ejemplo 3

    Determine el comportamiento final de las siguientes funciones de potencia:

    una. f (x) = x3

    B. g (x) = -4x4

    C. h (x) = (-3x) 3

    Solución

    Al predecir el comportamiento final de una función de potencia, inspeccione el signo del coeficiente y el valor del exponente. Utilice la tabla que le proporcionamos para guiarle en la predicción de comportamientos finales.

    una. La función f (x) = x3 tiene un coeficiente de 1 y un exponente positivo de 3. Dado que la potencia es impar, se espera que la función aumente en todo su dominio.

    Esto significa que el el lado izquierdo de su curva va hacia abajo mientras que el lado derecho sube: (↓ ↑).

    B. Para la segunda función, g (x) = -4x4, tiene un coeficiente negativo y un exponente positivo par. Esto significa que se espera que el gráfico se abra hacia abajo. La función también aumentará cuando x <0 y disminuirá cuando x> 0.

    Esto significa que Se espera que tanto el lado izquierdo como el derecho de la curva bajen: (↓↓).

    C. Primero simplifiquemos la expresión para h (x): h (x) = -27x3. Podemos ver que h (x) tiene un coeficiente negativo y un exponente impar. Cuando esto sucede, la función disminuye en todo su dominio.

    La curva del gráfico es subiendo por el lado izquierdo y bajando por el lado derecho: (↑ ↓).

    ejemplo 4

    Muestre que el producto de dos funciones de potencia siempre devolverá también una función de potencia.

    Solución

    Sean las dos funciones de potencia f (x) = mxp y g (x) = nxq, donde myn son coeficientes numéricos reales. Los exponentes pyq también son números reales.

    Multiplicar las dos funciones dará como resultado:

    f (x) · g (x) = (mxp) · (nxq)

    = mn xp + q

    Sea mn = k y p + q = a, por lo tanto, tenemos f (x) · g (x) = kxa.

    Dado que mn y p + q son números reales, kya también serán números reales. El producto aún devolvió una función de potencia, por lo que acabamos de confirmar que el producto de las dos funciones de potencia también será una función de potencia.

    ejemplo 5

    Grafique la función de potencia f (x) = -3x5 y responda las preguntas que siguen.

    una. ¿Cuál es el dominio y rango de la función?

    B. Si la gráfica se traslada 6 unidades hacia arriba, ¿la función resultante seguirá siendo una función de potencia?

    Solución

    Dado que f (x) es una función impar, esperamos que la gráfica sea simétrica con respecto al origen.

    Podemos trazar estos puntos para graficar la mitad de la curva y reflejarla sobre el origen.

    una. Dado que el exponente es positivo e impar, el dominio y rango de f (x) serán todos números reales o (-∞, ∞). Esto también se puede confirmar inspeccionando el gráfico.

    B. Cuando traducimos f (x) por 6 unidades, sumamos 6 a la expresión. Por lo tanto, la expresión de la nueva función ahora será -3x5 + 6. Esta expresión contendrá dos términos y, por lo tanto, la nueva función ya no será una función de potencia.

    ejemplo 6

    Usa la gráfica que se muestra a continuación para encontrar una expresión para h (x).

    Solución

    Dado que la gráfica de h (x) pasa por (-1, -2), (1, -2) y (1/2, -8), podemos usar cualquiera de estos tres puntos en la forma general de la potencia función: y = kxa.

    ¿Notas algo sobre la gráfica? Las curvas se acercan pero nunca pueden ser iguales a 0, por lo que esperamos que el exponente sea una fracción.

    Sustituyamos primero (1, -2) en la forma general de la función de potencia. (Esta será la mejor opción ya que k1a se reducirá a k.)

    -2 = k (1) a

    -2 = k

    Aplique el mismo proceso para (1/2, -8), pero esta vez, usemos k = -2 también.

    -8 = (-2) (- 1/2) a

    4 = (-1/2) a

    (-1/2)-2 = (-1/2)a

    Para que esto sea cierto, a debe ser igual a -2. Por eso, tenemos h (x) = -2x-2.

    ejemplo 7

    La función de potencia g (x) pasa por los puntos (4, -6) y (9, -9).

    una. ¿Cuál es la expresión de g (x)?

    B. Grafique la función g (x).

    C. Encuentre su dominio y rango, luego describa su comportamiento final.

    Solución

    Sustituyamos cada par de valores en la forma general de funciones de potencia: y = kxa y simplifiquemos la ecuación resultante.

    Ahora que tenemos k en el lado derecho de las ecuaciones, igualemos las expresiones del lado izquierdo. Resuelva para a de la ecuación resultante.

    -6 / 4a = -9 / 9a

    -2 / 4a = -3 / 9a

    -21 / 22a = -31 / 32a

    -21 - 2a = -31 - 2a

    Esta ecuación solo será cierta cuando ambos lados sean iguales a 1, por lo que los exponentes tendrán que ser iguales a 0.

    1 - 2a = 0

    1 = 2a

    a = ½

    Sustituye el valor de a en una de las expresiones de k.

    k = -6 / 4a

    = -6/41/2

    = -6 / 2

    = -3

    Sustituye estos dos valores nuevamente en la forma general de funciones de potencia para encontrar la expresión de g (x).

    g (x) = kxa

              = -3x1 / 2

    = -3√x

    una. Por lo tanto, tenemos g (x) = -3√x.

    Usemos los dos puntos dados para conectar la curva. Recuerde la forma de la función madre de la función raíz cuadrada para saber qué esperar de la gráfica de g (x).

    b.

    Podemos encontrar el dominio y el rango de g (x) inspeccionando la gráfica. Dado que g (x) tiene un exponente racional con un denominador par, esperamos tener solo valores positivos para x. El gráfico también puede confirmar esto.

    Dado que la gráfica de g (x) nunca pasa por encima del eje y negativo, esperamos que su rango solo consista en números negativos.

    C. Por lo tanto, la dominio de g (x) es [0, ∞) y el el rango es (-∞, 0]. El gráfico muestra que está disminuyendo continuamente y el la curva está bajando constantemente.

    ejemplo 8

    El área de un círculo es directamente proporcional al cuadrado de su radio, r. El área de un círculo con un radio de 10 unidades es 314 unidades2, y un círculo con un radio de 20 unidades es 1256 unidades2.

    una. Encuentre la función de potencia, A (r), que representa el área de un círculo en términos de r. ¿Qué representa el coeficiente de A (r)?

    B. Sin tener en cuenta las restricciones para r, ¿A (r) es par o impar?

    C. ¿Cuál es el comportamiento final de A (r)?

    D. Si consideramos el hecho de que r representa el radio del círculo, ¿cambiaría el dominio?

    Solución

    Dado que el área es directamente proporcional a r2, podemos expresar A (r) como kr2, donde k es una constante distinta de cero.

    Usemos cualquiera de los dos pares de valores dados para encontrar k.

    A (r) = kr2

    314 = k (10) 2

    314 = 100k

    k = 3.14

    una. Sustituye k de nuevo en la expresión y tenemos A (r) = 3.14r2. Recuerde que 3.14 es el valor aproximado de π, entonces el coeficiente de A (r) representa π.

    B. Dado que A (r) es una expresión cuadrática; es un Incluso función.

    C. El coeficiente de A (r) es positivo y su exponente es par, por lo que esperamos que la gráfica disminuya cuando x <0 y aumente cuando x> 0. Por lo tanto, Se espera que ambos extremos de la curva estén subiendo.

    D. Originalmente, dado que A (r) representa una expresión cuadrática, esperamos que tenga un dominio (-∞, ∞). Pero teniendo en cuenta el hecho de que las mediciones deben ser mayores que 0, el el dominio ahora se convierte en (0, ∞).

    Preguntas de práctica

    1. ¿Cuáles de las siguientes funciones se consideran funciones de potencia?

    a. f (x) = -3x2 · 2x + 2x · x
    B. g (x) = 12√x

    C. h (x) = πx√3
    D. m (x) = x2 - 3x + 4

    e. n (x) = 1 / 2x

    2. Complete los espacios en blanco con Siempre hay , a veces, nunca Haga que las siguientes afirmaciones sean verdaderas.

    una. Las funciones recíprocas son funciones de potencia ______________.
    B. Las funciones radicales son funciones de potencia _____________.
    C. Las funciones de potencia ___________ tendrán un dominio de (-∞, ∞).

    3. Determine el comportamiento final de las siguientes funciones de potencia:

    una. f (x) = -2x5

    B. g (x) = 3x6

    C. h (x) = (-2x) 4

    4. ¿Verdadero o falso? La suma de dos funciones de potencia siempre devolverá también una función de potencia. Justifica tu respuesta.

    5. La función de potencia g (x) pasa por los puntos (1,4) y (2, 2).

    una. ¿Cuál es la expresión de g (x)?
    B. Grafique la función g (x).
    C. Encuentre su dominio y rango, luego describa su comportamiento final.

    6. Grafica la función de potencia y = 2x4 y responde las preguntas que siguen.

    una. ¿Cuál es el dominio y rango de la función?
    B. Si la gráfica se traslada 2 unidades hacia arriba, ¿la función resultante seguirá siendo una función de potencia?

    7. El volumen de un cono es directamente proporcional al cubo de su radio, r. El volumen de un cono con un radio de 10 unidades es 100π / 3 unidades3, y un círculo con un radio de 20 unidades es 400π / 3 unidades3.

    una. Encuentre la función de potencia, V (r), que representa el volumen de un cono en términos de r.
    B. Sin tener en cuenta las restricciones para r, ¿V (r) es par o impar?
    C. ¿Cuál es el comportamiento final de V (r)?
    D. Si consideramos el hecho de que r representa el radio del círculo, ¿cambiaría el dominio?

    8. La potencia P (en vatios) producida por una planta hidroeléctrica es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad del agua v (en mph). Si la velocidad del agua que cae de 24 mph genera 144 vatios de potencia, ¿cuánta energía generan las velocidades del agua de 12 y 36 mph?

    una. Utilice estos valores para representar gráficamente P (v).
    B. ¿Cuál es la expresión de P (v)?
    C. Determine el comportamiento final de P (v).

    Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.



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